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热力学统计物理第四汪志诚答案热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数a,压强系数b和等温压缩系数kT。 解：已知理想气体的物态方程为 pV=nRT, 由此易得 a=1æ¶VönR1=, ç÷Vè¶TøppVT1æ¶pönR1=, ç÷pè¶TøVpVTb=kT=-ç÷=ç-÷ç-2÷=. Vè¶pøTèVøèpøp1æ¶Vöæ1öænRTö11.2 证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数a及等温压缩系数kT，根据下述积分求得： lnV=ò(dT-Tdp) 如果a=,kT=1T1，试求物态方程。 p解：以T,p为自变量，物质的物态方程为 V=V(T,p), 其全微分为 æ¶Vöæ¶VödV=çdT+ç÷dp. ÷è¶Tøpè¶pøT全式除以V，有 dV1æ¶Vö1æ¶Vö=çdT+ç÷dp. ÷VVè¶TøpVè¶pøT根据体胀系数a和等温压缩系数kT的定义，可将上式改写为 1 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 dV=adT-kTdp. V上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 lnV=ò(adT-kTdp). 若a=,kT=，式可表为 æ11ölnV=òçdT-dp÷. pøèT1T1p选择图示的积分路线，从(T0,p0)积分到(T,p0)，再积分到，相应地体 积由V0最终变到V，有 lnVTp=ln-ln, V0T0p0即 pVp0V0， =CTT0或 pV=1T1pC. T 式就是由所给a=,kT=求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。 2 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 1.8 满足pVn=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量Cn为 Cn=n-gCV n-1解：根据式，多方过程中的热容量 æDQöæ¶Uöæ¶VöCn=limç=+p÷ç÷ç÷. DT®0DTèønè¶Tønè¶Tøn对于理想气体，内能U只是温度T的函数， æ¶Uöç÷=CV, è¶Tøn所以 æ¶VöCn=CV+pç÷. ¶Tèøn将多方过程的过程方程式pVn=C与理想气体的物态方程联立，消去压强p可得 。 TVn-1=C1将上式微分，有 Vn-1dT+(n-1)Vn-2TdV=0, 所以 Væ¶Vö=-. ç÷¶T(n-1)Tèøn代入式，即得 Cn=CV-pVn-g=CV, T(n-1)n-1其中用了式和。 1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n=Cn-CpCn-CV。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。 解：根据热力学第一定律，有 dU=Q+W. 对于准静态过程有 3 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 W=-pdV, 对理想气体有 dU=CVdT, 气体在过程中吸收的热量为 Q=CndT, 因此式可表为 (Cn-CV)dT=pdV. 用理想气体的物态方程pV=vRT除上式，并注意Cp-CV=vR,可得 (Cn-CV)dTdV=(Cp-CV). TV将理想气体的物态方程全式求微分，有 dpdVdT+=. pVT式与式联立，消去dT，有 T(Cn-CV)dpdV+(Cn-Cp)=0. pV令n=Cn-CpCn-CV，可将式表为 dpdV+n=0. pV如果Cp,CV和Cn都是常量，将上式积分即得 。 pVn=C式表明，过程是多方过程。 1.12 假设理想气体的Cp和CV之比g是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系，该关系式中要用到一个函数F(T)，其表达式为 lnF(T)=òdT g-1T()解：根据式，理想气体在准静态绝热过程中满足 CVdT+pdV=0. 用物态方程pV=nRT除上式，第一项用nRT除，第二项用pV除，可得 4 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 CVdTdV+=0. nRTV利用式和， Cp-CV=nR,CpCV=g,可将式改定为 1dTdV+=0. g-1TV将上式积分，如果g是温度的函数，定义 lnF(T)=ò1dT, g-1T可得 ， lnF(T)+lnV=C1或 F(T)V=C。 式给出当g是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。 