热力学统计物理习题作业.docx

热力学统计物理习题作业热力学统计物理习题、作业 本课程习题、作业分为三类。1随手练习:结合教学具体内容设置，供学生在课后复习时使用，边复习边练习，起到加深理解、熟悉运算技巧、及时巩固所学知识的作用，其中有些难度的可作为习题课讨论内容；2习题：与随手练习相比，难度与综合性均略有提高，放在每章后面，作为课外作业。其中又分为两个层次，带星号的选自国内外考博、考硕中的难题，供有志于此业务方向的学生练习；3综合性作业：有助于学生作阶段性小结或全课程总结。 1、随手练习： 第一章 随手练习题 L.S 1.3.2 经典二维转子，可以用广义坐标J,j和广义动量pJ,pj描述。转子22的能量表达式为e=(pJ+pj/Sin2J)/2I，其中I为转子的转动惯量。证明在空间中等能曲面所包围的相体积为 w(e)=òòòdjdJdpjdpJ=8p2Ie eL.S 1.3.3 自由的刚性双原子分子与弹性双原子分子其µ空间各是多少维？分别写出它们的相体积元和能量表达式。 L.S 1.3.6 利用L.S 1.3.2的结果，求转子的态密度。 L.S 1.3.7 已知光子的能量与动量的关系为ee=cp,其中c为光速，处于同一平动状态的光子还可处在两个不同的偏振状态，试证明光子的态密度 g(e)=8pVe2/h3c3 L.S.1.3.10 由个全同粒子组成的系统，个体量子态只有两个，系统的微观量子态共有+1个，试问该系统是由定域子、费密子、玻色子三种粒子中的哪一种组成的？ L.S.1.3.12 若系统中所含个粒子中有两种全同非定域粒子,数目分别为N1,N2£在dG中所含系统微观态数为何？ 1 L.S 1.4.4 已知分子自由程介于xx+dx之间的概率密度为Aexp(-x/),其中是一个常数，求归一化常数A以及自由程超过2的概率。 L.S 1.4.5 利用上题给出的概率密度计算分子的平均自由程。 L.S 1.4.6 已知粒子能量的概率密度正比于e1/2e-e/kT，求粒子的平均能量和能量平方平均值。 L.S 1.6.1 已知在无外场时，气体分子位置的概率分布为r=1/V,其中V为气体的体积，试证明分子位置的信息熵为S=klnV。 L.S 1.6.2 已知气体分子动量的概率分布为 r(p2)=(2pmkT)-3/2exp(-p2/2mkT) 3/2试证明分子速率的信息熵为S=kln(2pmkTe)。提示:采用动量空间球坐标比较方便。 L.S 1.7.4 由两种原子组成的固体 ，第一种原子数目所占比例为 x ,原子总数为N ，试计算由于原子在晶体格点上的随机分布所对应的“混合熵”。 L.S 1.7.5 若原子在晶体中的正常位置有 N 个，填隙位置也有 N 个，求含有N个原子的晶体出现n个缺位和填隙原子而具有的熵。 L.S 1.7.6 某种定域子只有两个能级，其能量分别为0，简并度分别为2、3。如果由两个这样的粒子组成一个系统，求系统的配分函数。若两个能级都是非简并的情况如何？ L.S 1.7.7 上题中的粒子如果换成玻色子或费米子，试分别求出系统的配分函数。 L.S 1.7.9 利用(1.7.19)(1.7.20)两式的结果计算单原子分子理想气体的定容热容和定压热容。 L.S 1.8.1 1 kg 0 的水和100的热源接触，水的温度达到100时，水的熵增加多少？热源的熵增加多少？水和热源的总熵增加多少？(水的定压比热为4.187×103Jkg-1K-1) 2 L.S 1.8.2 0.2 kg 0的冰和1 kg 20的水混合,求达到平衡后总熵的增加量。(水的定压比热为4.187×103Jkg-1K-1，冰的熔解热为3.35×103Jkg1) L.S 1.8.3 用熵增原理证明热力学第二定律克劳修斯表述的正确性。 L.S 1.8.5 对于不可逆变化(1.8.11)式是否还反应能量守恒与转化关系？ L.S 1.8.6 指出下列等式和不等式是否正确,如果是正确的,其适用条件如何？ (1)TdS=dU-dW (2)TdS>dU-dW (3)dQ=dU-åtXtdxt (4) TdS>dU-åtXtdxt L.S 1.9.4 试证明U是以S、V为独立变量时的特性函数。 