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电大微积分初步复习题及答案微积分初步复习试题 一、填空题 函数f(x)=若lim1+4-x的定义域是 (-2,-1)È(-1,4 ln(x+2)sin4x=2，则k= 2 x®0kx 曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程是 de2ln(x+1)dx= ò1dx y=x+1 0 微分方程y¢=y,y(0)=1的特解为 y=ex 二、单项选择题 设函数y=xsinx，则该函数是 A偶函数 B奇函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 ìx2+2,x¹0当k=时，函数f(x)=í，在x=0处连续. k,x=0îA0 B1 C2 D3 下列结论中正确 Af(x)在x=x0处连续，则一定在x0处可微. B函数的极值点一定发生在其驻点上. Cf(x)在x=x0处不连续，则一定在x0处不可导. D函数的极值点一定发生在不可导点上. 下列等式中正确的是 1 A . sinxdx=d(cosx) B. lnxdx=d x1dx=d(2x) C. axdx=d(ax) D. x微分方程(y¢¢)3+4xy¢¢¢=y5sinx的阶数为 A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 三、计算题 x2-6x+8计算极限lim2 x®2x-3x+2(x-4)(x-2)x-4=lim=-2 原式=limx®2(x-2)(x-1)x®2x-1 设y=lnx+cos3x，求dy. 1+3cos2x(-sinx) x12xcosx)dx dy=(-3sinx 计算不定积分ò(2x-1)10dx y¢=10(2x-1)dx= ò111011(2x-1)d(2x-1)=(2x-1)+c ò222计算定积分e2òe21lnxdx e2x222ò1xdx=2e-e+1=e+1 ò1四、应用题 lnxdx=xlnx1-e2 欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 108解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h=108,h=2 x108432y=x2+4xh=x2+4x×2=x2+ xx432令y¢=2x-2=0，解得x=6是唯一驻点， x2´432且y¢¢=2+>0， x3x=6108=3 说明x=6是函数的极小值点，所以当x=6，h=36 一、填空题 函数f(x+2)=x2+4x-2，则f(x)= x2-6 1当x® 0 时，f(x)=xsin为无穷小量. x若y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则y¢(1) = ò(5x3-3x+1)dx= 2 -11-2 微分方程y¢=y,y(0)=1的特解为 y=ex . 二、单项选择题 函数f(x)=1的定义域是 ln(x-1)A(1,+¥) B(0,1)È(1,+¥) C(1,2)È(2,+¥) D(0,2)È(2,+¥) 曲线y=e2x+1在x=2处切线的斜率是 A2 Be2 Ce4 D2e4 下列结论正确的有 A若f¢(x0) = 0，则x0必是f (x)的极值点 Bx0是f (x)的极值点，且f¢(x0)存在，则必有f¢(x0) = 0 Cx0是f (x)的极值点，则x0必是f (x)的驻点 D使f¢(x)不存在的点x0，一定是f (x)的极值点 下列无穷积分收敛的是 Aò C +¥0e-2xdx B ò+¥1x1dx ò+¥11dx D xò+¥0sinxdx 微分方程(y¢¢)3+y(4)cosx=y2lnx的阶数为 2x®-2x®-2x®-2(x-2)(x+2)x-24x-4A. 1； B. 2； C. 3； D. 4 三、计算题 x2-x-6计算极限lim x®-2x2-4 设y=sin5x+cos3x，求dy. y¢=5cos5x+3cos2x(-sinx) =5co5sx-3sinxco2sx dy=(5co5sx-3sinxco2sx)dx 3-x3+xsinx 计算不定积分òdx x33-x3+xsinx22dx= 3lnx-x-cosx+c ò3xpx计算定积分òsinxdx 02òp0x11pp1psinxdx=-xcosx+òcosxdx=+sinx= 222022200pp四、应用题 用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 4解：设水箱的底边长为x，高为h，表面积为S，且有h=2 x16所以S(x)=x2+4xh=x2+, x16 x2令S¢(x)=0，得x=2， S¢(x)=2x-因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x=2,h=1时水箱的表面积最小. 