1.13 利用上题的结果证明：当g为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为h=1-T2. T1解：在g是温度的函数的情形下，§1.9就理想气体卡诺循环得到的式仍然成立，即仍有 Q1=RT1lnV2, V1V3, V4VV2-RT2ln3. V1V4Q2=RT2lnW=Q1-Q2=RT1ln根据1.13题式，对于§1.9中的准静态绝热过程和，有 5 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 F(T1)V2=F(T2)V3, F(T2)V4=F(T1)V1, 从这两个方程消去F(T1)和F(T2)，得 V2V3=, V1V4故 W=R(T1-T2)lnV2, V1所以在g是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为 h=TW=1-2. Q1T11.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。 解：假设在p-V图中两条绝热线交于C点，如图所示。设想一等温线与 两条绝热线分别交于A点和B点，则在循环过程ABCA中，系统在等温过程AB中从外界吸取热量Q，而在循环过程中对外做功W，其数值等于三条线所围面积。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有 W=Q。 这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了， 这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。 6 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 1.17 温度为0oC的1kg水与温度为100oC的恒温热源接触后，水温达到100oC。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个oC？已知水的比热容为系统的熵保持不变，应如何使水温从0oC升至1004.18J×g-1×K-1. 解：0oC的水与温度为100oC的恒温热源接触后水温升为100oC，这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。 为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在0oC与100oC之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由0oC升至100oC。在这可逆过程中,水的熵变为 DS水=ò373mcpdTT273=mcpln373373=103´4.18´ln=1304.6J×k-1. 273273水从0oC升温至100oC所吸收的总热量Q为 Q=mcpDT=103´4.18´100=4.18´105J. 为求热源的熵变，可令热源向温度为100oC的另一热源放出热量Q。在这可逆过程中，热源的熵变为 DS热源4.18´105=-=-1120.6J×K-1. 373由于热源的变化相同，式给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为 DS总=DS水+DS热源=184J×K-1. 为使水温从0oC升至100oC而参与过程的整个系统的熵保持不变，应令水与%仍由式温度分布在0oC与100oC之间的一系列热源吸热。水的熵变DS给出。水这一系列热源的熵变之和为 373mcpdT%DS热源=-ò=-1304.6J×K-1. 273T参与过程的整个系统的总熵变为 %=DS%+DS%=0. DS总水热源 7 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 1.19 均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，试计算达到均匀温度(T1+T2)后的熵增。 l=L端温度为T1，解：以L表示杆的长度。杆的初始状态是l=0端温度为T2，12T1-T2。 这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热传导L1过程，最终达到具有均匀温度(T1+T2)的平衡状态。为求这一过程的熵变，我2温度梯度为们将杆分为长度为dl的许多小段，如图所示。位于l到l+dl的小段，初温为 T=T2+T1-T2l. L这小段由初温T变到终温(T1+T2)后的熵增加值为 dSl=cpdlòT1+T22T12T1+T2dT2=cpdlln, T1-T2TT2+lL其中cp是均匀杆单位长度的定压热容量。 根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为 DS=òdSlLéT+TT-Töùæ=cpòêln12-lnçT2+12l÷údl02LèøûëcpéæT1+T2T1-T2öæT1-T2öæT1-T2öù=cpLln-T+llnT+l-T+l÷ú ç2÷ç2÷ç2T1-T2ê2LLLøèøèøû0ëèLcLT+T=cpLln12-p(T1lnT1-T2lnT2-T1+T2)2T1-T2æT+TTlnT-TlnT2ö=Cpçln12-112+1÷.2T1-T2èøL式中Cp=cpL是杆的定压热容量。 