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点集拓扑学练习题1点集拓扑学练习题第二章 一. 判断题(每小题2分) 1. 集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( ) 2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( ) 3. 实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( ) 4. T 1、T 2是X的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( ) 5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。 6. 从到的恒同映射必是连续的。 7从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 8设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1ÇT 2不一定是集合X的拓扑( ) 9.从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射 10.设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d(A)=f 11.设A为平庸空间X的一个单点集，则d(A)=f 12.设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d(A)=X 二填空题：(每空格3分) 1. X=Z+, T =Z1,Z2,Zn,其中 Zn=n,n+1,n+2, 则包含3的所有开集为_ 包含3的所有闭集为_ 包含3的所有邻域为_ 设A=1,2,3,4,5 则A的导集为_ A的闭包为_ 2. 设X为度量空间,xX,则d=_ 3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_. 4、xÎd(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 ; 5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= ; A= ; 6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ; A= ; 3则X的子集A=1,2 的内部7、设X=1,2,3,X的拓扑T=X,f,2,2,为 ; 三、单项选择题 1 1、已知X=a,b,c,d,e,下列集族中，是X上的拓扑. T=X,f,a,a,b,a,c,e T=X,f,a,b,c,a,b,d,a,b,c,e T=X,f,a,a,b T=X,f,a,b,c,d,e 2、已知X=a,b,c,d，拓扑T=X,f,a,则b= X b b,c,d 3、已知X=a,b,c,d，拓扑T=X,f,a,则a= X a,b b,c,d 4、设X=a,b,c,d，拓扑T=X,f,a,b,c,d,则X的既开又闭的非空真子集的个数为 1 2 3 4 5、设X=a,b，拓扑T=X,f,b,则X的既开又闭的子集的个数为 0 1 2 3 6、在实数空间中，有理数集Q的内部Q o是 f Q R -Q R 7、在实数空间中，有理数集Q的边界¶(Q)是 f Q R -Q R 8、在实数空间中，整数集Z的内部Z o是 f Z R-Z R 9、在实数空间中，整数集Z的边界¶(Z)是 f Z R-Z R 10、在实数空间中，区间0,1)的边界是 f 0,1 0,1 (0,1) 2 11、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是 d(AÈB)=d(A)Èd(B) AÈB=AÈB d(AÇB)=d(A)Çd(B) A=A 12、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是 d(A)=f d(A)=X-A d(A)=A d(A)=X 13、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是 R A0 A 19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是 整数集 a,b) 有理数集 无理数集 20、在实数空间R中，下列集合是开集的是 整数集Z 有理数集 无理数集 整数集Z的补集Z¢ 21、已知X=1,2,3上的拓扑T=X,f,1,则点1的邻域个数是 1 2 3 4 3 ） 22、已知X=a,b,则X上的所有可能的拓扑有 1个 2个 3个 4个 23、在实数下限拓扑空间R中，区间a,b)是 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 24、设X是一个拓扑空间，A,BÌX,且满足d(A)ÌBÌA,则B是 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 四.证明题(52分): 1. 设X有拓扑T1,T2,Tn,则Ti也是拓扑. 2. 度量空间中收敛序列的极限是唯一的. 3. 设X是一个拓扑空间,B是一个基,xX,则Bx=BB |xB是点x处的一个邻域基. 4