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理论力学教程思考题答案第三doc第一章思考题解答 1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔t®t+Dt内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿Dt对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在Dt®0的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。 1.2答：质点运动时，径向速度Vr和横向速度V的大小、方向都改变，而ar中的&r&只反&&+rq&只是V本身大小的改变。映了Vr本身大小的改变，aq中的rq事实上，横向速度V&2就是反映这种改变的加速度分量；经向方向的改变会引起径向速度Vr大小大改变，-rq&即为反映这种改变的加速度分量，速度Vr的方向改变也引起V的大小改变，另一个r故&q&&+2r&.。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才&2，aq=rq&qar=&r&-rq能完整地描述质点的运动变化情况 1.3答：内禀方程中，an是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a恒位于密切面内，速度v总是沿轨迹的切线方向，而an垂直于v指向曲线凹陷一方，故an总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时，ab=0,Fb¹0z何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力F，还受到被动的约反作用力R，二者在副法线方向的分量成平衡力Fb+Rb=0，故ab=0符合牛顿运动率。有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问：某时刻若Fb与Rb大小不等，ab就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来ab所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足Fb+Rb=0即ab=0。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。 1.4答：质点在直线运动中只有at而无an，质点的匀速曲线运动中只有an而无at；质点作变速运动时即有at又有an。 1.5答：而dr即反应位矢r大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，dtdrdr&j而dr=r&i+rq&。在直线运动中，=r只表示r大小的改变。如在极坐标系中，dtdtdt规定了直线的正方向后，drdrdrdr=。且的正负可表示的指向，二者都可表示质点dtdtdtdt的运动速度；在曲线运动中drdrdrdr¹，且也表示不了的指向，二者完全不同。 dtdtdtdtdvdv表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而只是质点运动速度大小dtdtdvdv=at+an,而=at。 dtdt的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运动中，二者不同，1.6答：不论人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮筐，其速度合成如题1.6 V球对人VV人对地题1-6图图所示，故人以速度V向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是直接向篮筐投出，。 1.7答：火车中的人看雨点的运动，是雨点的匀速下落运动及向右以加速度a的匀速水平直线运动的合成运动如题1.7图所示， x¢O¢aa¢=-aV¢y¢题1-7图12ì¢x=atïo¢x¢y¢是固定于车的坐标系，雨点相对车的加速度a¢=-a，其相对运动方程í消2ïîy¢=vt去t的轨迹 2v2y¢=x¢ a2如题图，有人会问：车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢？因加速度总是在曲线凹向的内侧，a¢垂直于V¢方向的分量a¢n在改变着V¢的方向，该轨迹上凹。 