海文考研数学考研高等数学公式集锦.docx

海文考研数学考研高等数学公式集锦 ：考研高等数学公式集锦 导数公式： 2(tgx)¢=secx2(arcsinx)¢=11-x2(ctgx)¢=-cscx(arccosx)¢=-11+x211-x2(secx)¢=secx×tgx(cscx)¢=-cscx×ctgx(a)¢=alna(logaxx(arctgx)¢=x)¢=1xlna(arcctgx)¢=-11+x2基本积分表： òtgxdxòctgxdxòsecò=-lncosx+C=lnsinx+Còcosòsindx2x=òsecòcsc2xdx=tgx+Cdx2xdx=lnsecx+tgx+Cx=2xdx=-ctgx+Ccscxdx=lncscx-ctgx+Cdx2òsecòcscòaxx×tgxdx=secx+Cx×ctgxdxaxòaò+xdx2=1a1arctgxa=-cscx+C+C+Cx-adx222=2a12alnx-ax+aa+xa-xxadx=+Clnaòshxdx+C=chx+C=shx+C=ln(x+2òaò-xdx2=lnòchxdxòdxx2a-x22=arcsin+Cx2±a)+C2±ap2p2In=ò02sinnxdx=òcos0nxdx=n-1na2In-2òòòx+adx=222x2x2x2x+a222+2a2ln(x+x+a)+C2222x-adx=22x-a22-2a2lnx+xax-a+Ca-xdx=a-x2+2arcsin+C三角函数的有理式积分： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 1 - 2u1+u2sinx=，cosx=1-u1+u22，u=tgx2，dx=2du1+u2一些初等函数： 两个重要极限： ex双曲正弦:shx=-e2-xlimx®0-xsinxx1x=1x双曲余弦:chx=ex+e2lim(1+x®¥)=e=2.718281828459045.双曲正切arshxarchx:thx=shxchxx2=eexx-e+e-x-x=ln(x+=±ln(x+12ln1+x1-x+1）2x-1)arthx=三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角A - 90°- 90°+ 180°- 180°+ 270°- 270°+ 360°- 360°+ sin cos tg -tg ctg ctg -ctg tg -ctg ctg tg -ctg ctg -sin cos cos cos sin sin -sin -ctg -tg -cos -tg -sin -cos tg -cos -sin ctg -cos sin -sin cos sin cos -tg tg -ctg -tg ·和差角公式： ·和差化积公式： sin(a±b)=sinacosb±cosasinbcos(a±b)=cosacosbmsinasinbtg(a±b)=tga±tgb1mtga×tgbctga×ctgbm1ctgb±ctgacosa+cosb=2coscosa-cosb=2sinsina-sinb=2cossina+sinb=2sina+b2cossina-b2a+b2a-b2a+b2cossina-b2ctg(a±b)=a+b2a-b2钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 2 - ·倍角公式： sin2a=2sinacosacos2a=2cosa-1=1-2sinctg2a=ctga-12ctga2tga1-tga2222a=cosa-sin22asin3a=3sina-4sin33acos3a=4cosa-3cosatg3a=3tga-tga1-3tga23tg2a=·半角公式： sina2=±1-cosa21-cosa1+cosa1-cosasinasina1+cosacosa2=±1+cosa21+cosa1-cosa2=1+cosasina2tga2=±=ctga2=±=sina1-cosa·正弦定理： asinA=bsinB=csinC=2R ·余弦定理：c=a2+b-2abcosC ·反三角函数性质：arcsinx=p2-arccosxarctgx=p2-arcctgx高阶导数公式莱布尼兹公式： n(uv)(n)=åk=0Cnu(n-1)k(n-k)v(k)v¢+n(n-1)2!u(n-2)=u(n)v+nuv¢¢+L+n(n-1)L(n-k+1)k!u(n-k)v(k)+L+uv(n)中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)-f(a)=f¢(x)(b-a)=f¢(x)F¢(x)拉格朗日中值定理。f(b)-f(a)F(b)-F(a)当F(x)=x时，柯西中值定理就是曲率： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 3 - 弧微分公式：平均曲率：K=ds=DaDs1+y¢dx,其中y¢=tga.Da:从M点到M¢点，切线斜率的倾角变DaDsdadsy¢¢(1+y¢)232化量；Ds：MM¢弧长。