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电大高等数学基础复习小抄高等数学基础归类复习 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，中的两个函数相等 A. f(x)=(x)2，g(x)=x B. f(x)=x2，g(x)=x C.f(x)=lnx3，g(x)=3lnx D. f(x)=x+1，g(x)=x2-1x-11-设函数f(x)的定义域为(-¥,+¥)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于对称 A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y=x 设函数f(x)的定义域为(-¥,+¥)，则函数f(x)-f(-x)的图形关于对称 A. y=x B. x轴 C. y轴 D. 坐标原点 e-x.函数y=-ex2的图形关于对称 (A) 坐标原点 (B) x轴 (C) y轴 (D) y=x 1-下列函数中为奇函数是 A. y=ln(1+x2) B. y=xcosx C. ax+a-xy=2 D. y=ln(1+x) 下列函数中为奇函数是 A. y=x3-x B. y=ex+e-x C. y=ln(x+1) D. y=xsinx 下列函数中为偶函数的是 A y=(1+x)sinx B y=x2x C y=xcosx D y=ln(1+x2) 2-1 下列极限存计算不正确的是 A. limx2x®¥x2+2=1 B. limx®0ln(1+x)=0 C. limsinxx®¥x=0 D. lim1x®¥xsinx=0 2-2当x®0时，变量是无穷小量 A. sinxx B. 1x C. xsin1x D. ln(x+2) 当x®0时，变量是无穷小量A 1sinxxxx B x C e-1 D x2 .当x®0时，变量是无穷小量A 1sinx B xx C 2x D ln(x+1) 下列变量中，是无穷小量的为 1 Asin1x(x®0) B ln(x+1)(x®0) Cex(x®¥) D.x-2x2-4(x®2) 3-1设f(x)在点x=1处可导，则limf(1-2h)-f(1)h®0h= A. f¢(1) B. -f¢(1) C. 2f¢(1) D. -2f¢(1) 设f(x)在xf(x0-2h)-f(x0)0可导，则limh®0h= A f¢(x0) B 2f¢(x0) C -f¢(x0) D -2f¢(x0) 设f(x)在xf(x0-2h)-f(x0)0可导，则limh®02h= A. -2f¢(x0) B. f¢(x0) C. 2f¢(x0) D. -f¢(x0) 1 设f(x)=ex，则f(1+Dx)-f(1)1Dlimx®0Dx= A e B. 2e C. 2e D. 14e 3-2. 下列等式不成立的是 A.exdx=dex B -sinxdx=d(cosx) C.12xdx=dx D.lnxdx=d(1x) 下列等式中正确的是A.d(11+x2)=arctanxdx B. d(1dxx)=-x2 C.d(2xln2)=2xdx D.d(tanx)=cotxdx 4-1函数f(x)=x2+4x-1的单调增加区间是 A. (-¥,2) B. (-1,1) C. (2,+¥) D. (-2,+¥) 函数y=x2+4x-5在区间(-6,6)内满足 A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 .函数y=x2-x-6在区间内满足 A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C先单调上升再单调下降 D 单调上升 . 函数y=x2-2x+6在区间(2,5)内满足 A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 5-1若f(x)的一个原函数是1x，则f¢(x)= A. lnx B. -1x2 C. 1x D. 2x3.若F(x)是 f(x) 的一个原函数，则下列等式成立的是。 Aòxaf(x)dx=F(x)-F(a)b BòaF(x)dx=f(b)-f(a) Cf¢(x)=F(x) Dòbaf¢(x)dx=F(b)-F(a) 5-2若f(x)=cosx，则òf¢(x)dx= A. sinx+c B. cosx+c C. -sinx+c D. -cosx+c 下列等式成立的是 A. òf¢(x)dx=f(x) B. òdf(x)=f(x) C. dòf(x)dx=f(x) D. ddxòf(x)dx=f(x) ddxòx2f(x3)dx= A. f(x3) B. x2f(x3) C. 13f(x) D. 13f(x3) ddxòxf(x2)dx= A xf(x2) B 12f(x)dx C 122f(x) D xf(x)dx -3若òf(x)dx=F(x)+c，则ò1xf(x)dx= A. F(x)+c B. 2F(x)+c C. F(2x)+c D. 1xF(x)+c 补充： òe-xf(e-x)dx= -F(e-x)+c+¥, 无穷积分收敛的是 ò11x2dx 函数f(x)=10x+10-x的图形关于 y 轴 对称。 