1.21 物体的初温T1，高于热源的温度T2，有一热机在此物体与热源之间工 8 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 作，直到将物体的温度降低到T2为止，若热机从物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为 Wmax=Q-T2(S1-S2) 其中S1-S2是物体的熵减少量。 解：以DSa,DSb和DSc分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为 DS=DSa+DSb+DSc. 由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求 DS=DSa+DSb+DSc³0. 以S1,S2分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为 DSa=S2-S1. 热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即 DSb=0. 以Q表示热机从物体吸取的热量，Q¢表示热机在热源放出的热量，W表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有 Q=Q¢+W, 所以热源的熵变为 DSc=Q¢Q-W=. T2T2将式代入式，即有 S2-S1+Q-W³0. T2上式取等号时，热机输出的功最大，故 Wmax=Q-T2(S1-S2). 式相应于所经历的过程是可逆过程。 1.22 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为Ti。今令一制冷机在这两个物体间工作，使其中一个物体的温度降低到T2为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为 Wmin 9 / 92 æTi2ö=Cpç+T2-2Ti÷ èT2ø热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 解： 制冷机在具有相同的初始温度Ti的两个物体之间工作，将热量从物体2送到物体1,使物体2的温度降至T2为止。以T1表示物体1的终态温度，Cp表示物体的定压热容量，则物体1吸取的热量为 Q1=Cp(T1-Ti) 物体2放出的热量为 Q2=Cp(Ti-T2) 经多次循环后，制冷机接受外界的功为 W=Q1-Q2=Cp(T1+T2-2Ti) 由此可知，对于给定的Ti和T2，T1愈低所需外界的功愈小。 用DS1,DS2和DS3分别表示过程终了后物体1，物体2和制冷机的熵变。由熵的相加性和熵增加原理知，整个系统的熵变为 DS=DS1+DS2+DS3³0 显然 DS1=CplnDS2=CplnDS3=0.T1,TiT2, Ti因此熵增加原理要求 DS=CplnTT12³0, 2Ti或 TT12³1, 2Ti对于给定的Ti和T2，最低的T1为 Ti2T1=, T2代入式即有 WminæTi2ö=Cpç+T2-2Ti÷ èT2ø式相应于所经历的整个过程是可逆过程。 10 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 1.23 简单系统有两个独立参量。 如果以T,S为独立参量，可以以纵坐标表示温度T，横坐标表示熵S，构成T-S图。图中的一点与系统的一个平衡态相对应，一条曲线与一个可逆过程相对应。试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线，并利用T-S图求可逆卡诺循环的效率。 解： 可逆卡诺循环包含两个可逆等温过程和两个可逆绝热过程。 在T-S 图上，等温线是平行于T轴的直线。 可逆绝热过程是等熵过程，因此在T-S图上绝热线是平行于S轴的直线。 图1-5在T-S图上画出了可逆卡诺循环的四条直线。 等温膨胀过程 工作物质经等温膨胀过程由状态到达状态。 由于工作物质在过程中吸收热量，熵由S1升为S2。吸收的热量为 Q1=T1(S2-S1), Q1等于直线下方的面积。 绝热膨胀过程 工作物质由状态经绝热膨胀过程到达状态。过程中工作物质内能减少并对外做功，其温度由T1下降为T2，熵保持为S2不变。 等温压缩过程 工作物质由状态经等温压缩过程到达状态。工作物质在过程中放出热量，熵由S2变为S1，放出的热量为 Q2=T2(S2-S1), Q2等于直线下方的面积。 绝热压缩过程 工作物质由状态经绝热压缩过程回到状态。温度由T2升为T1，熵保持为S1不变。 在循环过程中工作物质所做的功为 11 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 W=Q1-Q2, W等于矩形所包围的面积。 