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热学习题课热 学 习 题 课 教学基本要求 气体动理论及热力学 1.了解气体分子热运动的图象。理解理想气体的压强公式和温度公式。通过推导气体压强公式，了解从提出模型、进行统计平均、建立宏观量与微观量的联系到阐明宏观量的微观本质的思想和方法。能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。 2.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程。 3.了解麦克斯韦速率分布率及速率分布函数和速率分布曲线的物理意义。了解气体分子热运动的算术平均速率、方均根速率。了解波耳兹曼能量分布律。 4.通过理想气体的刚性分子模型，理解气体分子平均能量按自由度均分定理，并会应用该定理计算理想气体的定压热容、定体热容和内能。 5.掌握功和热量的概念。理解准静态过程。掌握热力学过程中的功、热量、内能改变量及卡诺循环等简单循环的效率。 6.了解可逆过程和不可逆过程。了解热力学第二定律及其统计意义。了解熵的玻耳兹曼表达式。 内容提要一、气体动理论(主要讨论理想气体) 1.状态方程 pV=( M/Mmol)RT pV/T= 常量 p=nkT 2.压强公式 1.准静态过程(略) 2.热力学第一定律 Q= (E2E1)+A dQ=dE+dA 准静态过程的情况下 V2p=nmv2/3 =r v2/3 =2net /3 3.平均平动动能与温度的关系 w=mv2/2=3kT/2 4.常温下分子的自由度 单原子 i=t=3 双原子 i=t+r=3+2=5 多原子 i=t+r=3+3=6 5.能均分定理 每个分子每个自由度平均分得能量 kT/2 每个分子的平均动能 Q=(E2-E1)+3.热容 C=dQ/dT òV1pdV dQ=dE+pdV 定体摩尔热容 CV,=(dQ/dT)V/ 定压摩尔热容 Cp,=(dQ/dT)p/ 比热容比 g=Cp,/CV, 对于理想气体： CV,=(i/2)R Cp,=(i/2)+1R Cp,-CV,=R g=(i+2)/i 4.几个等值过程的DE、 A、 Q 等体过程 DE= (M/Mmol)CV,DT A=0 Q=(M/Mmol)CV,DT 2ek=(i/2)kT 理想气体的内能：E=( M/Mmol) (i/2)RT； 6.麦克斯韦速率分律： -mvdNm322kT2f(v)=4pev Ndv2pkT等压过程 DE= (M/Mmol)CV,DT A= p(V2-V1) Q=(M/Mmol)Cp,DT 等温过程 DE=0 A=(M/Mmol)RTln(V2/V1) Q =(M/Mmol)RTln(V2/V1) 绝热过程 pV g=常量 Q=0 DE= (M/Mmol)CV,DT A= -(M/Mmol)CV,DT=(p1V1-p2V2)/( g-1) 5.循环过程的效率及致冷系数： h=A/Q1=1-Q2/Q1 w=Q2/A=Q2/(Q1-Q2) 卡诺循环: hc=1-T2/T1 wc=T2/(T1-T2) 6.可逆过程与不可逆过程(略) 7.热力学第二定律两种表述及其等价性(略) 8.熵 S=klnW vrms=v2=3kT/m=3RT/Mmol v=8kT/(pm)=8RT/(pMmol) vp=2kT/m=2RT/Mmol 7.平均碰撞次数 8.平均自由程 二、热力学基础 1 Z=2pd2nv l=1(2pd2n) 熵增原理 孤立系统中 DS 0 课堂例题一.选择题 1. 下面各种情况中可能存在的是 (A) 由pV=(M/Mmol)RT知,在等温条件下,逐渐增大压强,当p时,V0； (B) 由pV=(M/Mmol)RT知,在等温条件下,逐渐让体积膨胀,当V时,p0； (C) 由E=(M/Mmol)iRT/2知,当T0时,E0； (D) 由绝热方程式Vg1T=恒量知，当V0时，T、E. 2. AB两容器分别装有两种不同的理想气体,A的容积是B的两倍,A容器内分子质量是B容器分子质量的1/2.