1.8答：设人发觉干落水时，船已上行s¢，上行时船的绝对速度V船-V水，则 s¢= V船-V水´2 船反向追赶竿的速度V船+V水，设从反船到追上竿共用时间t，则 ( V船+V水)t=600+s¢ 又竿与水同速，则 ()，且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。 2.6.答：碰撞过程中不计外力，碰撞内力不改变系统的总动量，但碰撞内力很大，使物体发生形变，内力做功使系统的动能转化为相碰物体的形变能，故动量守恒能量不一定守恒。只有完全弹性碰撞或碰撞物体是刚体时，即相撞物体的形变可以完全恢复或不发生形变时，能量也守恒，但这只是理想情况。 ¢2.7.答：设质心的速度vc，第i个质点相对质心的速度v¢i，则vi=vc+vi，代入质点组dæöçåmivi¢÷=åFi(e)+åFi(i)+å(-miac)这里用到了质心运动定理动量定理可得dtèiiiøiåF()=åmaeiiivc。故选用质心坐标系，在动量定理中要计入惯性力。但质点组相对质心i的动量守恒åmv¢=常矢量。当外力改变时，质心的运动也改变，但质点组相对于质心ii参考系的动量不变，即相对于质心参考系的动量不受外力影响，这给我们解决问题带来不少 方便。值得指出：质点组中任一质点相对质心参考系有 ，对质心参考系动量并不守恒。2.8.答不对.因为人抛球前后球与船和人组成的系统的动量守恒，球抛出后船和人的速度不再是V。设船和人的质量为M，球抛出后船和人的速度为V¢，则(M+m)V=MV1+m(V1+v) V1=V-mv球出手时的速度应是(V1+v)。人做的M+m功应等于系统动能的改变，不是只等于小球动能的改变，故人做的功应为111Mm22MV12+m(V1+v)-(M+m)V2=v显然与系统原来的速度无关。 222M+m2.9.答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋千荡到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降低重心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能不断增大，秋千就可以越荡越高。这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转换而来的。 2.10.答：火箭里的燃料全部烧完后，火箭的质量不再改变，然而质量不变是变质量物体运动问题的特例，故§2.7中诸公式还能适用，但诸公式都已化为恒质量系统运动问题的公式。 2.11.答：由v=v0+vrlnm0=v0+vrlnz知，要提高火箭的速度必须提高喷射速度vr或msm0增大质量比。由于燃料的效能，材料的耐温等一系列技术问题的限制，vr不能过大；ms又由于火箭的外壳及各装置的质量m0相当大，质量比也很难提高，故采用多级火箭，一级火箭的燃料燃完后外壳自行脱落减小火箭的质量使下一级火箭开始工作后便于提高火箭的速度。 若各级火箭的喷射速度都为vr，质量比分别为z1,z2,×××.zn，各级火箭的工作使整体速度增加v1,v2,×××vn，则火箭的最后速度 v=v1+v2+×××+vn=vr(lnz1+lnz2+×××lnzn)=vrln(z1×z2×××zn) 因每一个z都大于1，故v可达到相当大的值。 但火箭级数越多，整个重量越大，制造技术上会带来困难，再者级越高，质量比越减小，级数很多时，质量比逐渐减小趋近于1，速度增加很少。故火箭级数不能过多，一般三至四级火箭最为有效。 3.1 答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需3n个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。 3.2 答物体上各质点所受重力的合力作用点即为物体的重心。当物体的大小远小于地球的线度时物体上各质点所在点的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力场为均匀场，此时质心与重心重合。事实上但物体的线度很大时各质点所在处g的大小是严格相等，且各质点的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心与质心不和。 3.3答 当物体为均质时，几何中心与质心重合；当物体的大小远小于地球的线度时，质心与重心重合；当物体为均质且大小远小于地球的线度时，三者都重合。 