L.S 1.9.5 试证明H是以S、P为独立变量时的特性函数。 L.S 1.10.1 证明 (¶T/¶V)UL.S 1.10.2 证明 (¶P/¶S)UL.S 1.10.3 证明¶CV¶V=T=P(¶T/¶U)V-T(¶P/¶U)V =P(¶T/¶U)S-T(¶P/¶U)S¶2P¶T2()()T,V()¶CP¶P=-TT() ¶2V¶T2P-1£¶T/¶P)H=CPT(¶V/¶T)P-V L.S 1.10.4 证明 (L.S 1.10.5 证明?¶U/¶P)T=PVkT-aPTV(¶U/¶P)V=CV(¶T/¶P)VL.S 1.10.6 证明 (¶S/¶T)P=T-1(¶U/¶T)P+T-1P(¶V/¶T)P L.S 1.10.7 证明 L.S 1.10.8 求 ³-1(¶H/¶P)T=V-T(¶V/¶T)P;(¶V/¶H)´P=T(¶T/¶P)S (¶H/¶V)T=T(¶P/¶T)V+V(¶P/¶V)T(¶S/¶P)V L.S 1.10.9 证明 kS/kT=CV/CP 其中 kS=V-1(¶V/¶P)S 3 L.S 1.10.10 求kS-kTL.S 1.10.11 证明 (¶T/¶P)S-(¶T/¶P)H=V/CPL.S 1.10.12 当选取T、P作为独立变量时，先计算焓往往比先计算内能更方便。证明dH=CPdT+V-T(¶V/¶T)PdP,且对于理想气体有H=òCPdT+H0. L.S 1.10.13 选取T、P作为独立变量，试证明dS=(CP/T)dT-(¶V/¶T)PdP，对于理想气体则有 S=ò(CP/T)dT-RlnP+S0¢ L.S 1.10.14 简单固体的态式为 热容与体积无关，并求其内能和熵。 V(T,P)=V0(T0,0)1+aP(T-T0)-kTP 证明其定容L.S 1.10.15 求范氏气体的内能和熵。 第二章 随手练习题 L.S 2.1.1 试由最大熵原理出发，直接求出N-E分布。 L.S 2.1.2 为什么E分布配分函数不仅是b、V的函数，而且还是N的函数。 L.S 2.1.3 根据N-V分布和E分布的特点，你能否由N-V分布和V分布这两个名称写出两种分布的形式，确定相应配分函数的自变量。 L.S 2.1.4 试计算单原子分子理想气体N-V分布的配分函数Z(e,E,e) L.S 2.1.5 试计算单原子分子理想气体0分布的配分函数Z(N.E.V)(取 DE=2E/3N»kT) L.S 2.1.6 若分布的量子表达式为Ps=e-aNS-kVS/Z(a,E,k)，试写出其经典表达式。即系统处于粒子数为N体积为V附近无穷小体积内的概率。 L.S 2.1.7 若分布经典的表达式为 4 P(N)=e-aN¶GDE/hNfN!Z(a,E,V) ¶E试写出与其相应的量子表达式。 L.S 2.1.8 试写出E-V分布并确定其配分函数的独立变量 L.S 2.1.9 已知某分布配分函数为Z(a.E.k)，试写出该分布。 L.S 2.2.1 试用经典的N-E状态分布，验证(2.2.1)式。 L.S 2.2.2 试用单原子分子理想气体的N-V分布配分函数，计算该系统的平均粒子数和平均体积。 L.S 2.2.3 计算单原子分子理想气体的E-V分布配分函数，并用之计算该系统的内能和平均体积。 L.S 2.2.4 某种遵从经典分布的理想气体，其粒子能量e正比于动量p的大小，即e=cp，试计算该系统的N-E配分函数、平均粒子数和内能。 L.S 2.2.5 计算L.S 2.2.4所给系统的N-V配分函数，并用之计算该系统的平均粒子数和平均体积。 L.S 2.2.6 用N-V分布计算单原子分子理想气体的熵。 L.S 2.2.7 用N-E分布计算L.S 2.2.4所给气体的熵。 L.S 2.2.8 试用E分布计算单原子分子理想气体的e、e。 L.S 2.2.9 试用0分布计算单原子分子理想气体的e、e、e。 L.S 2.2.10 试由L.S 2.2.4给出的NE分布计算该气体的e。 