湘教 二次函数导学案.docx

湘教 二次函数导学案 二次函数 第1课时 二次函数 一、阅读教科书第23页上方 二、学习目标： 1知道二次函数的一般表达式； 2会利用二次函数的概念分析解题； 3列二次函数表达式解实际问题 三、知识点： 一般地，形如_的函数，叫做二次函数。其中x是_，a是_，b是_，c是_ 四、基本知识练习 31观察：y6x2；y x230x；y200x2400x200这三个式子中，2虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是_次一般地，如果yax2bxc，那么y叫做x的_ 2函数y(m2)x2mx3 当m_时，该函数为二次函数； 当m_时，该函数为一次函数 3下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数 y13x2 y3x22x yx (x5)2 y3x32x2 五、课堂训练 1y(m1)xm2-m1yx x3x1是二次函数，则m的值为_ 2下列函数中是二次函数的是 1 Ayx 2B y3 (x1)2 Cy(x1)2x2 1Dy2 x x3在一定条件下，若物体运动的路段s与时间t之间的关系为 s5t22t，则当t4秒时，该物体所经过的路程为 A28米 B48米 C68米 D88米 4n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_ 1 5已知y与x2成正比例，并且当x1时，y3 求：函数y与x的函数关系式； 当x4时，y的值； 1当y 时，x的值 36为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 六、目标检测 1若函数y(a1)x22xa21是二次函数，则 Aa1 Ba±1 Ca1 2下列函数中，是二次函数的是 Ayx21 Byx1 8Cy x Da1 8Dy2 x 3一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式 4已知二次函数yx2bx3当x2时，y3，求 这个二次函数解析式 2 第2课时 二次函数yax2的图象与性质 一、阅读课本：P46上方 二、学习目标： 1知道二次函数的图象是一条抛物线； 2会画二次函数yax2的图象； 3掌握二次函数yax2的性质，并会灵活应用 三、探索新知： 画二次函数yx2的图象 列表： x yx2 3 2 1 0 1 2 3 描点，并连线 由图象可得二次函数yx2的性质： 1二次函数yx2是一条曲线，把这条曲线叫做_ 2二次函数yx2中，二次函数a_，抛物线yx2的图象开口_ 3自变量x的取值范围是_ 4观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于_对称，从而图象关于_对称 5抛物线yx2与它的对称轴的交点叫做抛物线yx2的_ 因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_ 6抛物线yx2有_点 3 四、例题分析 1例1 在同一直角坐标系中，画出函数y x2，yx2，y2x2的图象 2解：列表并填： x 1y x2 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 yx2的图象刚画过，再把它画出来 x y2x2 1归纳：抛物线y x2，yx2，y2x2的二次项系数a_0；顶点都是2_； 对称轴是_；顶点是抛物线的最_点 1例2 请在例1的直角坐标系中画出函数yx2，y x2， y2x2的图象 2列表： 4 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 x yx2 x 3 2 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 3 2 1 1y= x2 2 x y2x2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1归纳：抛物线yx2，y x2， y2x2的二次项系数a_0，顶点都是2_， 对称轴是_，顶点是抛物线的最_点 五、理一理 1抛物线yax2的性质 图象 开口 方向 顶点 对称轴 有最高或最低点 当x_时，y有最_值，是_ 当x_时，y有最_值，是_ 最值 a0 a0 2抛物线yx2与yx2关于_对称，因此，抛物线yax2与yax2关于_ 对称，开口大小_ 3当a0时，a越大，抛物线的开口越_； 当a0时，a 越大，抛物线的开口越_； 因此，a 越大，抛物线的开口越_，反之，a 越小，抛物线的开口越_ 5 六、课堂训练 1填表： 22 y x 3y8x2 开口方向 顶点 对称轴 有最高或最低点 最值 当x_时，y有最_值，是_ 2若二次函数yax2的图象过点，则a的值是_ 3二次函数y(m1)x2的图象开口向下，则m_ 4如图， yax2 ybx2 ycx2 ydx2 比较a、b、c、d的大小，用“”连接 _ 七、目标检测 31函数y x2的图象开口向_，顶点是_，对称轴是_， 7 当x_时，有最_值是_ 2二次函数ymxm2-2有最低点，则m_ 3二次函数y(k1)x2的图象如图所示，则k的取值 范围为_ 4写出一个过点的函数表达式_ 6 第3课时 二次函数yax2k的图象与性质 一、阅读课本：P67上方 二、学习目标： 1会画二次函数yax2k的图象； 2掌握二次函数yax2k的性质，并会应用； 3知道二次函数yax2与y的ax2k的联系 三、探索新知： 在同一直角坐标系中，画出二次函数yx21，yx21的图象 解：先列表 x yx21 yx21 描点并画图 观察图象得： 1 yx2 yx21 yx21 开口方向 顶点 对称轴 有最高点 最值 3 2 1 0 1 2 3 2可以发现，把抛物线yx2向_平移_个单位，就得到抛物线yx21；7 把抛物线yx2向_平移_个单位，就得到抛物线yx21 3抛物线yx2，yx21与yx21的形状_ 四、理一理知识点 1 开口方向 yax2 yax2k 顶点 对称轴 有最高点 a0时，当x_时，y有最_值为_； a0时，当x_时，y有最_值为_ 最值 增减性 2抛物线y2x2向上平移3个单位，就得到抛物线_； 