3.4 答 主矢F是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢ri也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。分别取O和O¢为简化中心，第i个力Fi对O和O¢的位矢分别为ri和ri¢，则ri=ri¢+OO¢，故 MO¢=å(ri¢´Fi)=å(ri¢-OO¢)´Fi=å(ri¢´Fi)-OO¢´åFiiiii=Mo+OO¢´åFi i即Mo¢¹Mo 主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。¢，则rC¢=rC+OO¢，把O点的主矢F=设O和O¢对质心C的位矢分别为rC和rC主矩Mo移到C点得力系对重心的主矩 åF，iiMC=Mo+rC´åFi i把O¢为简化中心得到的主矢F=åF和主矩Miio¢移到C点可得 ¢+rC´åFi=Mo+(rC¢-OO¢)´åFi=Mo+rC´åFi MC=Moiii简化中心的改变引起主矩的改变并不影响刚体的运动。事实上，简化中心的选取不过人为的手段，不会影响力系的物理效应。 3.5 答 不等。如题3-5图示， ZZ¢l4AOxC·l题3-5图dxBdm=mdx绕Oz轴的转动惯量 lIz=ò3l4l-4m71æ1öxdx=ml2¹ml2+mçl÷ l483è4ø22这表明平行轴中没有一条是过质心的，则平行轴定理I=Ic+md是不适应的 3.6不能，如3-5题。但平行轴定理修改后可用于不过质心的二平行轴。如题3-6图所示， 2ZxAxBACmlB题3-6图均质棒上A,B二点到质心的距离分别为xA和xB由平行轴定理得： 2IA=Ic+mxA 2IB=Ic+mxB 则IA-IB=mxA(22此式即可用于不过质心的二平行轴。如上题用此式即可求得： -xB，)éæl2öæl2öù7122÷ç÷Iz=ml+mêç-=ml úç÷ç÷3ëè4øè2øû483.7 答 任一瞬时，作平面平行运动的刚体上或与刚体固连且与刚体一起运动的延拓平面总有也仅有一点的瞬时速度为零从运动学观点看由式v=vA+´r¢=vA+´(r-r0) 知选此点的基点较好，这样选基点，整个刚体仅绕此点作瞬时转动从式 a=aA+d´r¢-r¢2 dt可知，求加速度时选加速度为零的点为基点较方便，但实际问题中，加速度瞬心往往不如速度瞬心好找。 从动力学角度考虑，选质心为基点较好，因质心的运动可由质心运动定理解决；而且质点系相对质心的动量矩定理于对固定点的动量矩定理具有相同的形式，亦即刚体绕过质心与平面垂直的轴的转动可用刚体绕定轴转动的定律去解决。 因刚体上不同点有不同的速度和加速度，基点选取的不同，则和式中vA,aA不同，即vA和aA与基点有关；又任一点相对基点的位矢r¢于基点的选取有关。故任一点绕基点转动速度´r¢，相对基点的切线加速度d´r¢和相对基点的向心加速度dt-rw2与基点选取有关；角速度为刚体各点所共有与基点选取无关，故d也与基点选dt取无关；基点选取的不同是人为的方法，它不影响刚体上任一点的运动，故任一点的速度v,a与基点的选取无关。这也正是基点选取任意性的实质所在。 3.8 答 转动瞬心在无穷远处，标志着此瞬时刚体上各点的速度彼此平行且大小相等，意味着刚体在此瞬时的角速度等于零，刚体作瞬时平动 3.9 答 转动瞬心的瞬时速度为零，瞬时加速度并不为零，否则为瞬时平动瞬心参考系是非惯性系，应用动量矩定理是必须计入惯性力系对瞬心的力矩。而惯性力系向瞬心简化的结果，惯性力系的主矩一般不为零，故相对瞬心与相对定点或者质心的动量矩定理有不同的形式；另外，转动瞬心在空间中及刚体上的位置都在不停的改变， 故对瞬心的写出的动量矩定理在不同时刻是对刚体上不同点的动力学方程，即瞬心参考系具有不定性；再者，瞬心的运动没有像质心一点定理那样的原理可直接应用。故解决实际问题一般不对瞬心应用动量矩定理写其动力学方程。 3.10 答 因圆柱体沿斜面滚下时，圆柱体与斜面之间的反作用力不做功，只有重力作功，故机械能守恒且守恒定律中不含反作用，故不能求出此力。此过程中由于圆柱体只滚动不滑动，摩擦力做功为零，故不列入摩擦力的功，也正是摩擦力不做功才保证了机械能守恒；若圆柱体即滚且滑的向下运动，摩擦力做功不为零免责必须列入摩擦力的功。机械能不守恒，必须用动能定理求解。在纯滚动过程中不列入摩擦力的功并不是没有摩擦力，事实上，正是摩擦力与重力沿下滑方向的分离组成力偶使圆柱体转动且摩擦阻力阻止了柱体与斜面的相对滑动，才使圆柱体沿斜面滚动而不滑动；如果斜面不能提供足够的摩擦力，则圆柱体会连滚带滑的向下运动；如果斜面绝对光滑，即斜面对圆柱体不提供摩擦力，则圆柱体在重力作用下沿斜面只滑动不滚动。 &&，当柱体一定时，相对质&c=aq 答 圆柱体沿斜面无滑动滚动，如课本195页例2示，&x&&越小，故与转动惯量有关。当圆柱体沿斜面既滚动又滑动地向下运心的转动惯量越大则q动时，如课本图3.7.7有 &=mgsina-f m&x这里f是滑动摩擦力，f=mn=mmgcosa，m是滑动摩擦系数，、所以 &&c=g(sina-mcosa) x与转动惯量无关。又有转动定律得 &&=fa Iq即 &&=qmgmacosa I&&+S&&得圆柱与斜面的相对滑动加速度 &c=aqx由&2ma&&=g(sina-mcosa)-Smgcosa I与转动惯量有关 3.11 答 刚体作定点转动或定轴转动时， wVi¢O¢RiqiriO题3-12图体内任一点的线速度才可写为´，这时r是任一点到左边一点引出的矢径不等于该点到转轴的垂直距离对定点运动刚体圆点一般取在定点位置，对定轴转动刚体，坐标原点可取在定轴上任一点；包含原点且与转轴垂直的平面内的各点，r才等于到转轴的垂直距离。当刚体作平面平行运动或任意运动时，人一点相对与基点的速度也可写为´r¢，其中r¢为该点向基点引的矢径。 3.12 答 刚体绕定点转动时，=(t)的大小、方向时刻改变，任意时刻所在的方位即为瞬时转轴，d´r表示由于大小和方向的改变引起的刚体上某但绕瞬时轴的转动速度，dt故称转动加速度。´(´r)=´v是由于刚体上某点绕瞬时轴转动引起速度方向改变产生的加速度，它恒垂直指向瞬时转轴，此方向轨迹的曲率中心或定点，故称向轴加速度而不称向心加速度。 3.13 答 在对定点应用动量矩定理推导欧勒动力学方程时，既考虑了刚体绕定点O转动的定量矩J随固连于刚体的坐标系绕定点转动引起的动量矩改变´J，又考虑了J相对固连于刚体的坐标轴的运动引起动量矩的改变Jxi+Jyj+Jzk也就是说，既考虑了随刚体运动的牵连运动，又考虑了相对于刚体的相对运动，是以固定参考系观测矢量对时间微商的，故用这种坐标系并不影响对刚体运动的研究。 3.14 答 欧勒动力学方程的第二项是由于动量矩矢量J随刚体以角速度转动产生的 i´J=wxI1wxjk=-(I2-I3)wywzi+(I1-I3)wzwxj+(I2-I1)wxwyk 它们具有定性力矩的物理意义，各项的负值表示了惯性力系对定点的主矩在各动轴上的分量 4.1.答：矢量G的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。从静止参考系观察变矢量G随转动系以角速度相对与静止系转动的同时G本身又相对于动系运动，所以矢量G的绝wyI2wywzI3wzdGd*Gd*G对变化率应当写作是G相对于转动参考系的变化率即相=+´G。其中dtdtdt对变化率；´G是G随动系转动引起G的变化率即牵连变化率。若G相对于参考系不dGd*G=´G；若=0即动系作动变化，则有=0，此时牵连运动就是绝对运动，dtdtdGd*G平动或瞬时平动，则有´G=0此时相对运动即为绝对运动 ；另外，当某瞬=dtdt时/G，则´G=0，此时瞬时转轴与G平行，此时动系的转动不引起G的改变。当动系作平动或瞬时平动且G相对动系瞬时静止时，则有dG=0；若G随动系转动引起的dtdGd*G=0。 变化´G与相对动系运动的变化等值反向时，也有dtdt4.2.答：式didj=wj =-wi是平面转动参考系的单位矢对时间的微商，表示由dtdtdk=0；又dt于动系转动引起i,j方向的变化率。由于动坐标系中的z轴静止不动。故有恒沿z轴方位不变，故不用矢积形式完全可以表示didj和。 dtdt式didjdk=´i，=´j=´k是空间转动坐标系的单位矢对时间的微商，dtdtdtdk¹0；又在空间的方dtdidjdk,。是dtdtdt表示由于动系转动引起i,j,k方向的变化率，因动系各轴都转动位随时间改变际不同时刻有不同的瞬时转轴，故必须用矢积表示 的特例，当/k代入didjdk=´j=wj，=´j，=0即为dtdtdt式。不能由式推出。 4.3.答：人随卫星式飞船绕地球转动过程中受到惯性离心力作用，此力与地心引力方向相反，使人处于失重状态，故感到身轻如燕。 4.4.答：惯性离心力是随转动坐标系一起转动的物体受到惯性离心力，它作用于随动系一起转动的物体上，它不是物体间的相互作用产生的，也不是产生反作用力，是物体的惯性在非惯性系的反映；离心力是牛顿力，是作用于给曲线运动提供向心力的周围物体上的力，或者说离心力是作用于转动坐标系上的力，它是向心力的反作用力。 4.5.