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潜水艇论文驱逐舰与潜水艇问题 组员：王娜 樊静 郭亚丽 摘要：本题属于决策问题，较为复杂，因此我们首先进行了问题简化。针对所给问题，依据题中所给驱逐舰和潜水艇的速度关系，我们将问题转化为驱逐舰针对潜水艇而采取的运动轨迹，我们运用了微分方程求解的方法。基于题中许多未知因素，我们采取了一系列的假设，以便于模型的建立和求解。两个模型的基本思路一样，只是采用的坐标形式不同。 在模型一中，我们用极坐标表示驱逐舰和潜水艇的运动轨迹，再根据速度的关系列出等式，用matlab验证两条轨迹必有交点。 在模型二中，和模型一类似，只是将问题转化到直角坐标系中简单的追击相遇问题。运用积分，求导的方法建立函数，转化为微分方程已知初始值的问题，并用matlab方程代入的方法进行分析。 关键词：目标跟踪，微分方程，螺线航行 一 问题重述 驱逐舰在浓雾中搜索敌方潜水艇，当浓雾散开时，发现潜水艇在3公里外的海面上，此时潜水艇立即下沉。题中给出驱逐舰的速度时潜水艇的2备，且潜水艇下沉后沿直线运行但方向未知，求驱逐舰采用何处路线才能追到潜水艇？ 二模型假设 2.1 假设驱逐舰和潜水艇是匀速率行驶，不会因为暗礁或者风浪和弯曲行驶原因影响原来的行驶速度和行驶方向； 2.2 假设潜水艇潜入水中后，在追逐舰追逐过程中始终沿同一个平面行驶，没有下沉或者上升； 2.3 假设潜水艇和驱逐舰在行驶过程中忽略它们的大小，均被看作质点； 2.4 假设追逐舰恰好在潜水艇的正上方时，视追逐舰追到潜水艇； 三符号假设 3.1 A：表示驱逐舰； 3.2 B：表示潜水艇； 3.3 (xA,yA)：表示驱逐舰在直角坐标系中的坐标； 3.4 (xB,yB)：表示潜水艇在直角坐标系中的坐标； (n)3.5 yA：表示驱逐舰运动轨迹函数的n阶导数； 3.6 (r,q)：表示是极坐标中的位置； 四模型建立和求解 模型一： 以潜水艇所在位置为极坐标原点，以驱逐舰和潜水艇之间的距离为极轴，建立极坐标方程如表一，设驱逐舰在极坐标系下的位置方程为r=r(q)： dr ds dqABq 表一 根据驱逐舰和潜水艇的速度关系，我们可以列出以下等式： dsdr=2 dtdt故有ds=2dr， 由三角关系可得：(ds)2=(dr)2+(rdq)2 进行代入化简可得：dr=qr3dq 进一步可得：r=Ae3 其中A为常数； 所以结果为：让驱逐舰按照对数螺线航行，即可追上潜水艇。 利用MATLAB进行检验，我们画出驱逐舰在极坐标中的运动轨迹如下表所示： 表二 从图中我们可以看出驱逐舰与潜水艇一定能够相遇，所以，所求方案合理 。 模型二： 因为在假设中，我们认为当二者在不同平面中垂直时，为驱逐舰追上了潜水艇，那么，我们将追击问题转化到直角坐标系中两条曲线的相交问题。在潜水艇下潜过程中，我们认为驱逐舰朝着潜水艇最初始的位置移动，那么，题中所需考虑的只是驱逐舰的位置问题。 y y=y(x) (xA,yA) (xB,yB) A O x 上图给出了大致的驱逐舰和潜水艇的运行轨迹，我们以驱逐舰弧度的处的切线即速度为关系建立方程。 因为潜水艇的方向未知，所以我们设其函数方程为：yB=axB 对于A，它的轨迹是永远朝着B的方向，因此由斜率的知识可得： (1)yA=axB-yA(1) 即有：axB=(xB-xA)yA+yA xB-xA又因为A的速度是B的2倍，所以在相同的时间内，路程也是相应的2倍。因此几分形式表示为：òxm1+y(1)Adx=2axB1+a2 2式 和式联立消去xB并化简得： (2)(1)(1)(1)myA(axA-yA+2xAyA)-(a-yA)1+yA=0 其中a和m我们可以根据假设取不同的值。由上述可以看出，其部位线性常微分方程，因此选用MATLAB的dsolve函数来求解。 结果如下： a = y(x)/x, b1(a) = 1/(x*diff(y(x),x)-y(x)*x, y(x) = a*exp(Int(b1(a),a)+C1), x = exp(Int(b1(a),a)+C1) 由上式可以看出，其结果为指数函数，但由于没有确定的初值，因此无法求得确定的值。由模型二，也在此验证了模型一的结果。 五、模型评价 5.1模型优点 此模型将实际问题转化为数学问题，求解并验证了追逐舰的行驶方向，得到了比较满意的结果。 5.2模型缺点 在此问题中，我们假设潜水艇下沉后追逐舰的追逐过程中，潜水艇不再下沉而是沿着直线在同一个平面前进，而实际生活中潜水艇因为海水的压力、浮力 以及海中的暗礁等情况，可能不是沿着直线匀速在一个平面前行，故此模型比较粗略。 附录1 1.function zhuizhuji clear; clc; x1=0:0.1:360; y1=exp(x1/sqrt(3); polar(x1,y1) 附录2 y=dsolve('2.8*D2y*x-2.8*D2y*y+5.6*D2y*x*Dy-(1-Dy)2*sqrt(1+Dy2)=0','x')