L.S 2.2.11 考虑L.S 2.2.89计算的结果与上面讨论的e、e、e的意义是否相符？ L.S 2.2.12 在上面的讨论中，若孤立系统内只有两个子系且温度、压强相1ee2,试从熵增原理出发讨论相变的进行方向。 等，但是eL.S 2.2.13 试证明SdT-PdV+Ndm=0 5 L.S 2.2.14 试导出(2.2.33)(2.2.35)式。 L.S 2.2.15 试证明(2.2.36)(2.2.39)式。 L.S 2.2.16 试写出开系自由能、自由焓和热力势的微分表达式。 L.S 2.3.1 已知一极端相对论粒子系，三种分布的配分函数分别为 Z(N,b,V)=(8pV)N(hcb)-3N/N! Z(N,b,k)=(8p/k)N(hcb)-3N 8p(V/eah3c3b3) Z(a,b,V)=exp求在三种分布中粒子数、能量、体积围绕平均值的方均涨落和相对涨落。 L.S 2.3.2 已知某经典理想气体在两种分布中的配分函数分别为 a/b7/2) Z(N,b,V)=(AV)N/b7N/2N! Z(a,b,V)=expA(V-e求这两种分布中N、E的涨落。 L.S 2.3.3 已知某种气体的平均粒子数和平均能量分别为 a/h2b E=2pmse-a/h2b2 N=2pms-e求(DN)2、dN及(DE)2、dE。 L.S 2.3.4 已知N个极端相对论粒子(e=cp)组成的系统，当体积为V时，在空间中等能面所包围的相体积为 G(N,E,V)=(8E3pV)N /c3N(3N)! 求EP、配分函数Z(N,b,V) 和平均能量E，并比较EP与E。 L.S 2.3.5 用L.S 2.3.4给出的条件证明该系统E能量分布函数满足 &e-1.5´104N r(1.01EP)/r(EP)= 6 L.S 2.3.6 利用L.S 2.3.4给出的相体积，求该系统的VP,配分函数Z(N,b,k)和体积V并比较V与VP L.S 2.3.7 试由(2.3.17)式求出单原子分子理想气体的NP，并由此说明NP=N。 L.S 2.4.1 试列出多元系的E-V分布，并给出配分函数的计算公式。 L.S 2.4.2 试列出多元系的N3-V分布，并给出配分函数的计算公式。 L.S 2.4.3 由(2.4.15)式的启发，写出由e个组元单原子分子组成的混合理想气体E分布的配分函数。 L.S 2.4.4 试写出两种单原子分子组成的混合理想气体N1-N2-E状态分布，并计算该分布的配分函数。 L.S 2.4.5 比较单原子分子混合理想气体热力学量(2.4.17)-(2.4.20)式和单组元的单原子分子理想气体热力学量，你有什么结论？ L.S 2.4.6 试用L.S 2.4.4算出的配分函数计算该系统的平均值N1,N2,E以及压强P。 L.S 2.4.7 N个具有固定磁矩e的磁偶极子，置于磁感应强度为B的磁场中，如果磁偶极子只能处于平行于磁场或反平行于磁场两种状态，求系统平衡时的总磁矩。 L.S 2.5.1 已知某一全同粒子系的bl=1,h=0,r为有限值，试计算Pi(0)和fi。 L.S 2.5.2 已知某种全同粒子系的bl=l!,h=0,r®¥,试计算Pi(0)和fi。 L.S 2.5.3 试证明费密粒子的熵S=-kåifilnfi+(1-fi)ln(1-fi) L.S 2.5.4 试证明费米粒子系的配分函数Z=Õi(1+e-a-bei)gi L.S 2.5.5 试证明玻色粒子系的熵 S=-kåifilnfi+(1+fi)ln(1+fi) 7 L.S 2.5.6 式证明玻色粒子系的配分函数Z=Õ(1-e-a-bei)-gi iL.S 2.5.7 试证明非定域玻耳兹曼粒子系的熵 S=kåifi(1-lnfi) L.S 2.6.1 试证明(2.6.5)式。 L.S 2.6.2 试证明(2.6.6)式。 L.S 2.6.3 求玻色粒子系的最概然粒子数分布。 L.S 2.6.4 求费米粒子系的最概然粒子数分布。 L.S 2.6.5 在推导最概然分布过程中使用斯特令公式存在甚么问题？ L.S 2.6.6 试求玻色粒子系的平均粒子数分布。 L.S 2.6.7 试求费米粒子系的平均粒子数分布。 