此时的费用为 S(2)´10+40=160 一、填空题 函数f(x+1)=x2+2x，则f(x)= 1limxsin= 1 x®¥xx2-1 曲线y=x在点(1,1)处的切线方程是 y=11x+ 22 若òf(x)dx=sin2x+c，则f¢(x)= -4sin2 x 微分方程(y¢¢)3+4xy(5)=y7cosx的阶数为 5 二、单项选择题 设函数y=x2sinx，则该函数是 A非奇非偶函数 B既奇又偶函数 C偶函数 D奇函数 当x®0时，下列变量中为无穷小量的是. 1sinxxA B Cln(1+x) D2 xxx下列函数在指定区间(-¥,+¥)上单调减少的是 Acosx B5-x Cx2 D 2x lnx+c，则f(x)= 设òf(x)dx=xlnx1-lnx2lnx A. lnlnx B. C. D. 2xx下列微分方程中，是线性微分方程 Ay¢¢sinx-y¢ex=ylnx By¢y+xy2=ex Cy¢¢+xy¢=ey D yx2+lny=y¢ 三、计算题 x2-3x+2计算极限lim2 x®2x+x-6原式=lim(x-1)(x-2)x-11=lim= x®2(x-2)(x+3)x®2x+35 设y=cosx+2x，求dy. 1y¢=-sinx+2xln2 2x dy=(2xln2-sinx2x 计算不定积分ò(2x-1)10dx 10(2x-1)dx= ò)dx 111011(2x-1)d(2x-1)=(2x-1)+c ò222 p20计算定积分òxsinxdx pò202+xsinxdx=-xcosx0ppò20cosxdx=sinx02=1p四、应用题 欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h=108,h=y=x2+4xh=x2+4x×108 2x1084322=x+ xx2432=0，解得x=6是唯一驻点， x2因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以x=6是函数的极小值点，即当x=6，108h=3时用料最省. 36令y¢=2x-一、填空题 x2+3 函数f(x+2)=x2+4x+7，则f(x)= ìx2+2,x¹0若函数f(x)=í,在x=0处连续，则k= 2 x=0îk, 函数y=2(x+1)2的单调增加区间是 -1.+¥) òe2xdx= -¥01 2 微分方程(y¢¢)3+4xy(4)=y5sinx的阶数为 4 二、单项选择题 设函数y=xsinx，则该函数是 A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既奇又偶函数 当x®+¥时，下列变量为无穷小量的是. Asinx1x Bln(1+x) Cxsin D x1+xx若函数f (x)在点x0处可导，则( D )是错误的 A函数f (x)在点x0处有定义 B函数f (x)在点x0处连续 C函数f (x)在点x0处可微 Dlimf(x)=A，但A¹f(x0) x®x0若f(x)=x+x(x>0)，则òf¢(x)dx=. 3 A. x2+x2+c B. x2+x+c 231222 C. x+x+c D. x+x+c 23下列微分方程中为可分离变量方程的是 dydy=ln(x×y)； B. =ey+x； A. dxdxdydy=ex+ey； D. =ln(x+y) C. dxdx三、计算题 x2-4计算极限lim2 x®2x-3x+2(x+2)(x-2)x+2=lim=4 原式=limx®2(x-2)(x-1)x®2x-13 设y=2x+cosx，求dy 1y¢=2xln2-sinx× . 2x dy=(2xln2-sinx2x 计算不定积分òxe-xdx 解：òxe-xdx= -xe-x+òe-xdx=-xe-x-e-x+c计算定积分ò解：òe3)dx e31e31x1+lnxdx=òe311dx 11+lnx1x1+lnx1d(1+lnx)=21+lnx=2 四、应用题 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？ 解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为S，由已知V=pr2h，于是h=则其表面积为 S=2r2+2rh=2r2+S¢=4r-2V rV，pr2令S¢=0，解得唯一驻点r=3省，此时h=32V r2VV，由实际问题可知，当r=3时可使用料最224VV4V，即当容器的底半径与高分别为3与3时，用料最省 2