两容器内气体的压强温度相同,(如用n、r、M分别表示气体的分子数密度、气体质量密度、气体质量)则 (A) nA =2nB , rA=rB , MA= 2MB. (B) nA = nB/2 , rA=rB/4 , MA= MB/2. (C) nA = nB , rA=2rB , MA= 4MB. (D) nA = nB , rA=rB/2 , MA= MB . 3. 由热力学第一定律可以判断一微小过程中dQ、dE、dA的正负,下面判断中错误的是 (A) 等容升压、等温膨胀 、等压膨胀中dQ>0； (B) 等容升压、等压膨胀中dE>0； (C) 等压膨胀时dQ、dE、dA同为正； (D) 绝热膨胀时dE>0. 4. 摩尔数相同的两种理想气体，一种是氦气，一种是氢气，都从相同的初态开始经等压膨胀为原来体积的2倍，则两种气体 (A) 对外做功相同，吸收的热量不同. (B) 对外做功不同，吸收的热量相同. (C) 对外做功和吸收的热量都不同. (D) 对外做功和吸收的热量都相同. 5. 如图3.1所示的是两个不同温度的等温过程，则 (A) 过程的温度高，过程的吸热多. (B) 过程的温度高，过程的吸热多. (C) 过程的温度高，过程的吸热多. (D) 过程的温度高，过程的吸热多. 二.填空题 p O 图3.1 V 1. 质量相等的氢与氦放在两个容积相等的容器里，它们的温度相同，用脚码1代表H2，用脚码2代表He，则质量密度之比r1:r2= ；分子数密度之比n1:n2= ；压强之比p1:p2 ；分子平均动能之比e1:e2= ；总内能之比E1:E2= ；最可几速率之比vp1:vp2= . 2. 取一圆柱形气缸，把气体密封在里面，由外界维持它两端的温度不变,但不相等，气缸内每一处都有一不随时间而变的温度，在此情况下，气体是否处于平衡态？答 . 3. 设气体质量均为M,摩尔质量均为Mmol的三种理想气体,定容摩尔热容为CV,分别经等容过程(脚标1)、等压过程(脚标2)、和绝热过程(脚标3),温度升高均为DT,则内能变化分别为DE1 = , DE2 = , DE3 = ；从外界吸收的热量分别为Q1= ,Q2= ,Q3= ；对外做功分别为A1= , A2= , A3= . 三.计算题 1. 一气缸内盛有一定量的刚性双原子分子理想气体,气缸活塞的面积S=0.05m2, 活塞与缸壁之间不漏气,摩擦忽略不计, 活塞左侧通大气,大气压强p0=1.0×105pa,倔强系数k=5×104N/m的一根弹簧的两端分别固定于活塞和一固定板上,如图3.2,开始时气缸内气体处于压强、体积分别为p1=p0=1.0×105pa, V1=0.015m的初态,今缓慢的加热气缸,缸内气体缓慢地膨胀到V2=0.02m.求:在此过程中气体从外界吸收的热量. 2. 一定量的理想气体经历如图3.3所示的循环过程,AB和CD是等压过程,BC和DA是绝热过程.己知:TC = 300K, TB = 400K,试求此循环的效率. 2 33p1,V1, T1 p0 图3.2 p A B O D 图3.3 C V 课堂例题解答 一.选择题 B D D A A 二.填空题 1. 1:1, 2:1, 2:1, 5:3, 10:3, 2. 否. M/MmolCVDT; M/MmolCVDT, M/Mmol(CV+R)DT, 0; 0,M/MmolCVDT, M/MmolRDT, M/MmolCVDT. 三.计算题 1. 从V1变到V2，弹簧压缩x=(V2-V1)/S，则 p2=p0+kx/S= p0+k(V2-V1)/S2 DE=CV(T2-T1)=(i/2)(p2V2-p1V1) =(i/2)p0+k(V2-V1)/S2V2-p0V1 =(i/2)p0(V2-V1)+k V2(V2-V1)/S2 A=p0Sx+(1/2)kx2 =p0(V2-V1)+(1/2) k (V2-V1)/S2， Q=DE+A =p0(V2-V1)(i+2)/2+k(V2-V1)(i+1)V2-V1/(2S2) =7000J 2.