L.S 2.6.8 试用0分布求定域粒子系的平均粒子数分布。 L.S 2.6.9 假设有一种遵从玻耳兹曼分布的粒子，只有三个能级，能量本征值分别为0、e、2e,相应的能级简并度则为1、2、1，求粒子配分函数。 L.S 2.6.10 求线谐振子的配分函数。 L.S 2.6.11 设有N个相同粒子组成的系统，粒子配分函数已由L.S 2.6.9给出，求内能。 L.S 2.6.12 一系统由N个线谐振子组成，求内能。 L.S 2.6.13 证明定域粒子系的熵可以表示为S=-kåigifilnfi/N。 L.S 2.6.14 证明非定域玻耳兹曼粒子系的熵可以表示为S=-kåigifilnfi/e。 L.S 2.7.1 试写出费密子和玻色子量子态数分布所包含的系统微观态数。 L.S 2.7.2 试说明费密子的粒子数分布包含的系统微观态数与(2.6.6)式给出的结果是一致的。 L.S 2.7.3 给Ni、gi以简单数字，说明在玻色粒子系在单粒子能级i上Ni个8 粒子向gi个量子态分配的方式与下式给出的结果是一致的 L.S 2.7.4 试用0分布求定域粒子系的平均量子态数分布。 L.S 2.7.5 在量子态数分布的一般公式中，令h=0,r=1,bl=1,求费米粒子系的量子态数分布、空态比和平均占据数。 L.S 2.7.6 在量子态数分布的一般公式中，如果令h=0,r®¥,bl=l!,可以得到非定域玻耳兹曼分布，试验证之。与此分布的对应的量子态数分布、空态比的表达式为何？ L.S 2.7.7 在量子态数分布的一般公式中，令h=0、r为有限值，所得分布称为反常分布。试求出该分布的空态比、量子态数分布、平均占据数公式和粒子数分布。 gL.S 2.7.8 试证明对于费密粒子系Z(a,b,V)=Õi(1+e-a-bei)i。 第三章 随手练习题 L.S 3.1.1 试由E分布的经典表达式出发导出(3.1.1)式。 L.S 3.1.2 试用(3.1.2)式计算单原子分子的配分函数z，并用它计算具有N个相同单原子分子组成的理想气体的热力学函数。 L.S 3.1.3 求分子速度处于q®q+dq的概率。 L.S 3.1.4 求分子平动动能处于间隔e®e+de内的概率。 L.S 3.1.5 求分子速度沿z轴的分量处于vz-vz+dvz，垂直于z轴的分量处于vc-vc+dvc的概率。 L.S 3.1.6 试证明速率小于最概然速率的分子数占总分子数的比例与温度无关，比计算其数值。 9 L.S 3.1.7 从非定域玻耳兹曼分布出发导出二维理想气体的速度分布和速率分布，求出平均速率和方均速率。 L.S 3.1.8 利用L.S 3.1.4的结果，求气体分子平均平动动能，方均动能和最概然动能。 L.S 3.1.9 离心机的圆筒半径为R，转轴与圆筒中心轴线重合。离心机转动后形成离心力场，求在此离心力场中气体分子的密度分布。 L.S 3.1.10 试用能量均分定理分别计算单原子分子、刚性双原子分子和弹性双原子分子的平均能量。 L.S 3.1.11 试用能量均分定理分别计算由5个原子组成的线性分子和非线性分子的平均能量。(注：原子间相对振动在常温下处于基态，分子认为是刚性的) L.S 3.2.1 如将玻马定律写成PV=CTs形式，就不能由其导出盖·吕萨克定律，这种看法问题出在哪里？ L.S 3.2.2 试证明凡物态方程具有P=TF(V)形式的，都遵从焦耳定律，F(V)仅为系统体积的函数。 L.S 3.2.3 为估计平动能级的密集程度,计算一维自由粒子的比值een/en L.S 3.2.4 氢气热容随温度变化的曲线可以粗略地描绘为台阶形状，温度增加到一定数值曲线上一个台阶，总计有三个台阶，试予以定性解释。 L.S 3.2.5 若气体的热容是常数，求用P、V作为独立变量时熵的表达式。并由其导出可逆绝热过程方程。 L.S 3.2.6 若气体的热容是温度的函数，求可逆绝热给出中T、V的关系，为使其形式简单，你可以自行定义一个温度的函数。 L.S 3.2.7 试用统计方法计算常温下双原子分子理想气体的熵。 