二、填空题 函数f(x)=x2-9x-3+ln(1+x)的定义域是 2 函数y=xln(x-2)+4-x的定义域是 若函数f(x)=ìíx2+1,x£0，则f(0)= 1 î2x,x>0 ì12若函数f(x)=ïí(1+x)x,x<0，在x=0处连续，则k= e ïîx+k,x³0ì.函数f(x)=ïsin2xíxx¹0在x=0处连续，则k= 2 ïîkx=0函数y=ìíx+1,x>0îsinx,x£0的间断点是 x=0 函数y=x2-2x-3x-3的间断点是 x=3 。 函数y=11-ex的间断点是 x=0 3-曲线f(x)=x+1在(1,2)处的切线斜率是 1/2 曲线f(x)=x+2在(2,2)处的切线斜率是 1/4 曲线f(x)=ex+1在处的切线斜率是 1 .曲线f(x)=x3+1在(1,2)处的切线斜率是 3 3-2 曲线f(x)=sinx在(2,1)处的切线方程是 y = 1 切线斜率是 0 曲线y = sinx 在点 (0,0)处的切线方程为 y = x 切线斜率是 1 4.函数y=ln(1+x2)的单调减少区间是 函数f(x)=ex2的单调增加区间是 .函数y=(x+1)2+1的单调减少区间是 .函数f(x)=x2+1的单调增加区间是 函数y=e-x2的单调减少区间是 5-1dòe-x2dx= e-x2dx .ddxòsinx2dx= sinx2 ò(tanx)¢dx= tan x +C 若òf(x)dx=sin3x+c，则f¢(x)= 9 sin 3x 5-2 ò33(sin5x+1)dxò1xde-32= 3 -1x2+1dx= 0 dxò1ln(x+1)dx= 0 下列积分计算正确的是 A ò1xx1-1(e+e-)dx=0 Bò(ex-e-x)dx=0 Cò1x2-1-1dx=0 D ò1-1|x|dx=0 三、计算题 、计算极限 利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。 3 利用连续函数性质：f(x0)有定义，则极限limx®xf(x)=f(x0) 0类型1： 利用重要极限 limsinxx®0x=1 ， limsinkxx®0x=k， limtankxx®0x=k 计算 sin61-1求limsin6xxsin5x 解： limsin6xx®0x6 x®0sin5x=limx®0×sin5x=5x1-2 求 limtanxtanx1tanx1x®03x 解： limx®03x=3limx®0x=3´1=13 1-3 求limtan3xx®0x 解：limtan3xtan3xx®0x=limx®03x.3=1´3=3 类型2： 因式分解并利用重要极限 limsin(x-a)x®a(x-a)=1， limx-ax®asin(x-a)=1 化简计算。 2-1求limx2-1(x+1) 解： x2-11)x®-1sin(x+limx®-1sin(x+1)=limx®-1sin(x+1).(x-1)=1´(-1-1)=-2 2-2limsin(x-1)x®1x2-1 解： limsin(x-1)sin(x-1)111x®1x2-1=limx®1(x-1).(x+1)=1´1+1=2 2-3limx2-4x+3x®3sin(x-3) 解： limx2-4x+3(x-3)(x-1)x®3sin(x-3)=limx®3sin(x-3)=limx®3(x-1)=2 类型3：因式分解并消去零因子，再计算极限 3-1 limx2-6x+8x2-6x+8(x-4)(x-2)x-22x®4x2-5x+4 解： limx®4x2-5x+4=limx®4(x-4)(x-1)=limx®4x-1=3 3-2 limx2+x-6x®-3x-x-12 limx2+x-6(x+3)(x-2)x-252 x®-3x2-x-12=limx®-3(x+3)(x-4)=limx®-3x-4=73-3 limx2-3x+2x2-3x+2(x-2)(x-1)x-11x®2x2-4 解 limx®2x2-4=limx®2(x-2)(x+2)=limx®2x+2=4 1其他： lim1+x2-1x2sinxsinsinx=lim2sinx=0， x®0x®0limx®0x+1-1=limx®01=2 2xlimx2+6x+5x22x2+6x2x22x®¥x2-4x-5=limx®¥x2=1， lx®im¥3x2-4x-5=limx®¥3x2=3 tan8x计算limtan8xtan8xx®0sin4x 解： limx®0sin4x=limxx®0sin4x.=84=2 x计算limsinxsinxx®02x 解 limx®02x=12limsinxx®0x=12 limx2-2x-3(x+1).(x-3)x®-1sin(x+1)=limx®-1sin(x+1)=1´(-1-3)=-4 求函数的导数和微分 利用导数的四则运算法则 (u±v)¢=u¢±v¢ (uv)¢=u¢v+uv¢ 利用导数基本公式和复合函数求导公式 4 (lnx)¢=1x (xa)¢=axa-1 (ex)¢=ex (eu)¢=eu.u¢ (sinx)¢=cosx22(cosx)¢=-sinx(ex)¢=ex.