吸热过程AB为等压过程 Q1=Cp(TB-TA) 放热过程CD为等压过程 Q2=Cp(TC-TD) 2:1 . 3. M/MmolCVDT, M/MmolCVDT, h=1-Q2/Q1=1- (TC-TD)/(TB-TA) =1- (TC/TB)(1-TD/TC)/(1-TA/TB) 而 pAg-1TA-g= pDg-1TD-g pBg-1TB-g= pCg-1TC-g pA=pB pC=pD 所以 TA/TB=TD/TC 故 h=1-TC/TB=25%。 热学测试题 一.选择题 1.室内生炉子后温度从15升高到27,而室内气压不变,则此时室内的分子数减少了 (A) 0.5%. (B) 4%. (C) 9 %. (D) 21%. 2.有容积不同的A、B两个容器, A中装有单原子分子理想气体, B中装有双原子分子理想气体. 若两种气体的压强相同, 那么,这两种气体单位体积的内能(E/V)A和(E/V)B的关系 (A)为(E/V)A<(E/V)B. (B)为(E/V)A>(E/V)B. (C) 为(E/V)A=(E/V)B. (D) 不能确定. 3.设某种气体的分子速率分布函数为f(v),则速率在v1v2区间内分子的平均速率为 (A)v2òv1vf(v)dv. (B) vòf(v)dv. (C) v1v2òv2v1vf(v)dvòv2v1f(v)dv. (D) òv2v1f(v)dvòf(v)dv.0¥4.已知一定量的某种理想气体,在温度为T1与T2时分子最可几速率分别为vp1和vp2,分子速率分布函数的最大值分别为f(vp1)和f(vp2), 若T1T2 , 则 (A) vp1vp2 , f (vp1)f (vp2) . (B) vp1vp2 , f (vp1)f (vp2) . (B) (C)vp1vp2 , f (vp1)f(vp2 ) . (D) vp1vp2 , f (vp1)f (vp2) . 5. 图1所列各图表示的速率分布曲线，哪一图中的两条曲线能是同一温度下氮气和氦气的分子速率分布曲线？ f(v) f(v) f(v) f(v) O (A) v O (B) v 图1 O (C) v O (D) V v 6.一定量理想气体经历的循环过程用VT曲线表示如图2,在此循环过程中,气体从外界吸热的过程是 (A) C A 图2 B AB. (B) BC. (C)CA. (D) BC和CA. 3 O T 7.用公式DE=CV DT(式中CV为定容摩尔热容量，为气体摩尔数)计算理想气体内能增量时，此式 (A) 只适用于准静态的等容过程. (B) 只适用于一切等容过程. (C) 只适用于一切准静态过程. (D) 适用于一切始末态为平衡态的过程. 8.气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体)，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞次数Z和平均自由程l的变化情况是： (A) Z和l都增大一倍. (B) Z和l都减为原来的一半. (C) Z增大一倍而l减为原来的一半. (D) Z减为原来的一半而l增大一倍. 9.两种不同的理想气体，若它们的最可几速率相等，则它们的 (A) 平均速率相等，方均根速率相等. (B) 平均速率相等，方均根速率不相等. (C) 平均速率不相等，方均根速率相等. (D) 平均速率不相等，方均根速率不相等. 10.