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热力学与统计物理课后答案 副本热力学与统计物理学课后习题及解答 选用教材：汪志诚主编，高等教育出版社 第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数a，压强系数b和等温压缩系数kT。 解：由理想气体的物态方程为 PV=nRT 可得: 体胀系数：=1æ¶Vö1nR1= ç÷=Vè¶TøpVPT压强系数：= 1æ¶Pö1nR1= ç÷=Pè¶TøVPVT1æ¶Vöæ1önRT1ç÷=ç÷(-2)= Vè¶PøèVøPP等温压缩系数：T=- 1.2 证明任何一种具有两个独立参量T，P的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数a及等温压缩系数kT，根据下述积分求得：lnV=ò(dT-TdP) 如果=11，T=，试求物态方程。 TP解： 体胀系数：=1æ¶Vö1æ¶Vöç÷，等温压缩系数：T=-ç÷ Vè¶TøpVè¶PøT以T，P为自变量，物质的物态方程为：V=V(T,P) dVæ¶Vöæ¶Vö=dT-TdP 其全微分为：dV=ç÷dT+ç÷dP=VdT-VTdP，Vè¶Tøpè¶PøTlnV=ò(dT-TdP) 这是以T，P为自变量的全微分，沿任意的路线进行积分得：根据题设 ，将=得：lnV=ln 111æ1ö,T=，代入：lnV=òçdT-dP÷ TPPøèTT+C，PV=CT，其中常数C由实验数据可确定。 p1.5 描述金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力£，物态方程是f(£，L，T)=0，实验通常在1pn下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为：=1æ¶LöL涣öY=，等温杨氏模量定义为：ç÷ç÷，其中A是Lè¶Tø£Aè¶LøT金属丝的截面积。一般来说，a和Y是T的函数，对£仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由T1降至T2时，其张力的增加为：D£=-YAa(T2-T1)。 解：由f(£(L，T) ，L，T)=0，可得：£=£æ¶£ö涣ö微分为：d£=ç÷dL+ç÷dT，由题意可知：dL=0。 è¶LøTè¶TøLAY涣öæ¶Lö涣ö=-AY 又因为：ç÷=-ç÷ç÷=-LLè¶TøLè¶Tø£è¶LøT即：d£=-aAYdT，积分得：D£=-aAY(T2-T1) 1.7 在25下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为：V=18.066-0.715´10-3P+0.046´10-6P2cm3.mol-1。如果保持温度不变，将1 mol的水从1 pn加压至1000 pn，求外界所作的功。 解：将体积与压强的关系简记为：V=a+bP+cP2，求导可得：dV=(b+2cP)dP 温度不变，将1 mol的水从1 pn加压至1000 pn，此过程中外界所作的功为： ()VBPB2æ1ö-1 W=-òPdV=-òP(b+2cP)dP=-çbP2+cP3÷1000=33.1J.mol1VAPA3è2ø1.1 0 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强P0时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来大气中的U0之差为U-U0=P0V0，其中V0是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。 解：假设气体冲入小匣之前的状态为，内能是U0。气体冲入小匣后的状态为，这时的内能为U；外界对气体所做的功为：P0dV0。 由热力学第一定律：DU=Q+W，Q=0，可得：(U-U0)=-òP0dV0 V00即： U-U0=P0V0 ， 理想气体的内能： U-U0=nCV(T-T0)，由物态方程：P0V0=nRT0 得：CVT=(CV+R)T0，所以：T=CV+RCP=T0=T0 CVCV等压过程：V=V0T=V0 T01.11 满足PVn=C常量的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明，理想气体在多方过程中的热容量Cn为：Cn=n-CV。 n-1ædQöædU+PdVöædVö证明：Cn=ç÷=ç÷=CV+çP÷ dTèdTønèønèdTøn由理想气体的物态方程 PV=RT，可得：PdV+VdP=RdT 以及理想气体多方过程 PVn=C，可得：PnVn-1dV+VndP=0 PndV+VdP=0，用式减式可得：PdV-PndV=RdT， RRædVö ，将式代入式可得：Cn=CV+ ç÷=1-nèdTøn(1-n)PCpCV=，可得：CV(g-1)=R 由迈耶公式：Cp-CV=R，以及：将式代入可得：Cn=n-CV ，证毕 n-11.