用换元法求值域.docx

用换元法求值域用换元法求值域 一、 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数等 二、例题讲解 1、求函数y=2x-3+13-4x的值域。 由于题中含有13-4x不便于计算，但如果令：t=13-4x注意t³0从而得：13-t213-t2x=y=-3+t(t³0)变形得2y=-(t+1)2+8(t³0)即：yÎ(-¥,4 42注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。 2、已知p(x,y)是圆x2+y2=4上的点，试求t=x2+y2-3xy的值域。 22在三角函数章节中我们学过：sin¶+cos¶=1注意到x2+y2=4可变形为：xyxy2+2=1令=cos¶,=sin¶,¶Î0,2p)则2222t=4-3´2cos¶´2sin¶=4-6sin2¶又2¶Î0,4p)即sin2¶Î-1,1故tÎ-2,10 3、试求函数y=sinx+cosxsinx+cosx的值域。 222题中出现cosx+sinx，而sinx+cosx=1,(sinx+cosx)=1+2sinxcosx由此联想到将cosxsinx视为一整体，令t=sinx+cosxÎ-2,2由上面的关系式易得t2-1t=1+2sinxcosxÞsinxcosx=故原函数可变形为：22t2-11y=t+(tÎ-2,2)即2y=(t+1)2-2,y=(t+1)2-1QtÎ-2,2 221yÎ-1,+2 2