10 L.S 3.2.8 有人认为热功比Q/W=常数是多方过程的基本特征，有人则引入“功容”ew/T,认为它等于常数是多方过程的基本特征试判断哪一种看法正确，比说明理由。 L.S 3.2.9 试证明多方过程热容可表为Cn=CV(n-s)/(n-T)。 L.S 3.2.10 试证明以T、S为独立变量的多方过程方程为T=T0e(SS0)/CnL.S 3.2.11 试在P-V图和T-S图中示意性地绘出可逆的等容、等压、等温以及绝热过程的曲线。 L.S 3.3.1 试求分别以T、V和T、P为独立变量的弱简并气体绝热过程方程。 L.S 3.3.2 试分别求出以T、V和P、V为独立变量的<0费米气体绝热方程。 L.S 3.3.3 试利用最低能级的空态概率证明N0不可能精确地等于零。 L.S 3.3.4 试利用最低能级上的占据数概率分布和粒子数表达式证明e不能精确地等于零，最低能级上的空态概率也不能精确地等于零。 L.S 3.3.5 求N0与N、T/Tc的关系，并利用这个关系讨论玻色爱因斯坦凝聚现象。 L.S 3.4.1 用只能透过某种频率的滤光片分别将两个温度为T的相同物体包起来，放在空腔内的不同位置，用反证法证明温度恒定时空腔辐射场的性质是到处均匀的。 L.S 3.4.2 将不同材料作成的两个不同形状的空腔用一个细管连通，在细管两端插入滤光片。用反证法证明单色辐射能密度与空腔腔壁的形状、材料无关。 L.S 3.4.3 试用普朗克公式计算辐射场的总能量。 L.S 3.4.4 将普朗克公式改用波长表示，并证明维恩位移律pT=常数，其中p是辐射能最大处的波长 L.S 3.4.5 计算黑体辐射的焓、自由能和自由焓。 11 L.S 3.4.6 导出黑体辐射可逆绝热过程方程。 L.S 3.4.7 计算辐射场的定容热容和定压热容。 L.S 3.5.1 试导出(3.5.2)式 L.S 3.5.2 试给出混合理想气体自由能的计算公式。 L.S 3.5.3 你能否设想一个可逆绝热过程将不同的理想气体混合起来？ L.S 3.5.4 为什么理想气体在等温、等压下混合是绝热过程？ L.S 3.5.5 证明理想气体在等温、等压条件下混合，其自由焓的变化为 C¢=RTårnrlncr<0 L.S 3.5.6 在上述例子中，混合前两种气体的粒子数相等，温度、体积也分别相等，压强是否也相等？试通过计算作出说明。 L.S 3.5.7 上述例子中，在甚么条件下可以出现等温等压混合？ L.S 3.5.8 就上面讨论的具体例子，计算不同气体绝热混合前后熵的变化。若是相同气体如何？有无佯谬存在？ L.S 3.5.9 在上面讨论的例子中引入n和n',以消除内能佯谬和压强佯谬。 L.S 3.5.10 在上面讨论的例子中引入n和n',以消除温度佯谬。 L.S 3.6.1 试将克劳修斯气体状态方程 P+a/T(V+C)2(V-b)=RT写成级数展开形式。 L.S 3.6.2 试将狄特里奇气体状态方程P(V-b)=RTe-a/RTV写成级数展开式。L.S 3.6.3 设二分子之间的作用可表为方形势阱，即 r<r1， u(r)®¥ r1<r<r2， u(r)=-u0; r>r2， u(r)=0 试计算第二维里系数。 12 L.S 3.6.4 已知L.S 3.6.1的克劳修斯方程中a、b、c都是正常数，计算遵守该方程的气体的焦耳系数，并说明它是负的。 L.S 3.6.5 已知L.S 3.6.2狄特里奇方程中a、b都是正常数，试由它计算焦耳系数，并说明它是负的。 L.S 3.6.6 一气体遵从贝则罗状态方程 (P+a/Tv2)(v-b)=RT,求这种气体的转换温度。 L.S 3.6.7 求狄特里奇气体的转换温度。 L.S 3.7.1 对于一维固体和二维固体，找出声子的态密度。 L.S 3.7.2 对于一维和二维固体计算其热力学函数 L.S 3.8.1 顺磁固体是由N个磁偶极子组成的系统，求当有n个磁偶极子与外磁场平行时系统的能量。 L.S 3.8.2 由N个磁偶极子组成的系统，当其中n个与外磁场反平行时，求它所对应的微观态数。 L.S 3.8.3 试导出CH-CI的计算公式。 