答：如题4.5所示， r·mF惯 题4-5图由于物体m相对于圆盘的速度矢量v¢/，故科里奥利力-2m´v¢=0；又&´r=0；所以物体只受到牵连法向惯性力&=0，故牵连切向惯心力-m=恒矢量，即惯性离心力的作用，如图示F惯=mrw，方向垂直于转轴向外。 4.6.答；单线铁路上，南来北往的列车都要通过，以北半球为例，火车受到的科氏惯性力总是指向运动方向的右侧，从北向南来的列车使西侧铁轨稍有磨损，故两条铁轨的磨损程度并不相同。 4.7.答：抛体的落地偏差是由于科里奥利力-2´v¢m引起的，当炮弹自赤道水平方向朝北或朝正南射出时，出刻/v¢，科里奥利力为零，但炮弹运行受重力作用改变方向使得与v¢不平行-2m´v¢¹0，朝北和朝南射出的炮弹都有向东的落地偏差。若以仰角40o或垂直向上射出，炮弹上升和降落过程中科氏惯性力方向相反，大小相等，且上升时间等于下降时间，故落地无偏差。 4.8.答：单摆震动面的旋转是摆锤 受到科里奥利力-2m´v¢的缘故，其中m是摆锤的质量，是地球绕地轴的自转角速度，v¢是摆锤的速度。南半球上摆锤受到的科氏力总是指向起摆动方向的左侧，如题4.8图是南半球上单摆的示意图，若没有科氏惯性力，单摆将沿2AB摆动，事实上由于科里奥利力的作用单摆从A向B摆动逐渐向左侧移动到达C点，从C点向回摆动过程中逐渐 左偏到达D点，以此推论，摆动平面将沿逆时针方向偏转。科里奥利力很小，每一次摆动，平面的偏转甚微，必须积累很多次摆动，才显出可觉察的偏转。 ECBAD题4-8图F。由C¢=2p，在赤道上纬度wsinll=0,C¢=¥，即在赤道上摆动平面不偏转。这里不难理解的，若摆动平面沿南北方向，/v¢，科氏惯性力为零；若单摆平面沿东西方位，则科氏力一定在赤道平面与B单摆的摆动平面共面，故不会引起摆动平面的偏转。 4.9.答：在上一章刚体运动学中，动系固连于刚体一起转动，但刚体上任一点相对于动坐标系没有相对运动，即各点的相对速度v¢=0，故科里奥利加速度ac=2´v¢=0。事实上，科氏加速度是牵连转动与相对运动相互影响而产生的，没有相对运动，就谈不到科里奥利加速度的存在。 5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的rr功，它与真实的功完全是两回事.从dW=åFi×dri可知：虚功与选用的坐标系无关，这i正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果. 虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力. 5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体qa不系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故qa不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故qa不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正. 广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由srråFi×dri=åqadqa=dW知，qadqa有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲ni=1a=1则可得到另一个量的量纲.若qa是长度，则qa一定是力，若qa是力矩，则qa一定是角度，若qa是体积，则qa一定是压强等. &a不一定只相差一个常数5.3 答 pa与qm，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广1&2+y&2+z&2)，若取y为广义m(x2义坐标的选用而定。直角坐标系中质点的运动动能T=&，而py=坐标，则qy=yT=¶t&=mq&y，相差一常数m，如定轴转动的刚体的动能=my¶y1&2¶t&q相差一常数转动惯量I，Iq，=&Iq&,pq与q取广义坐标qa=q，而Pq=&2¶q1&2+r2q&2)，若取qa=qm(r2又如极坐标系表示质点的运动动能T=&，而&q=q，有qpq=¶t¶T&,二&r=r&，而pr=mr2q&，二者相差一变数mr2；若取qa=r有q=mr&&¶r¶q者相差一变数m.在自然坐标系中T=12&s=s&=v，而ps=ms&，&，取qa=s，有qms2二者相差一变数&a才相m.从以上各例可看出：只有在广义坐标为长度的情况下，pa与q&a相差为转动惯量的量纲. 差一常数;在广义坐标为角量的情形下，pa与q&a更富有物理意义呢？