抛物线y2x2向下平移4个单位，就得到抛物线_ 因此，把抛物线yax2向上平移k个单位，就得到抛物线_； 把抛物线yax2向下平移m个单位，就得到抛物线_ 3抛物线y3x2与y3x21是通过平移得到的，从而它们的形状_，由此可得二次函数yax2与yax2k的形状_ 8 五、课堂巩固训练 1填表 函数 草图 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 y3x2 y3x21 y4x25 2将二次函数y5x23向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_ 3写出一个顶点坐标为，开口方向与抛物线yx2的方向相反，形状相同的抛 物线解析式_ 4抛物线y4x21关于x轴对称的抛物线解析式为_ 六、目标检测 1填表 函数 y5x23 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴左侧的增减性 y7x1 2112抛物线y x22可由抛物线y x23向_平移_个单33位得到的 3抛物线yx2h的顶点坐标为，则h_ 4抛物线y4x21与y轴的交点坐标为_，与x轴的交点坐标为_ 9 第4课时 二次函数ya(x-h)2的图象与性质 一、阅读课本： 二、学习目标： 1会画二次函数ya2的图象； 2掌握二次函数ya2的性质，并要会灵活应用； 三、探索新知： 11画出二次函数y (x1)2，y (x1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称22轴、顶点以及最值、增减性 先列表： x 1y (x1)2 21y (x1)2 2描点并画图 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1观察图象，填表： 函数 1y (x1)2 21y (x1)2 2开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 12请在图上把抛物线y x2也画上去 210 111 抛物线y (x1)2 ，y x2，y (x1)2的形状大小_ 22211把抛物线y x2向左平移_个单位，就得到抛物线y (x1)2 ； 2211把抛物线y x2向右平移_个单位，就得到抛物线y (x1)2 22四、整理知识点 1 yax2 yax2k 对称轴 ya (x-h)2 开口方向 顶点 最值 增减性 2对于二次函数的图象，只要a相等，则它们的形状_，只是_不同 五、课堂训练 1填表 图象 开口 方向 顶点 对称轴 最值 对称轴 右侧的增减性 1y x2 2 11 y5 (x3)2 y3 (x3)2 2抛物线y4 (x2)2与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标为_ 3把抛物线y3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_ 把抛物线y3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_ 14将抛物线y (x1)x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为3_ 5写出一个顶点是，形状、开口方向与抛物线y2x2都相同的二次函数解析式 _ 六、目标检测 1抛物线y2 (x3)2的开口_；顶点坐标为_；对称轴是_；当x3时，y_；当x3时，y有_值是_ 2抛物线ym (xn)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y4 (x4)2，则 m_，n_ 3若将抛物线y2x21向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_ 4若抛物线ym (x1)2过点，则m_ 12 第5课时 二次函数ya(xh)2k的图象与性质 一、阅读课本：第9页 二、学习目标： 1会画二次函数的顶点式ya (xh)2k的图象； 2掌握二次函数ya (xh)2k的性质； 3会应用二次函数ya (xh)2k的性质解题 三、探索新知： 1画出函数y (x1)21的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增2减性 列表： x 1y (x1)21 2 4 3 2 1 0 1 2 由图象归纳： 1 函数 1y (x1)21 2 13 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 12把抛物线y x2向_平移_个单位，再向_平移_个单21位，就得到抛物线y (x1)21 2四、理一理知识点 开口方向 顶点 对称轴 最值 yax2 yax2k 增减性 2抛物线ya (xh)2k与yax2形状_，位置_ 五、课堂练习 1 开口方向 顶点 y3x2 yx21 14 ya (x-h)2 ya (xh)2k 1y (x2)2 2y4 (x5)23 对称轴 最值 增减性 2y6x23与y6 (x1)210_相同，而_不同 13顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线y x2相同的解析式为 21 Ay (x2)23 21 Cy (x2)23 21By (x2)23 21Dy (x2)23 24二次函数y(x1)22的最小值为_ 5将抛物线y5(x1)23先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_ 6若抛物线yax2k的顶点在直线y2上，且x1时，y3，求a、k的值 7若抛物线ya (x1)2k上有一点A，则点A关于对称轴对称点A的坐标为 _ 六、目标检测 1 yx21 y2 (x3)2 y (x5)4 2抛物线y3 (x4)21中，当x_时，y有最_值是_ 3足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示 2开口方向 顶点 对称轴 A B 15 C D 4将抛物线y2 (x1)23向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为_ 5一条抛物线的对称轴是x1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为_ 16 第6课时 二次函数yax2bxc的图象与性质 一、阅读课本：第10页 二、学习目标： 1配方法求二次函数一般式yax2bxc的顶点坐标、对称轴； 2熟记二次函数yax2bxc的顶点坐标公式； 3会画二次函数一般式yax2bxc的图象 三、探索新知： 11求二次函数y x26x21的顶点坐标与对称轴 21 解：将函数等号右边配方：y x26x21 2 12画二次函数y x26x21的图象 21 解：y x26x21配成顶点式为_ 2 列表： x 1y x26x21 2 17 3 4 5 6 7 8 9 3用配方法求抛物线yax2bxc的顶点与对称轴 四、理一理知识点： yax 2yax2k ya(xh)2 ya(xh)2k yax2bxc 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性 五、课堂练习 1用配方法求二次函数y2x24x1的顶点坐标 2用两种方法求二次函数y3x22x的顶点坐标 3二次函数y2x2bxc的顶点坐标是，则b_，c_ 4已知二次函数y2x28x6，当_时，y随x的增大而增大；当x_时，y有_值是_ 六、目标检测 11用顶点坐标公式和配方法求二次函数y x221的顶点坐标 22二次函数yx2mx中，当x3时，函数值最大，求其最大值 18 第7课时 二次函数yax2bxc的性质 一、复习知识点：第6课中“理一理知识点”的内容 二、学习目标： 1懂得求二次函数yax2bxc与x轴、y轴的交点的方法； 2知道二次函数中a，b，c以及b24ac对图象的影响 三、基本知识练习 1求二次函数yx23x4与y轴的交点坐标为_，与x轴的交点坐标_ 2二次函数yx23x4的顶点坐标为_，对称轴为_ 3一元二次方程x23x40的根的判别式_ 4二次函数yx2bx过点，则b_ 5一元二次方程yax2bxc，0时，一元二次方程有_， 0时，一元二次方程有_，0时，一元二次方程_ 四、知识点应用 1求二次函数yax2bxc与x轴交点 例1 求yx22x3与x轴交点坐标 2求二次函数yax2bxc与y轴交点 例2 求抛物线yx22x3与y轴交点坐标 3a、b、c以及b24ac对图象的影响 a决定：开口方向、形状 c决定与y轴的交点为 b b与 共同决定b的正负性 2aì>0与x轴有两个交点ï b24ací=0与x轴有一个交点 ï<0与x轴没有交点î 例3 如图， 19 由图可得： a_0 b_0 c_0 _0 例4 已知二次函数yx2kx9 当k为何值时，对称轴为y轴； 当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点； 当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点 五、课后练习 1求抛物线y2x27x15与x轴交点坐标_，与y轴的交点坐标为_ 2抛物线y4x22xm的顶点在x轴上，则m_ 3如图： 由图可得： a_0 b_0 c_0 b24ac_0 六、目标检测 1求抛物线yx22x1与y轴的交点坐标为_ 2若抛物线ymx2x1与x轴有两个交点，求m的范围 3如图： 由图可得：a _0 b_0 c_0 b24ac_0 20 第8课时 二次函数yax2bxc解析式求法 一、阅读课本：第1213页 二、学习目标： 1会用待定系数法求二次函数的解析式； 2实际问题中求二次函数解析式 三、课前基本练习 1已知二次函数yx2xm的图象过点，则m的值为_ 2已知点A，B是抛物线y4x2bxc上的两点，则这条抛物线的对称轴为_ 3将抛物线y(x1)23先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的 解析式为_ 14抛物线的形状、开口方向都与抛物线y x2相同，顶点在，则抛物2线的解 析式为_ 四、例题分析 例1 已知抛物线经过点A，B，C，求抛物线的解析式 例2 已知抛物线顶点为，且又过点求抛物线的解析式 例3 已知抛物线与x轴的两交点为和，且过点 求抛物线的解析式 五、归纳 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1已知抛物线过三点，设一般式为yax2bxc 2已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式ya(xh)2k 3已知抛物线与x轴有两个交点， 设两根式：ya(xx1)(xx2) 六、实际问题中求二次函数解析式 例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？ 七、课堂训练 1已知二次函数的图象过、三点，求这个二次函数的关系式 21 2已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图像过点，求这个二次 函数的解析式 3已知二次函数yax2bxc的图像与x轴交于A，B两点，与 y轴交于点C，求二次函数的顶点坐标 4如图，在ABC中，B90°，AB12mm，BC24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围 A P CBQ 八、目标检测 1已知二次函数的图像过点A，B，C三点，求这个二次函数解析式 22 第9课时 用函数观点看一元二次方程 一、阅读课本：第1619页 二、学习目标： 1知道二次函数与一元二次方程的关系 2会用一元二次方程ax2bxc0根的判别式b24ac判断二次函数yax2bxc与x轴的公共点的个数 三、探索新知 1问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h与飞行时间t之间具有关系h20t5t2 考虑以下问题： 球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ 球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ 球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ 球从飞出到落地要用多少时间？ 