(x2)¢=2xex2sinx(tanx)¢=sec2x (e)¢=esinx.(sinx)¢=esinxcosx (cotx)¢=-csc2x(ecosx)¢=ecosx.(cosx)¢=-ecosxsinx(sinu)¢=cosu.u¢(cosu)¢=-sinu.u¢(sinx2)¢=cosx2.(x2)¢=2xcosx2 (cosx2)¢=-sinx2(x2)¢=-2xsinx2 (sinex)¢=cosex.(ex)¢=excosex(cose)¢=-sinex.(ex)¢=-exsinex类型1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。 1-1 y=(xx+3)ex ¢313 解：y¢æ3çèx2+3ö÷øex+æçèx2+3ö÷ø(ex)¢=32x2ex+æçx2+3ö÷ex=æ313öxèøçè2x2+x2+3÷øe 1-2 y=cotx+x2lnx 解：y¢=(cotx)¢+(x2lnx)¢=-csc2x+(x2)¢lnx+x2(lnx)¢=-csc2x+2xlnx+x 1-3 设y=extanx-lnx，求y¢ 解： y¢=(extanx)¢-(lnx)¢=(ex)¢tanx+ex(tanx)¢-1xx21x=etanx+esecx-x类型2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导 2-1 y=sinx2+lnx，求y¢ 解：y¢=(sinx2)¢+(lnx)¢=2xcosx2+1x 2-2 y=cosex-sinx2，求y¢ 解：y¢=(cosex)¢-(sinx2)¢=-sinex.(ex)¢-cosx2.(x2)¢=-exsinex-2xcosx22-3 y=ln5x+e-5x，求y¢， 解：y¢=(ln5x)¢+.(e-5x)¢=5xln4x-5e-5x 类型3： 乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导 y=ex2cosx，求y¢ 。 解：y¢=(ex2)¢cosx+ex2(cosx)¢=2xex2cosx-ex2sinx 其他：y=2x-cosxx，求y¢。 解：y¢=(2x)¢-(cosx(cosx)¢.x-cosx.(x)¢xsinx)¢=2xln2-x2=2xln2+x+cosxx2 0807.设y=esinx+sinx2，求y¢ 解：y¢=(esinx)¢+(sinx2)¢=esinxcosx+2xcosx2 0801.设y=xex2，求y¢ 解：y¢=(x)¢ex2+x(ex2)¢=ex2+2x2ex2 0707.设y=esinx-x2，求y¢ 解：y¢=esinx.(sinx)¢-(x2)¢=cosxesinx-2x 0701.设y=lnx+cosex，求y¢ 解：y¢=(lnx)¢-sinex.(ex)¢=1x-exsinex 积分计算： 凑微分类型1：òL1x2dx=-òLd(1x) 5 cos11计算òxcosx2dx 解：òxx2dx=-òcos1xd(1x)=-sin1x+c sin1sin10707.计算òxxx2dx 解： òx2dx=-òsin1xd(1x)=cos1x+c 11xx110701计算òe 解： òe12dx 2dx=-òexd=-exxxx+c 凑微分类型2：òL1xdx=2òLdx .计算òcosxxdx 解： òcosxxdx=2òcosxdx=2sinx+c 0807.计算òsinxxdx 解：òsinxxdx=2òsinxdx=-2cosx+c x0801.计算òex2exxdx 解：òexdx=2òexdx=+c 凑微分类型3：òL1xdx=òLdlnx， òL1xdx=òLd(a+lnx) 计算ò1xlnxdx 解：ò1dlnx1xlnxdx=òlnx=òudu=ln|lnx|+c e.计算òe2+lnx1xdx 解： òe2+lnxxdx=òe1(2+lnx)d(2+lnx)=1512(2+lnx)2= 125 定积分计算题，分部积分法 11a+1类型1：òxalnxdx=a+11xa+1òlnxdxa+1=a+1xlnx-a1a+1a+1òxdx=a+1lnx-(a+1)2x+c 计算òe1xlnxdx 解： a=1， òxlnxdx=1212122òlnxdx=2xlnx-4x+c exlnxdx=1ex2x-x2e1+e2ò212ò1lnxdx=(2ln4)1=4 òe1lnxdx=(xlnx-x)e1=(e-e)-(0-1)=1 e计算òlnx1x2dx 解：a=-2 ， òlnxx2dx=-òlnxd(1x)=-1xlnx-1x+c òelnxe1lnx1e21x2dx=-ò1lnxd(x)=(-x-x)1=1-e e计算òlnx1xdx 解：a=-12，òlnxxdx=2òlnxdx=2xlnx-4x+c òelnxe1xdx=2ò1lnxdx=(2xlnx-4x)e1=-2e+4 0807 