M点的曲率：直线：K=0;K=limDs®0=.半径为a的圆：K=1a.定积分的近似计算： b矩形法：òabf(x)»b-an(y0+y1+L+yn-1)梯形法：òaf(x)»bb-a1(y0+yn)+y1+L+yn-1n2b-a3n(y0+yn)+2(y2+y4+L+yn-2)+4(y1+y3+L+yn-1)抛物线法：òaf(x)»定积分应用相关公式： 功：W=F×s水压力：F=p×Am1m2r2引力：F=k,k为引力系数1b-a(t)dtb函数的平均值：y=bòaf(x)dx均方根：1b-aòaf2空间解析几何和向量代数： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 4 - 空间2点的距离：向量在轴上的投影：vPrju(a1+vvva×b=a×d=M1M2=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1)222PrjuAB=AB×cosj,j是AB与u轴的夹角。vvva2)=Prja1+Prja2vbcosq=axbx+ayby+azbz,是一个数量cosq=,两向量之间的夹角：axbx+ayby+azbzax+ay+az222×bx+by+bz222ivvvc=a´b=axbxjaybyvvvaz,c=a×bsinq.例：线速度：bzaybycyazbzczkvvvv=w´r.向量的混合积：axvvvvvvabc=(a´b)×c=bxcxvvv=a´b×ccosa,a为锐角时，代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式：2、一般方程：3、截距世方程：vA(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)Ax+By+Cz+D=0xa+yb+zc=1Ax0平面外任意一点到该平面的距离：d=+ByA20+Cz20+D2+B+C空间直线的方程：x-x0m=y-y0n=z-z0pìx=x0+mtvï=t,其中s=m,n,p;参数方程：íy=y0+ntïz=z+pt0î二次曲面：1、椭球面：xa222+yb222+zc22=12、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：x2p+y2q=zxa2222+ybyb2222-zczc2222=1双叶双曲面：xa-+=1钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 5 - 多元函数微分法及应用 全微分：dz=¶z¶xdx+¶z¶ydydu=¶u¶xdx+¶u¶ydy+¶u¶zdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法Dz»dz=fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy：dz¶z¶u¶z¶vz=fu(t),v(t)=×+×dt¶u¶t¶v¶t¶z¶z¶u¶z¶vz=fu(x,y),v(x,y)=×+׶x¶u¶x¶v¶x当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=¶u¶xdx+¶u¶ydydv=¶v¶xdx+¶v¶ydy隐函数的求导公式：FxFxFxdydy¶¶dy隐函数F(x,y)=0，=-，2=(-)(-)×dxFy¶xFy¶yFydxdxFyFx¶z¶z隐函数F(x,y,z)=0，=-，=-¶xFz¶yFz¶F隐函数方程组：ìF(x,y,u,v)=0¶(F,G)J=¶uí¶G¶(u,v)îG(x,y,u,v)=0¶u¶v¶x¶v¶y=-1J1J׶(F,G)¶(u,x)¶(F,G)¶(u,y)¶FF¶v=u¶GGu¶vFvGv2¶u¶x¶u¶y=-1J1J׶(F,G)¶(x,v)¶(F,G)¶(y,v)=-×=-×微分法在几何上的应用： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 6 - ìx=j(t)ïíy=y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：ïz=w(t)î空间曲线x-x0j¢(t0)=y-y0y¢(t0)=z-z0w¢(t0)在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：j¢(t0)(x-x0)+y¢(t0)(y-y0)+w¢(t0)(z-z0)=0vFyT=GyFzGzìïF(x,y,z)=0,则切向量íG(x,y,z)=0ïî,FzGzFxGx,FxGxFyGy曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：v1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0x-x0Fx(x0,y0,z0)=y-y0Fy(x0,y0,z0)=z-z0Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度： 函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其中j为x轴到方向l的转角。