可逆卡诺热机的效率为 T2(S2-S1)Q2TWh=1-=1-=1-2. Q1Q1T1(S2-S1)T1 上面的讨论显示，应用T-S图计算卡诺循环的效率是非常方便的。实际上T-S图的应用不限于卡诺循环。根据式 dQ=TdS, 系统在可逆过程中吸收的热量由积分 Q=òTdS 给出。如果工作物质经历了如图中ABCDA的循环过程，则在过程ABC 中工作物质吸收的热量等于面积ABCEF，在过程CDA中工作物质放出的热量等于面积ADCEF，工作物质所做的功等于闭合曲线ABCDA所包的面积。 由此可见循环过程的热功转换效率可以直接从T-S图中的面积读出。 在热工计算中T-S图被广泛使用。 补充题1 1mol理想气体，在27oC的恒温下体积发生膨胀，其压强由20pn准静态地降到1pn，求气体所作的功和所吸取的热量。 解：将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式，在准静态等温过程中气体体积由VA膨胀到VB，外界对气体所做的功为 W=-òpdVVAVBVB=-RTòVAdVV=-RTlnVBVA=-RTlnpA. pB 12 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得 -W=RTlnpA=8.31´300´ln20=7.47´103J. pB在等温过程中理想气体的内能不变，即 DU=0. 根据热力学第一定律），气体在过程中吸收的热量Q为 Q=-W=7.47´103J. 补充题2 在25oC下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为 V=(18.066-0.715´10-3p+0.046´10-6p2)cm3×mol-1 如果保持温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn，求外界所作的功。 解：将题中给出的体积与压强关系记为 V=a+bp+cp2, 由此易得 dV=(b+2cp)dp. 保持温度不变，将1mol的水由1pn加压至1000pn，外界所做的功为 W=-òVBVApdV=-òpBpA12p(b+2cp)dp=-(bp2+cp3)2311000=33.1J×mol-1.在上述计算中我们已将过程近拟看作准静态过程。 补充题3 承前1.6题，使弹性体在准静态等温过程中长度由L0压缩为试计算外界所作的功。 解：在准静态过程中弹性体长度有dL的改变时，外界所做的功是 dW=JdL. L0，2将物态方程代入上式，有 æLL2ö0dW=bTç-2÷dL. LLè0ø在等温过程中L0是常量，所以在准静态等温过程中将弹性体长度由L0压缩为时，外界所做的功为 13 / 92 L02热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 W=òJdL=bTòéæL2ö=bTêç÷2Lëè0ø5=bTL0.8L02L0L02L0L02L0æLL2ö0-dLç2÷LLè0øL02L0æL2ö+ç0÷èLøùúû值得注意，不论将弹性体拉长还是压缩，外界作用力都与位移同向，外界所做的功都是正值。 补充题4 在0oC和1pn下，空气的密度为1.29kg×m-3,空气的定压比热容Cp=996J×kg-1×K-1,g=1.41。今有27m3的空气，试计算： 若维持体积不变，将空气由0oC加热至20oC所需的热量。 若维持压强不变，将空气由0oC加热至20oC所需的热量。 若容器有裂缝，外界压强为1pn，使空气由0oC缓慢地加热至20oC所需的热量。 解：由题给空气密度可以算27m3得空气的质量m1为 m1=1.29´27=34.83kg. 定容比热容可由所给定压比热容算出 0.996´103cV=0.706´103J×kg-1×K-1. g1.41cp维持体积不变，将空气由0oC加热至20oC所需热量QV为 QV=m1cV(T2-T1)=34.83´0.706´103´20 =4.920´105J.维持压强不变，将空气由0oC加热至20oC所需热量Qp为 Qp=m1cp(T2-T1)=34.83´0.996´103´20 =6.938´105J.若容器有裂缝，在加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化。根据理想气体的物态方程 pV=mRT, +m 14 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 m+为空气的平均摩尔质量，在压强和体积不变的情形下，容器内气体的质量与温度成反比。 以m1,T1表示气体在初态的质量和温度，m表示温度为T时气体的质量，有 m1T1=mT, 所以在过程中所需的热量Q为 Q=cpòm(T)dT=m1T1cpòT1T2T2T1TdT=m1T1cpln2. TT1将所给数据代入，得 Q=34.83´273´0.996´103ln=6.678´105J.293273 补充题5 热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的物体传送到温度较高的物体上去。 