òexlnxdx=2e32343322e22413ò 1lnxd x2=(3xlnx-9x)1=9e+96 0707 òe21xlnxdx=13òe31313e2311lnxdx=(3xlnx-9x)1=9e+9 类型2 òxeaxdx=1ax1aòxd(e)=axeax-1axa2e+c ò111120xe2xdx=2ò0xde2x=(2xex-12x11214e)0=4e+4 ò1-x1-x-x-x1-10xedx=-ò0xde=(-xe-e)0=-2e+1 ò1-2x11-1-2x1-2x13-210xedx=-2ò0xde2x=(-2xe-4e)0=-4e+4ò1x1xxx10xedx=ò0xde=(xe-e)0=1 类型3： òxsinaxdx=-1111axcosax+aòcosaxdx=-axcosax+a2sinax+c òxcosaxdx=1111axsinax-aòsinaxdx=axsinax+a2cosax+c ppòp20xsinxdx=-ò20xdcosx=(-xcosx+sinx)2=1-0=1 0ppòp2xcosxdx=ò2xdsinx=(xsinx+cosx)2=p002-1 0òxsin2xdx=-12xcos2x+12òcos2xdx=-112xcos2x+4sin2x+c pò20xsin2xdx=-1p2ò0xdcos2x=(-12xcos2x+1p24sin2x)2=p-0=p044pò2xcos2xdx=1pp02xsin2x|02-1p2ò20sin2xdx=1214cos2x|0=-2 四、应用题 类型1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足 h2+r2=l2 圆柱体的体积公式为 V=pr2h=(l2-h2)h 求导并令 V¢=(l2-3h2)=0 l 得h=33l，并由此解出r=63l 即当底半径r=63l，高h=33l时，圆柱体的体积最大 类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。 2-1 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积V=p.r2.h,h=Vp.r2表面积为S=2r2+2rh=2r2+2Vr7 S¢=4r-2Vr2， 由S¢=0得r=3V2，此时h=2r=34V。 由实际问题可知，当底半径r=3V2与高h=2r 时可使用料最省。 一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解： 本题的解法和结果与2-1完全相同。 生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？ 解：设容器的底半径为r，高为h，则无盖圆柱形容器表面积为 S=r2+2rh=r2+2V，令 rS¢=2r-2Vr2=0， 得 r=3V,h=r， 由实际问题可知，当底半径r=3V与高h=r 时可使用料最省。 2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h=V=32，h=Vx2， 表面积 y=x2+4xh=x2+4Vx， 令y¢=2x-4Vx2=0，得x3=2V=64， 此时x=4,h=Vx2=2 由实际问题可知，x=4是函数的极小值点，所以当x=4，h=2时用料最省。 欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解： 本题的解法与2-2同，只需把V=62.5 代入即可。 类型3 求求曲线y2=kx上的点，使其到点A(a,0)的距离最短 曲线y2=kx上的点到点A(a,0)的距离平方为L=(x-a)2+y2=(x-a)2+kx L¢=2(x-a)+k=0， 2x=2a-k 3-1在抛物线y2=4x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最短 解：设所求点P，则满足 y2=4x，点P 到点A 的距离之平方为 L=(x-3)2+y2=(x-3)2+4x 令L¢=2(x-3)+4=0，解得x=1是唯一驻点，易知x=1是函数的极小值点， 当x=1时，y=2或y=-2，所以满足条件的有两个点和 3-2求曲线y2=2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短 解：曲线y2=2x上的点到点A 的距离之平方为L=(x-2)2+y2=(x-2)2+2x 令L¢=2(x-2)+2=0，得x=1， 由此y2=2x=2， y=±2 即曲线y2=2x上的点和到点A的距离最短。 08074 求曲线y=x2上的点，使其到点A的距离最短。 解： 曲线y=x2上的点到点A的距离公式为 d=x2+(y-2)2=y+(y-2)2d与d2在同一点取到最大值，为计算方便求d2的最大值点， d2=y+(y-2)2 (d2)¢=1+2(y-2)=2y-3 令 (d2)¢=0得y=32，并由此解出x=±62， 8 6363即曲线y=x2上的点和点到点A的距离最短 9