首先，pa对应于动力学量，他建立了系统的状态pa为何比q函数T、L或H与广义速度、广义坐标的联系，它的变化可直接反应系统状态的改变，&a是对应于运动学量，不可直接反应系统的动力学特征；再者，系统地拉格朗日函数L而q中不含某一广义坐标qi时，对应的广义动量pi=¶L=常数，存在一循环积分，给解决问&i¶q&i并不一定是常数，如平方反比引力场中题带来方便，而此时循环坐标qi对应的广义速度q¶L1k2m22&2&=常数,但q&常数；&q=q=mrq，L不含q，故有pq=&+rq+L=mr&¶q2r()最后，由哈密顿正则方程知pa,qa是一组正则变量:哈密顿函数H中不含某个广义坐标qi时，对应的广义动量pi=常数，不含某个广义动量pi时，对应的广义坐标qi=常数 5.4答只有对于完整系，广义坐标数等于自由度数，才能消去所有的约束方程，式 éæd¶Tùö¶Tç÷+Qa÷dqaú=0 êç-å&dt¶q¶qa=1ëèaaøûS各dqa才能全部相互独立，得到式，故拉格朗日方程只适用于完整系，非完整力学体系，描述体系的运动需要的广义坐标多于自由度数，各dqa不全部独立，不能得到式，但式结合拉格朗日方程未定乘数法可用于非完整系。 5.6 答 力学体系在平衡位置附近的动力学方程得久期方程2式aabl+Cab=0，其中a,b=1,2LS，久期方程的各根ll的性质决定体系平衡位置附近的小振动性质。 因从本征方程式中可求出2S个的本征值ll，每一个ll对应一个独立的常数故2S2个常数中只有2S个是独立的。 5.7答多自由度体系的小振动，每一广义坐标对应于S个主频率的谐振动的叠加。若通过坐标间线性变换使得每一广义坐标仅对应一个频率的振动，则变换后的坐标称之为简正坐标，对应的频率为简正频率，每一简正坐标对应一个简正频率，而简正频率数和力学体系的自由度数相等，故简正坐标数等于自由度数。 值得说的是，每一简正振动为整个力学体系所共有，反映的是各质点的振动之一，其他坐标都作为简正坐标的线性函数，由S个简正振动叠加而成。这种方法在统计物理，固体物理中都有运用。 5.8答对一完整的稳定的力学体系在有阻尼的情况下，它们在平衡位置附近将作衰减运动。1S&aq&b 引入耗散函数F=åbabq2a,b=1则阻力 S¶F&b Ra=-=-åbabq&a¶qb=1力学体系的运动方程改为 dæ¶Tç&adtçè¶qö¶T¶V¶F÷-=- ÷¶q&¶q¶qaaaø1S1S&aq&b，V=åCabq&aq&b，F中是的函数，把在平衡位形区域展开其中T=åaabq2a,b=12a,b=1成泰勒级数 babæ¶b()=b+åçç¶qSabrab0r=1èö÷÷qr+高级项 ø0qr很小，只保留头一项，则aab,bab,cab均为常数。T,V,F代入运动方程得 &&b+babq&b+cabqb)=0,b=1,2LS (aabqåb=1S把qb=Abe代入上式得本征值方程 ltaabl2+babl+cab=0a=1,2LSb=1,2LS在V>0，F2<4VT的小阻尼情况下，本征值ll=ml+igl(l=1,2L2S)，且动方程为 ml<0振qb=åe-mltA(l)Dl=1S(-mlib+igl)eiglt+A(l)Dib(ml-igl)e-iglt(b=1,2LS) 显然是按指数率的衰减振动。 &a,t),(a=1,2,.s)，故 5.9答：因L=L(qa,qsæ¶Lö¶L¶L¶L÷&&&()dL=åçdq+dq+dt=pdq+pdq+dt åaa÷aaaaç¶q&a¶q¶ta=1èa=1aø¶ts由pa=¶L解得 &a¶qæa=1,2,.sö&a=q&a(qb,pb,t),çqçb=1,2,.s÷÷ èø所以 &a(qb,pb,t),t) I(qa,pa,t)=L(qa,q则 æ¶Lö¶L¶L÷&dI=åçdq+dqdt=dL aa÷+ç¶q&¶qaa=1èaø¶ts而 s&a¶I¶L¶L¶q¶L=+å×¹ &a¶qb¶qa¶qa¶qab=1¶q5.10答：拉格朗日方程只适用于完整系，哈密顿正则方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能适用于完整的，保守的力学体系，对非保守体系改写为 dæ¶Tç&adtçè¶q其中Qa为非有势力，或写为 ö¶T¶V÷-=-+Qa,(a=1,2.s) ÷¶q¶qaaødæ¶Lç&adtçè¶q&a=Qa+即p方程 ö¶L÷÷-¶q=Qa,(a=1,2.s) aø¶L。