如果以逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所做的功的比值。试求热泵的效率。 如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？ 解：根据卡诺定理，通过逆卡诺循环从温度为T2的低温热源吸取热量Q2，将热量Q1送到温度为T1的高温热源去，外界必须做功 W=Q1-Q2. 因此如果以逆卡诺循环作为热泵的过程，其效率为 h=Q1Q1T1T=1+2. WQ1-Q2T1-T2T1-T2式中第三步用了 Q1T1= Q2T2的结果和）。 由式知，效率h恒大于1。如果T1与T2相差不大，h可以相当高。不过由于设备的价格和运转的实际效率，这种方法实际上很少使用。 将功直接转化为热量，效率为1。 补充题6 根据熵增加原理证明第二定律的开氏表述：从单一热源吸取热量 15 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 使之完全变成有用的功而不引起其它变化是不可能的。 解：如果热力学第二定律的开尔文表述不成立，就可以令一热机在循环过程中从温度为T的单一热源吸取热量Q，将之全部转化为机械功而输出。热机与热源合起来构成一个绝热系统。在循环过程中，热源的熵变为-，而热机的熵不变，这样绝热系统的熵就减少了，这违背了熵增加原理，是不可能的。 QT第二章 均匀物质的热力学性质 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： p=f(V)T, 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： 故有 但根据式，有 æ¶Uöæ¶pö=Tç÷ç÷-p, ¶V¶TèøTèøVp=f(V)T, æ¶pöç÷=f(V). ¶TèøV所以 æ¶Uöç÷=Tf(V)-p=0. è¶VøT这就是说，如果物质具有形式为的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T的函数. 2.3 求证： (a)ç÷<0; (bè¶pøH解：焓的全微分为 16 / 92 æ¶Söæ¶Sö)ç÷>¶VèøU 0.热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 令dH=0，得 内能的全微分为 令dU=0，得 dH=TdS+Vdp. æ¶SöV=-<0. ç÷Tè¶pøHdU=TdS-pdV. pæ¶Sö=>0. ç÷¶VTèøU2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落. 解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数æ¶Töæ¶Tö和ç÷ç÷描述. 熵函数S(T,p)的全微分为 è¶pøSè¶pøHæ¶Söæ¶SödS=çdT+ç÷dp. ÷è¶TøPè¶pøT在可逆绝热过程中dS=0，故有 æ¶Söæ¶VöTçç¶p÷÷æ¶Tö¶TøPèøèT. ç÷=-¶S=¶pCæöèøSpç÷è¶TøP最后一步用了麦氏关系式和式. 焓H(T,p)的全微分为 æ¶Höæ¶HödH=çdT+ç÷dp. ÷è¶TøPè¶pøT在节流过程中dH=0，故有 17 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 æ¶Höæ¶VöTç¶p÷ç÷-Væ¶TöèøTè¶TøP. ç÷=-¶H=Cpæöè¶pøHç÷è¶TøP最后一步用了式和式. 将式和式相减，得 æ¶Töç÷è¶pøSæ¶TöV-ç=>0. ÷¶pCèøHp所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体. 由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化. 2.9 证明范氏气体的定容热容量只是温度T的函数，与比体积无关. 解：根据习题2.8式 æ¶2pöæ¶CVöç÷=Tç2÷, è¶VøTè¶TøV范氏方程）可以表为 nRTn2ap=-2. V-nbV由于在V不变时范氏方程的p是T的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是T的函数，与比体积无关. 不仅如此，根据2.8题式 æ¶2pöCV(T,V)=CV(T,V0)+Tòç2÷dV, V0¶TèøVV我们知道，V®¥时范氏气体趋于理想气体. 令上式的V0®¥，式中的CV(T,V0)就是理想气体的热容量. 由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的. 18 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积V与温度T不呈线性关系. 