关于温度的意义，有下列几种说法： (1) 气体的温度是分子平动动能的量度. (2) 气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义. (3) 温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同. (4) 从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度. 上述说法中正确的是 (A) (1)、(2)、(4) . (B) (1)、(2)、(3) . (C) (2)、(3)、(4) . (D) (1)、(3)、(4) . 二.填空题 1.在一个以匀速度u运动的容器中,盛有分子质量为m的某种单原子理想气体,若使容器突然停止运动,则气体状态达到平衡后,其温度的增量DT = . 2.已知f (v)为麦克斯韦速率分布函数,vp为分子的最可几速率,则òf(v)dv表示 0vp .速率v > vp的分子的平均速率表达式为 . 3质量为2.5g的氢气和氦气的混合气体,盛于某密闭的气缸里( 氢气和氦气均视为刚性分子的理想气体). 若保持气缸的体g , 氦气 g , 若保持气缸内的压强不变，要使该混合气体的温度升高1K，则该气体将吸收 的热量(氢气的Mmol = 2×103 积不变,测得此混合气体的温度每升高1K,需要吸收的热量等于2.25R(R为摩尔气体常量). 由此可知,该混合气体中有氢气 kg , 氦气的Mmol = 4×10-3 kg) . 4.卡诺致冷机,其低温热源温度为T2=300K,高温热源温度为T1=450K,每一循环从低温热源吸热Q2=400J,已知该致冷机的致冷系数w=Q2/A=T2/(T1T2) (式中A为外界对系统作的功),则每一循环中外界必须作功A= . 5.如图3所示,一定量的理想气体经历a®b®c过程 , 在此过程中气体从外界吸收热Q,系统内能变化DE, 请在以下空格内填上>0或<0或=0. Q , DE . 6.在相同的温度和压强下，各为单位体积的氢气(视为刚性双原子分子气体)与氦气的内能之比为 ，各为单位质量的氢气与氦气的内能之比为 . 7.对于处在平衡态下温度为T的理想气体, (1/2)kT(k为玻兹曼常量)的物理意义是 . 8. 如图4所示,两个容器容积相等，分别储有相同质量的N2和O2气体，它们用光滑细管相连通，管子中置一小滴水银，两边的温度差为30K，当水银滴在正中不动时，N2和O2的温度为TN ，TO= .( N2的摩尔质量为28×1022p b c a O 图3 V N2 O2 3kg/mol,O2的摩尔质量为32×10kg/mol.) 9.1 mol理想气体(设g = Cp / CV为已知)的循环过程如图5的TV图所示,其中CA为3图4 T A B 绝热过程,A点状态参量(T1,V1)和B点的状态参量(T1,V2)为已知,试求C点的状态量:Vc= ;Tc= ;pc= ; 10.同一种理想气体的定压摩尔热容Cp大于定容摩尔热容CV, 其原因是 . 4 C O 图5 V 三.计算题 1.一定量的某种理想气体进行如图6所示的循环过程，已知气体在状态A的温度为TA=300K，求 (1)气体在状态B、C的温度; (2)各过程中气体对外所作的功; (3)经过整个循环,气体从外界吸收的总热量(各过程吸热的代数和). 2.如图7所示, 一金属圆筒中盛有1mol双原子分子的理想气体，用可动活塞封住，圆筒浸在冰水混合物中，迅速推动活塞，使气体从标准状态(活塞位置p(Pa) A 300 - 200 100 O C 1 2 图6 让活B V(m3) 3 )压缩到体积为原来一半的状态(活塞位置)，然后维持活塞不动，待气体温度下降至0，再塞缓慢上升到位置，完成一次循环. (1)试在pV图上画出相应的理想循环曲线， (2)若作100次循环放出的总热量全部用来熔解冰，则有多少kg冰被熔化？(已知冰的熔解热l=3.35×105J·kg-1) 3. 1 mol单原子分子理想气体的循环过程如图8的TV图所示,其中c点的温度为Tc=600K,求:(1)ab、bc、ca各个过程系统吸收的热量;(2)经一循环系统所作的净功;(3)循环的效率.