2观察图象： 二次函数yx2x2的图象与x轴有_个交点，则一元二次方程x2x20的根的判别式_0； 二次函数yx26x9的图像与x轴有_个交点，则一元二次方程 x26x90的根的判别式_0； 二次函数yx2x1的图象与x轴_公共点，则一元二次方程x2x10的根的判别式_0 四、理一理知识 1已知二次函数yx24x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 _反之，解一元二次方程x24x3又可以看作已知二次函数 _的函数值为3的自变量x的值 23 一般地：已知二次函数yax2bxc的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2bxcm反之，解一元二次方程ax2bxcm又可以看作已知二次函数yax2bxc的值为m的自变量x的值 2二次函数yax2bxc与x轴的位置关系： 一元二次方程ax2bxc0的根的判别式b24ac 当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴有两个交点； 当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴只有一个交点； 当b24ac0时 抛物线yax2bxc与x轴没有公共点 五、基本知识练习 1二次函数yx23x2，当x1时，y_；当y0时，x_ 2二次函数yx24x6，当x_时，y3 3如图， 一元二次方程ax2bxc0 的解为_ 4如图 一元二次方程ax2bxc3 的解为_ 5如图 填空： a_0 b_0 c_0 b24ac_0 六、课堂训练 1特殊代数式求值： 如图 看图填空： abc_0 24 abc_0 2ab _0 如图 2ab _0 4a2bc_0 2利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 方程ax2bxc0的根为_； 方程ax2bxc3的根为_； 方程ax2bxc4的根为_； 不等式ax2bxc0的解集为_； 不等式ax2bxc0的解集为_； 不等式4ax2bxc0的解集为_ 七、目标检测 根据图象填空： a_0；b_0；c_0； b24ac_0；abc_0； abc_0；2ab_0； 方程ax2bxc0的根为_； 当y0时，x的范围为_； 当y0时，x的范围为_； 八、课后训练 1已知抛物线yx22kx9的顶点在x轴上，则k_ 2已知抛物线ykx22x1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围_ 3已知函数yax2bxc的图象如图所示，则关于x的方程 ax2bxc40的根的情况是 A有两个不相等的正实数根 B有两个异号实数根 C有两个相等实数根 D无实数根 25 4如图为二次函数yax2bxc的图象，在下列说法中： ac0；方程ax2bxc0的根是x11，x23；abc0； 当x1时，y随x的增大而增大 正确的说法有_ 26 第10课时 实际问题与二次函数 一、阅读教科书：P22的问题 二、学习目标： 几何问题中应用二次函数的最值 三、课前基本练习 1抛物线y(x1)22中，当x_时，y有_值是_ 12抛物线y x2x1中，当x_时，y有_值是_ 23抛物线yax2bxc中，当x_时，y有_值是_ 四、例题分析： 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？ 五、课后练习 1已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？ 2从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h与小球运动时间t之间的关系式是h30t5t2小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 3如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，ACBD10，当AC、BD的长D是多少时，四边形ABCD的面积最大？ C A B 27 4一块三角形废料如图所示，A30°，C90°，AB12用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？ A ED CFB 六、目标检测 如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形当 点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？ GDC HFABE 28 第11课时 实际问题与二次函数 商品价格调整问题 一、阅读课本：第23页 二、学习目标： 1懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法； 2会应用二次函数的性质解决问题 三、探索新知 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？ 解：设每件涨价x元，则每星期少卖_件，实际卖出_件，设商品的利润为y元 设每件降价x元，则每星期多卖_件，实际卖出_件 四、课堂训练 1某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，应如何定价才能使利润最大？ 2蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x与市场售价P的关系如下表： 上市时间x/ 市场售价P 1 10.5 2 9 3 7.5 4 6 5 4.5 6 3 这种蔬菜每千克的种植成本y与上市时间x满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段 写出上表中表示的市场售价P关于上市时间x的函数关系式； 若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式； 由以上信