用赋值法求解函数关系.docx

用赋值法求解函数关系用赋值法求解函数关系 依据函数y=f(x)的限定条件和关系式求函数关系y=f(x) 一、赋值代换 例1 已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)不恒为零，对任意x1，x2R，都有f(x1x2)f(x1x2)=2f(x1)f(x2)求证：f(x)是偶函数 分析：若有f(x)=f(x)(xR)，则f(x)为偶函数 观察条件f(x1x2)f(x1x2)=2f(x1)f(x2) 令x1=0，x2=x则f(x)f(x)=2f(0)f(x)* 令x2=0，则f(x1)f(x1)=2f(x1)f(0) f(0)=0把f(0)=0代入()有f(x)=f(x)问题得证 赋值代换应注意：(1)所赋自变量x之特殊值必须在函数的定义域内；(2)应观察函数式的特点，确定赋什么值 例2 设f(x)是(0，1)上的实函数，如果满足：1)对于任意x(0，1)，f(x)0； 分析：x，y(0，1)，(1x)，(1y)(0，1)由题设知f(y)0，f(1y)0，故有f(x)f(1y)f(y)f(1x)2f(y)f(1y)，观察此不等式，如令x=1y (0，1)，则有： f2(x)2f(x)f(1x)f2(1x)0 f(x)f(1x)即f(x)f(y) 反之，令y=1x则有f(y)f(x) 二、赋值递推 例3 已知函数f(x)是定义域为R的函数，且满足f(1)=0，f(ab)f(ab)=2f(a)f(b)a，bR，求证f(x)是以4为周期的函数 分析：要证f(x)以4为周期，即要有f(x4)=f(x)，(xR) 观察条件f(ab)f(ab)=2f(a)f(b)及f(1)=0 令 a=x，b=1则f(x1)f(x1)=0即f(x1)=f(x1)以x3代x，再递推，f(x4)=f(x2)=f(x1)1=f(x)=f(x)，问题得证 赋值递推应注意：在赋值代换的基础上构成函数递推关系式，然后递椎即得当然，有时需要构成多个递推关系式 例4 函数f(x)定义在实数集上，并满足如下条件：对于任意xR，有f(2x)=f(2x)且f(7x)=f(7x)，若f(0)=0，问f(x)=0在100，100上至少有几个根？ 分析：由条件f(2x)=f(2x)，以x2代x得：f(x)=f(4x)(1)；再由条件f(7x)=f(7x) 递推f(4x)=f7(3x)=f7(3x)=f(x10)，则f(x10)=f(x)(2)，即f(x)是以10为周期的函数在(1)、(2)中令x=0，有f(4)=f(0)=0，f(10)=f(0)=0即0，4，10均为f(x)=0的根；由周期性知10k(10k10)，10k4(10k9)(kZ)都是f(x)=0的根因此f(x)=0在100，100上至少有41个根 三、赋值讨论(比较) 例5 已知f：0，1x21时，f(x1x2) f(x1)f(x2)，求f(x)的最大值 且f(1)=a，x1、x20，1，x1 分析：对于求函数的最值，往往要讨论其单调性x1、x20，1，不妨设x1x2，令x2=x1h，h(0，1)，f(h)0，则f(x2)=f(x1h)f(x1)f(h)f(x1)故f(x)是0，1上的不减函数，由f(x)f(1)知f(x)的最大值为a 赋值讨论应注意：所赋值需要有明确的大小关系，继而比较函数值的关系或确定函数值 例6 函数f(n)对于所有的自然数n取自然数，并且(1)f(m·n)f(m)f(n)，(2)当mn 分析：由(1)令m=n=1时，f(1)=f2(1)，则f(1)=1，(f(1)取自然数)当kN时，f(2k)=f(2)f(2k-1)=f2(2)f(2k2)=fk(2)由kkkkk+1k+2k+1k+1(3)f(2)=2由(2)2=f(2)f(2)f(2)f(2)=2，即kf(21)、f(2k2)f(2k+11)是区间(2k，2k+1)上的2k1个不同的自然数，而区间(2k，2k+1)上恰好有2k1个不同自然数，即2k1，2k2，2k+11因此f(2k1)=2k1，f(2k2)=2k2，f(2k+11)= 2k+11 可见，赋值法是研究抽象函数的基本方法