根据2.8题式 2æ¶CVöæ¶pöç÷=ç2÷, è¶VøTè¶TøV这意味着范氏气体的定压热容量是T,p的函数. 2.16 试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率. 解：根据式和，平衡辐射的压强可表为 1p=aT4, 3因此对于平衡辐射等温过程也是等压过程. 式给出了平衡辐射在可逆绝热过程中温度T与体积V的关系 与体积V的关系 和式. pV=C¢. 43T3V=C(常量). 将式与式联立，消去温度T，可得平衡辐射在可逆绝热过程中压强p下图是平衡辐射可逆卡诺循环的p-V图，其中等温线和绝热线的方程分别为式下图是相应的T-S图. 计算效率时应用T-S图更为方便. 19 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 在由状态A等温膨胀至状态B的过程中，平衡辐射吸收的热量为 循环过程的效率为 h=1-Q1=T1(S2-S1). Q2=T2(S2-S1). T(S-S)Q2T=1-221=1-2. Q1T1(S2-S1)T1在由状态C等温压缩为状态D的过程中，平衡辐射放出的热量为 2.19 已知顺磁物质遵从居里定律： M=CH(居里定律). T若维物质的温度不变，使磁场由0增至H，求磁化热. 解：式给出，系统在可逆等温过程中吸收的热量Q与其在过程中的熵增加值DS满足 Q=TDS. 在可逆等温过程中磁介质的熵随磁场的变化率为） 如果磁介质遵从居里定律 易知 所以 20 / 92 æ¶Söæ¶mö=m0çç÷÷. è¶HøTè¶TøHCVH(C是常量), Tm=CVæ¶mö=-H, ç÷2¶TTèøH热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 CVm0Hæ¶Sö=-. ç÷2¶HTèøT在可逆等温过程中磁场由0增至H时，磁介质的熵变为 吸收的热量为 补充题1 温度维持为25oC，压强在0至1000pn之间，测得水的实验数据如下： æ¶Vö-3-63-1-1ç÷=(4.5´10+1.4´10p)cm×mol×K. è¶TøpCVm0H2Q=TDS=-. 2TDS=òH0CVm0H2æ¶Sö. ç÷dH=-2¶H2TèøT若在25oC的恒温下将水从1pn加压至1000pn，求水的熵增加值和从外界吸收的热量. 解：将题给的æç¶Vö÷记为 ¶Tèøp由吉布斯函数的全微分 æ¶Vöç÷=a+bp. è¶TøpdG=-SdT+Vdp 得麦氏关系 因此水在过程中的熵增加值为 p2æ¶SöDS=òç÷dpP1è¶PøTp2æ¶Vö=-òç÷dp p1è¶Tøpæ¶Söæ¶Vö=-ç÷. ç÷¶Tèøpè¶pøT=-ò 21 / 92 p2p1(a+bp)dp热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 b2éù=-êa(p2-p1)+(p2-p12)ú. 2ëû将p1=1pn,pn=1000pn代入，得 DS=-0.527J×mol-1×K-1. 根据式，在等温过程中水从外界吸收的热量Q为 Q=TDS=298´(-0.527)J×mol-1 =-157J×mol-1.补充题2 试证明范氏气体的摩尔定压热容量与摩尔定容热容量之差为 Cp,m-CV,m=1-R2a(Vm-b)3VmRT2. 解：根据式，有 由范氏方程 p=RTa-2 Vm-bVmæ¶pöæ¶VmöCp,m-CV,m=Tç÷ç÷. è¶TøVmè¶Tøp易得 Ræ¶pö=, ç÷¶TV-bèøVmm但 æ¶pöRT2a+. ç÷=-23(Vm-b)Vmè¶VmøTæ¶pöæ¶Töæ¶Vmö÷ç÷=-1, ç÷çè¶TøVmè¶Vmøpè¶pøT所以 æ¶pöç÷è¶TøVmæ¶Vmö ç÷=-æ¶pöè¶Tøpç÷è¶VmøT 22 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 3RVm(Vm-b)代入式，得 =RTV-2a(Vm-b)3m2, Cp,m-CV,m=1-R2a(Vm-b)3RTVm2. 补充题3 承前1.6和第一章补充题3，试求将理想弹性体等温可逆地由L0拉长至2L0时所吸收的热量和内能的变化. 解：式给出，以T,V为自变量的简单系统，熵的全微分为 对于本题的情形，作代换 即有 æ¶JöTdS=CLdT-Tç÷dL. ¶TèøLV®L,p®-J, dS=CVæ¶pödT+ç÷dV. Tè¶TøV将理想弹性体等温可逆地由L0拉长至2L0时所吸收的热量Q为 由 æLL2ö0J=bTç-2÷ èL0LøQ=òTdS=-Tò2L0L0æ¶Jöç÷dL. ¶TèøL可得 代入式可得 Q=-bTò2L0L02L0æLæLL2öö2L2200-dL+bTa+dL ç0òLç2÷2÷0LLLLè0øè0ø2æLL2öæö1dL02LLæ¶Jö00=b-bT+, ççç÷2÷2÷è¶TøLèL0LøèL0LøL0dT 23 / 92 热力学统计物理_第四版_汪志诚_ 课后答案 其中a0=1dL0. L0dTæ5ö=-bTL0ç1-a0T÷, è2ø过程中外界所做的功为 W=ò2L0L0JdL=bTò2L0L0æLL2ö0-dL=bTL0, ç2÷LLè0ø故弹性体内能的改变为