(注:循环效h=A/Q1, A为循环过程系统对外作的净功,Q1为循环过程系统从外界吸收的热图7 量,1n2=0.693) T(K) c a 4.一密封房间的体积为5×3×3m3, 室温为20,室内空气分子热运动的平动动能的总和是多少？如果气体的温度升高1.0K,而体积不变,则气体的内能变化多少？气体b 分子的方均根速率增加多少？(已知空气的密度r=1.29kg/m3,平均摩尔质量Mmol = 29×103 kg / mol, 且空气分子可视为刚性双原子分子) OV(10-2m2) 1 2 图8 热学部分测试题解答 一选择题 B A C B B A D C A B 二. 填空题 1. mu2/(3k). 2. 速率区间0vp的分子数占总分子数的百分比; v=ò¥vvf(v)dvpò¥vf(v)dv p3. 1.5; 1; 3.25R. 4. 200J 5. >0, >0 6. 5:3,10:3 7. 温度为T时每个气体分子每个自由度平均分得的能量. 8. 210K,240K. 9. V2; (V1/V2)g -1T1; (RT1/V2)(V1/V2)g -1. 10. 在等压升温过程中,气体膨胀要对外作功,所以比等容升温过程多吸收热量. 三. 计算题 1. (1)CA等容过程 pC/TC=pA/TA 有 TC= (pC/pA)TA=100K BC等压过程 VC/TC=VB/TB 有 Tp B= (VB/VC)TC= (VB/VC)(pC/pA)TA=300K (2)各过程对外作功 b(T2) AB AAB= (pA+pB)( VB-VA)/2=400J BC ABC= pB( VC-VB)=-200J CA Ac(T1) BC=0 (3)因循环过程 DE=0 所以气体吸热为 a(T1) Q=DE+A=A= AAB+ABC+ABC=200J O V1/2 VV 1 2.(1)理想循环的pV图曲线如图：ab绝热线,bc等容线,ca等温线. (2) ab绝热,有 V1g -1T1= V2g -1T2 T2=(V1/V2) g -1T1=2g -1T1 5 试率一次循环系统吸热:bc等容过程Qbc=(M/Mmol)CV(Tc-Tb)=CV(T1- T2)= (5R/2)(1-2ca等温过程Qca=(M/Mmol)RTcln(Va/Vc)= RT1ln2 所以 Q= Qbc+Qca=-5(1-2g -1)T1R/2+RT1ln2 =-5(1-20.4)T1R/2+RT1ln2=-240J 即一次循环系统放热 Q¢=239.6J n=100次循环系统放热熔解冰的质量 m=n Q¢/l=7.15×10-2kg g -1)T1=-5(1-2g -1)T1R/2 3. 单原子分子i=3, CV=3R/2, Cp=5R/2. ca等温 Ta=Tc ab等压 Va/Ta=Vb/Tb Tb=(Vb/Va)Ta=(Vb/Va)Tc (1)ab等压过程系统吸热为 Qab=(M/Mmol)Cp(Tb-Ta)= (5R/2)(Vb/Va-1) Tc=-6232.5J bc等容过程系统吸热为 Qbc=(M/Mmol)CV(Tc-Tb)= (3R/2)(1-Vb/Va)Tc=3739.5J ca等温过程系统吸热为 Qca=(M/Mmol)RTcln(Va/Vc)= RTcln2=3456J (2)经一循环系统所作的净功 A= Qab+ Qbc+ Qca=963J 循环的效率h=A/Q1= A/( Qbc+ Qca)=13.4 4. 平均平动动能的总和 Et=(3/2)(M/Mmol) RT=(3/2)(rV /Mmol)RT =7.31×106J 内能增加 DE=(i/2)(M/Mmol) RDT=(i/2)(rV/Mmol)RDT =4.16×104J v2的增量 D(v2)=D(3RTMmol)=d(3RT/Mmol)dTDT=3R1(MmolT1)DT/2=0.856m/s 6