L.S 3.8.4 若顺磁固体遵从居里定律计算CH和CI。 L.S 3.9.1 试从以下几个温度所描述的状态中找出最热的和最冷的 157K，300K，800K，600K，96K。 L.S 3.9.2 试证明在负绝对温度情况下熵增原理与热力学第二定律克劳修斯表述的等价性 L.S 3.9.3 试由熵增原理出发推出负绝对温度情况下热力学第二定律的开尔文表述。 L.S 3.9.4 比较在正温和负温两种情况下，卡诺正向循环中两热源之间的熵流方向。 13 L.S 3.9.5 始终处于负绝对温度的系统经历一不可逆过程，若其初末态具有相同的体积、熵和粒子数，试证明此不可逆过程向内能增加的方向进行，达到平衡时内能取最大值。 L.S 3.9.6 始终处于负绝对温度的系统经历一不可逆过程，若其初末态具有相同的压强、熵和粒子数，试证明此不可逆过程向焓增加的方向进行，达到平衡时焓取最大值。 L.S 3.9.7 始终处于负绝对温度的系统经历一不可逆过程，若其初末态具有相同的体积、温度和粒子数，试证明此不可逆过程向自由能增加的方向进行，达到平衡时自由能取最大值。 L.S 3.9.8 始终处于负绝对温度的系统经历一不可逆过程，若其初末态具有相同的压强、温度和粒子数，试证明此不可逆过程向自由焓增加的方向进行，达到平衡时自由焓取最大值。 L.S 3.10.1 已知白矮星天狼B的质量约为2.09×1030kg，半径约为5.57×103km，质子的质量为1.67×10-27kg，y=2，求该星的核子总数。 L.S 3.10.2 利用L.S 3.10.1中所给数据计算天狼B中电子气体的费米能。电子质量为9.11×10-31kg、h=6.63×10-34J·s L.S 3.10.3 利用前面已给出的数据计算天狼B在两种极端情况下电子气体的压强 L.S 3.10.4 已知G=6.67×1011Nm2kg-2求白矮星临界质量(其它数据参阅L.S 3.10.13.10.3) 第四章 随手练习题 L.S 4.1.1 已知在1大气压下，纯水的沸点为373.15K，汽化热为2.2574×106J/Kg,水的比容为1.043×10-3m3/Kg,蒸汽的比容为1.673m3/Kg,求沸点随压强的变化。 14 L.S 4.1.2 1大气压下冰的熔点为273.15K,此时熔解热为3.338×105J/Kg,冰的比容为1.093×10-3m3/Kg,水的比容为1.002×103m3/Kg,求冰的熔点随压强的变化。 L.S 4.2.1 试用a、b、R三个常数将范氏方程的临界参数Tc、Pc、Vc表示出来。 L.S 4.2.2 用对比参量e=T/Tc、e=P/Pc、e=V/Vc表示的物态方程称为对比物态方程。试求范氏方程的对比物态方程，由此看出对比物态方程有何特点？ L.S 4.2.3 考虑气液两相平衡时e-T平面1=e2、v1<v2、s1<s2等特点，在e上画出压强恒定时气体两相化学势随温度变化的示意图；在e-P平面上画出温度恒定时气液两相化学势随压强变化的示意图，并用你画出的图来说明状态的稳定性。 L.S 4.3.1 已知室温291K时水的表面张力为0.073Nm1,比容为18.016×10-6m3/mol，若水滴半径分别为105cm、10-6cm、107cm，求这三种情况下，过饱和蒸汽压与同温下的饱和蒸汽压之比值。 L.S 4.4.1 试导出(4.4.1)式。 L.S 4.4.2 试导出(4.4.2)式 L.S 4.4.3 试用玻色爱因斯坦统计算出(4.4.5)、(4.4.6)式。 L.S 4.5.1 从上述热力学方程出发经过勒让德变换可能引入多少个不同的态函数？试写出焓、自由能、巨热力势的全微分式，指出它们分别作为特性函数时所应选取的独立变量。 L.S 4.5.2 试证明吉布斯关系式SdT-VdP+årnrdmr=0 L.S 4.5.3 试证明mr=(¶U/¶nr)(¶H/¶nr)(¶F/¶nr)S,V,nj¹r=S,P,nj¹r=T,V,nj¹r 15 L.S 4.5.4 四元系最多能有几项共存？当有三相共存时需用几个参量描述它的状态？ L.S 4.6.1 写出(4.6.1)和(4.6.2)式所给化学反应的平衡条件。 L.S 4.6.2 写出(4.6.1)和(4.6.2)式所给化学反应的质量作用定律第一、第三两种具体形式。 L.S 4.6.3 使破坏系统在等温下改变压强，反应将向何方向进行？以此说明勒夏忒列原理 第五章 随手练习题 L.S 5.1.1 试以eS、eP为自变量，证明S、P的涨落分别为 (DS)2=kCP,2=kT/Vk,(DP)SDSDP=0 L.S 5.1.2 试用(5.1.11)-(5.1.13)式计算(DP)2与上个练习比较，如果直接从(5.1.9)式出发计算(DS)2，选用哪些自变量比较方便？ L.S 5.1.3 如果选eT、eS或eP、eV做自变量，从(5.1.9)式看可能会遇到什么问题？若选eT、eP或eS、eV做自变量又如何？ L.S 5.1.4 计算上述系统的DTDS,DPDV,DmDN。 L.S 5.1.5 计算上述系统的DTDP,DTDm,DmDP。 L.S 5.1.6 计算上述系统的DVDS,DSDN,DVDN。 2、习题： 第一章习题 16 1 已知二维振子的能量为e=(P+P)/2m+k(x+y)/2,求在e空间内等能曲面包围2x2y22的相体积。 2 已知声子的能量与动量的关系为e=vp，其中v为声子的速度。对应同一平动状态，尚有纵波声子和横波声子之分,它们有不同的速度vi和vt，而且横波有两个偏振方向。试证明固体中声子的态密度为 3g(e)=4pVh-3e2(2/v3t+1/vi) 3 n个全同可识别的粒子，分布在N个个体量子态中，每一种具体分配方式称为一个配容，假定所有Nn个配容都是等可能的，求有m个粒子处于某一指定量子态的概率。 *4 一副扑克去掉两张王牌分发给两队(每队两人)，问其中某队得到一整套同花牌的概率是多少？ *5 一醉汉从路灯处开始行走，每一步的距离均为L，但方向随机地取东西南北四个方向之一。试问醉汉走过三步之后，仍处于以路灯为中心，半径为2L的圆圈内的概率。 *6 经典线谐振子的质量为m，弹性常数为k，具有总能量E。其初始时刻是完全不知道的，求在(x,x+dx)区域内找到质量m的概率。 *7 肉眼可以看清的星球大约有6500个。有时两个星看起来非常靠近，可是通过仔细研究发现它们之间并没有物理上的联系，这样一对星称为光学双星。a 假设星球在天空中是随机分布的，试计算角距不大于1'的光学双星数目的期望值；b 只有两个光学双星的概率是多少？c 粗略估计一个光学三重星的概率。 *8 a、b两种细菌除颜色不同外其它没有区别。每个细菌都以“一分为二”的方式进行无性繁殖，繁殖时间为一小时。开始时a、b两种各有5000个，由于引入噬菌体使细菌的总数保持在10000个，噬菌体无选择地随机吞噬两种细菌。 17 试问经过很长时间后，a种细菌数目的概率分布如何？如果噬菌体以1的优越选择性吞噬a种细菌，结果有何变化？ *9 某过程具有如下性质：在t,t+h间隔内发生一事件的概率为h,与以前发生什么情况无关。假定在此区间内发更多事件的概率等于h的高次方项，试取h趋于零的极限，确定在0-t时间内发生n个事件的概率，并用这个分布函数求n和n2的平均值。 10 已知概率分布dW=ce-exdx，求x的平均值、均方值、均方涨落和相对涨落。 11 在上题中若令y2=x，求该系统的概率分布以及y的平均值和均方值。 12 自旋为1的原子核，沿给定方向的磁矩分量e有三个可能值,即e0、0、- e的平均值、方均值和均方涨落。 0相应的概率分别为P、1-2P、P，试求e 13 已知连续变量x的分布函数为F(x)在x轴上-1,1区间内F(x)=A(1-x2),在此区间外F(x)=0。试大致画出F(x)-x图形，计算归一化常数和x、x2的平均值.。 14 由N个粒子组成的系统，粒子速率的分布函数为f(v)，在v轴上0,u区间内f(v)=A,v>u时f(v)=0。若A为常数，求A以及粒子的平均速率和平均平动动能。 1/2exp-(x-a)2/2e, 15 若随机变量x的概率分布为W(x)=(eee)则称x服从正态分布或高斯分布，试计算x的平均值和均方涨落。 