用十字相乘法解一元二次方程.docx

用十字相乘法解一元二次方程用十字相乘法解一元二次方程 我们知道(x+2)(x+3)=x2+5x+6，反过来，就得到二次三项式x+5x+6的因式2分解形式，即x2+5x+6=(x+2)(x+3)，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。 一般地，由多项式乘法，(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，反过来，就得到 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 这就是说，对于二次三项式x2+px+q，如果能够把常数项q分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即 x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。 把x2+px+q分解因式时： 如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。 如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。 对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系 由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式ax+bx+c进行因式分解。 我们知道， 2 (a1x+c1)(a2x+c2)=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2 =a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2反过来，就得到 a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2)我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如下： a1 c1 a2 c2 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，如果它们正好等于ax+bx+c的一次2项系数b，那么ax+bx+c就可以分解成 2(a1x+c1)(a2x+c2)，其中a1，c1位于上图的上一行，a2，c2位于下一行。 像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 一般地我们也可以用这种方法进行解一元二次方程。 例1 x+3x+2=0 x-4x-21=0 1、解方程 (1) 2x-7x+3=0 (2) 6x-7x-5=0 (3) 2x222222-5x-3=0 (4)2x2+15x+7=0 2(5) 3a-8a+4=0 (6) 5x+7x-6=0 (7) 6y-11y-10=0 (8) x22-25x+5=0 (9) 2x (11) (13) 2-5x+2=0 (10) x2-5x-6=0 x2+8x+16=0 (12) 6x2+x-2=0 x2+(1+3)x+3=0