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量Cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n=Cn-CpCn-CV 。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。 解：由热力学第一定律：dU=dQ+dW ，对于理想气体：dU=CVdT，而dW=-PdV ， dQ=CndT。 代入可得：CVdT=CndT-PdV 即：(Cn-CV)dT=PdV ，理想气体的物态方程：RT=PV 由式和式可得：(Cn-CV)将理想气体物态方程的全微分： dTdV=R TVdPdVdTdT+= ，代入 式，消去， PVTT可得(Cn-CV)dPdVC-CP+(Cn-Cp)=0：令：n=n PVCn-CV即：dPdV+n=0，若Cn，CP，CV都是常量，则积分得：PVn=C PV证明了该过程是多方过程。 1.17 温度为0的1 kg水与温度为100的恒温热源接触后，水温达到100。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0升至100？已知水的比热容为4.18 J×g-1×K-1。 解：为了求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。其温度分布在0与100之间。令水依次从这些热源吸收热量，使水温由0升至100。在这可逆过程中，水的熵变为： 373DS水=òmCpdTT273=mCPln373373=103´4.18´ln=1304.6J×K-1 273273这一过程中水所吸收的总热量Q为： Q=mCPDT=1000´4.18´(373-273)=4.18´105J 为求热源的熵变，假设热源向温度比100略低的另一热源放出热量Q。在这可逆过程中，热源的熵变为：DS热源4.18´105=-J×K-1=-1120.6J×K-1， 373整个系统的总熵变为：DS总=DS水+DS热源=184J×K-1。为使水温从0升至100而整个系统的熵保持不变，将水逐个与温度分布在0与100之间的一系列热源接触。这一系列热源的熵变之和为： DS热源=-òmCPdT373373=-mCPln=-1000´4.18´ln=-1304.6J×K-1 273T273273373整个系统的总熵变为：DS总=DS水+DS热源=0 1.18 10 A的电流通过一个25 W的电阻器，历时1 s。若电阻器保持为室温27，试求电阻器的熵增加值。若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27，电阻器的质量为10 g，比热容CP为0.84J×g-1×k-1，问电阻器的熵增加为何？ 解：以T，P为状态参量，该过程是等压过程，如果电阻器的温度也保持为室温27不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。 如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的热量Q将全部被电阻器吸收使其温度由T1升为T2，即：I2Rt=mCP(T2-T1)。 I2Rt102´25´1求得：T2=T1+=(300+)K»600K mCP10´0.84电阻器的熵变为： DS=òT2T1mCPdTT600=mCPln2=(10´0.84´ln)J×K-1=5.8J×K-1 TT13001(T1+T2) 21.19 均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2，试计算达到均匀温度 后的熵增。 解：坐标为x处的初始温度为：Tx=T1+则 Cp=l×Cx，因此： T1+T22T2-T1x，设单位长度的定压热容为Cx，lSx=TxòdQ=TlT1+T22TxòCxdTT+TæT+Tö=Cx×ln12=Cx×çln12-lnTx÷ T2Tx2èøl总熵变：S=òSxdx=òCx×çln00æèT1+T2ö-lnTx÷dx 2ølT1+T2T-Töæ=Cx×l×ln-CxòlnçT1+21x÷dx 02lèø令：y=T1+T2ælöT+TT2-T1÷dy x，则：Sx=Cp×ln12-Cxòlny×çç÷T12T-Tlè21øCpéT+T2T2lnT2-T1lnT1ùT+T2=Cp×êln1-+1ú=Cp×ln12-(y×lny-y)TT1 2T2-T12T2-T1ëû