16 处于真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强PO时，将活门关上。试证明，小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能UO之差为U-UO=POVO,其中VO是它原来在大气中的体积。若当作理想气体处理，求它的温度和体积。 18 17 一个具有绝热壁的金属容器内有n摩尔高压氦气，其压强为P。此容器通过一活门和一个很大的气瓶相通，此瓶内的气体压强保持PO，并和大气的压强非常相近。将活门打开，让氦缓慢、绝热地流入气瓶，直到活门两边压强相等为止。试证明u-n'u'/n=h'-n'h'/n,其中n'是留在金属容器内的氦的摩尔数， u是金属容器内1摩尔氦的初始内能，u'是它的最后内能，h'是气瓶内1摩尔氦的焓。 18 试根据热力学第二定律证明：两条绝热线不能相交；绝热线和等温线不能有两个交点。 *19 橡皮棒的弹性可以用N个分子首尾相连(可以打折)构成的一维聚合物来模拟。若分子间连键的方向等概率地取0。或180。,每一链长均为d,总长为2md求此模型的微观态数及熵 20 由两个相同原子组成的系统,原子的量子态有三个,能量分别为0、e、2e。写出两原子分别为定域子、玻色子和费米子三种情况的E分布配分函数。 21 由两个全同粒子组成的系统，粒子可以占据能级en=ne，n=0,1,2中的任何一个，能级2e是双重简并的，求两粒子分别为定域子、玻色子、费米子三种情况下，系统的E分布配分函数和能量。 22 一个两能级系统，基态能量为0，能级差为eE，求E分布配分函数和系统的最概然能量。 23 有N个如上题所述的两能级系统的集合，求集合的熵。 *24 一个电容器的容量对温度很敏感，它被完成下述循环：1）与温度为T1的热源接触并缓慢充电到带电荷q1,此时电压为V1，在此过程中电容器吸热Q1；2）脱离热源，但继续充电到电压为V2，此时温度为T2；3）保持温度为T2并缓慢放电；4)脱离温度为T2的热源，全部放电完毕回到温度为T1的初 19 始状态。a)求整个循环中所做的总功。b）在过程3）中，电容器放出多少热量? c）固定的带电电荷q,求电容器的dV/dY。 25 一物体的初温T1高于热源的温度T2。有一热机在此物体和热源之间工作，直到将物体的温度降低到T2为止。若热机从物体吸收的热量为Q，试证明此热机输出的最大功为Wd=Q-T2(S1-S2),其中S1-S2是物体熵的减少。 26 有两个相同的物体，热容量为常数，初温为T。今使一制冷机在此两物体间工作，使其中一个物体的温度降低到T'为止。假设物体维持在定压下并且不发生相变。试证明此过程所需的最小功为Wx=CP(T2/T'+T'-2T)。 *27 在室温27的情况下，要造出3kg的冰，至少需做多少功？如果实际上做3.3×105J的功，该过程熵产生以及所用制冰机的制冷系数各为多少？ 28 有0.02kg温度为-10的冰，在大气压下变成10的水，试计算其熵的变化。已知冰与水的定压比热分别为2093Jkg-1·K-1、4187Jkg-1·K-1,冰的熔解热为3.349×105Jkg-1。 *29 一建筑物其内温度为T现用理想泵浦从温度为T'的河水中吸取热量给建筑物供暖，如果泵的功率为W，建筑物的散热率为a(T-T'),a为常数。证明建筑物的平均温度为T'+(W/2a)1+(1+4aT'/W)1/2,如果换用功率为W的加热器给建筑物直接加热，与泵浦相比是否合算？为什么？ 30 质量为m，比热为c的某种物质，温度从T1升至T2，计算其熵的变化。若将它所吸收的热量看作是在平均温度(T1+T2)/2下吸收的，再计算其熵的变化，并证明当eT=T两种作法将得到一致的结果。当x2<1时，2-T1<<T1时，可利用ln(1+x)=x-x2/2+ 20 31 一均匀杆一端的温度为T1，另一端的温度为T2，计算达到均匀温度(T1+T2)/2时，均匀杆熵的增加值。 32 10安电流通过一个25欧的电阻器，历时1秒。试求当