经勒让德变换后用课本上同样的方法可推得非保守系中的哈密顿正则¶qa¶Hì&q=ïa¶p,ïa í¶Hïp&a=-+Qa,(a=1,2.s)ï¶qaî5.11答：若哈密顿函数不显含时间t，则H=H(qa,pa)=常熟；对稳定约束下的力学体系，动能不是速度的二次齐次函数，则H=T+V,是以哈密顿正则变量表示的广义总能量，因不稳定约束的约束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含约束力，故有此差异，此时H并不是真正的能量；对稳定的，保守的力学体系，若H含t则H是能量但不为常熟。 5.12答：泊松括号是一种缩写符号，它表示已同一组正则变量为自变量的二函数之间的关系。若j=j(pa,qa,t),y=y(pa,qa,t),(a=1,2.s)，则 ¶jj,y=åççs¶y¶j¶y-¶pa¶qaa=1è¶qa¶paæö÷÷ øj,H是物理学中最常用的泊松括号，用泊松括号可表示力学体系的运动正则方程 &a=pa,H,q&a=qa,H,(a=1,2.s) p用泊松括号的性质复杂微分运算问题化为简单的括号运算，这种表示法在量子力学，量子场论等课程中被广泛应用。 每一正则方程必对应一个运动积分，利用泊松括号从正则方程=积分 j(pa,qa,t)=C1,y(pa,qa,t)=C2 可以推出另外一个积分j,y=C3，这一关系称为泊松定理。 5.13 答：哈密顿原理是用变分的方法确定运动规律的，它是力学变分原理的积分形式。基本思想是在描述力学体系的S维空间中，用变分求极值的方法，从许多条端点相同的曲线中挑选一条真是轨道确定体系的运动变化规律。 因为对等时变分dt=0，故变分符号d可置于积分号内也可置于积分号外，而不等时变分Dt¹0，故全变分符号不能这样。 5.14答：力学体系的哈密顿函数H中是否有循环坐标系或循环坐标的数目与坐标系的选取有关，故在正则方程形式不变的前提下，通过某种变数变换找到新的函数H*，使之多出现一些循环坐标，此即正则变换的目的及公用。由于每一循环坐标对应一个运动积分，正则变换后可多得到一些运动积分，给解决问题带来方便，正则变换的关键是母函数的选取，其选取的原则是使H*中多出现循环坐标，但并无一定的规律可循，要具体问题具体分析。 5.15答：哈密顿正则方程是2s个一阶微分方程的方程组，用泊松定理解之，由而已知运动积分求出其余的运动积分往往是已知解的线性组合或横等时，并不能给出新的解；而用正则变换可多得到一些循环坐标是正则方程立即有解，但母函数的选取往往很困难，哈密顿雅可毕理论的目的既是要弥补上述缺陷，通过一个特殊的正则变换，使得用新变量Pa,Qa,(a=1,2.s)表示的哈密顿函数H*=0，此时Pa,Qa全部为常数ai,bi,(i=1,2.s)，这样哈密顿得主函数极为母函数，从而解决母函数难以寻找的困难。 5.16答：对式若为不稳定约束，只需以h代替E即可，故对式分离变量后推出的中也只需以h代E即可用于不稳定约束。正则方程利用哈雅理论后得到结果十分普遍，可同时得出运动规律，轨道级动量，故比拉格朗日方程优越。 5.17答：经典“牛顿力学”常用于几何的观点，运用形象化思维的方式，研究力学体系的受力情况及运动情况，然后通过运动非常及时物体的受力与运动变化间的相互联系和前因后果。这种方法形象，直观，物理意义鲜明，被广泛应用于工程实际。但由于它着眼于力，速度，加速度等矢量，给解决复杂的力学体系的运动问题带来许多不便；再者，它仅仅局限于纯力学体系的运动分析，其理论与方法难以建立与其它学科的联系。 5.18答：十九世纪发展起来的“分析力学方法弥补了上述缺陷，它用纯数学分析的方法用更具有概括性的抽象思维方式，从力学体系的一切可能的运动中挑选出实际运动的规律。这种方法尽管物理意义不如牛顿力学方法鲜明，但它给人们解决复杂力学体系的运动问题提供了有一方法；再者，由于广义坐标，广义力的引入使其理论在其它学科中也能广泛的应用。建立了经典物理学向近代物理学过渡的桥梁。 下面通过分析力学与牛顿力学理论及方法的比较扼要阐述分析力学的优越性。 牛顿力学的着眼点是力，实际力学体系除受到促使其运动状态改变的主动力，往往还存在很多限制其运动的约束条件体现这些约束的约束反作用力都要作为未知数出现于运动微分方程，使未知量增加给解算带来许多麻烦；分析力学着眼于功和能在一定条件下，常常可以不考虑约束反作用力。如在理想条件下，用虚位移原理解决力学体系的平衡问题可撇开众多的未知未知约束力，直接得出平衡条件，比用牛顿力学中刚体受力的平衡方程方便得多；达朗伯虚位移原理解决力学体系的动力学问题，由于虚功的概念、广义坐标的引入，也可撇开约束力得解，比用牛顿方程即由此推出的动量定理，动量矩定理方便；拉格朗日方程、哈密顿原理即由此得到的分析力学一系列方程均具这一优点。从一分为二的观点来看，这也是分