¶fv¶fvgradf(x,y)=i+j¶x¶yl的方向导数为：¶f¶l=¶f¶xcosj+¶f¶ysinj函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：它与方向导数的关系是单位向量。¶f¶lvv¶fvv：=gradf(x,y)×e，其中e=cosj×i+sinj×j，为l方向上的¶l是gradf(x,y)在l上的投影。多元函数的极值及其求法： 设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CììA<0,(x0,y0)为极大值2AC-B>0时，íïîA>0,(x0,y0)为极小值ïï2则：值íAC-B<0时，无极ïAC-Bïïî2=0时,不确定重积分及其应用： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 7 - òòDf(x,y)dxdy=òòD¢f(rcosq,rsinq)rdrdq22曲面z=f(x,y)的面积A=òòDxæ¶zöæ¶zöç÷dxdy1+ç+÷ç÷è¶xøè¶yø平面薄片的重心：x=MMòò=Dxr(x,y)ds,y=MMyòò=Dyr(x,y)dsòòDr(x,y)dsòòDr(x,y)dsy轴I=xr(x,y)ds2平面薄片的转动惯量：平面薄片对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：òòDr(x,y)xds(x2，Fy=f3òòDr(x,y)yds(x2，Fz=-faòò3Dr(x,y)xds3+y2+a)22+y2+a)22(x2+y2+a)22柱面坐标和球面坐标： ìx=rcosqï柱面坐标：íy=rsinq,òòòf(x,y,z)dxdydzWïz=zî其中：F(r,q,z)=f(rcosq,rsinq,z)ìx=rsinjcosqï2球面坐标：íy=rsinjsinq，dv=rdj×rsinj×dq×dr=rsinjdrdjdqïz=rcosjî2p=òòòWF(r,q,z)rdrdqdz,pr(j,q)òòòWf(x,y,z)dxdydz1M=òòòWF(r,j,q)rsinjdrdjdq=1M2ò0dq1M2ò0djò0F(r,j,q)rsinjdr2重心：x=转动惯量：òòòWxrdv,y=òòòWyrdv,z=òòòWzrdv，其中M=x=(x22òòòWrdvIx=òòòW(y2+z)rdv，Iy=2òòòW(x2+z)rdv，Iz=òòòW+y)rdv曲线积分： 第一类曲线积分：L的参数方程为：ìx=j(t),(a£t£b),则：íîy=y(t)2òLf(x,y)ds=òafj(t),y(t)j¢(t)+y¢(t)dt(a<b)特殊情况：2ìx=tíîy=j(t)钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 8 - 第二类曲线积分：ìx=j(t)，则：íy=y(t)îbòP(x,y)dxL+Q(x,y)dy=òPj(t),yaL(t)j¢(t)+Qj(t),y(t)y¢(t)dt两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：系：òPdx+Qdy=的方向角。)dxdy=¶P¶yò(PcosaL+Qcosb)ds，其中a和b分别为òòD(¶Q¶x-¶P¶yòLPdx+Qdy格林公式：òòD(¶Q¶x-¶P¶y)dxdy=12òPdxL+Qdy当P=-y,Q=x，即：·平面上曲线积分与路径¶Q¶x-=2时，得到D的面积：A=òòDdxdy=òxdyL-ydx无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在¶Q¶xu(x,y)=¶P¶y注意方向相反！：，且¶Q¶x¶P¶y。注意奇点，如(0,0)，应时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：(x,y)òP(x,y)dx(x0,y0)+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。曲面积分： 对面积的曲面积分：òòåf(x,y,z)ds=òòDxyfx,y,z(x,y)1+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy22对坐标的曲面积分：òòåP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正号；òòåR(x,y,z)dxdy=±òòDxyPx(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正号；òòåP(x,y,z)dydz=±òòDyzòòQ(x,y,z)dzdxå=±òòQx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正Dzx号。两类曲面积分之间的关系：òòPdydz+Qdzdxå+Rdxdy=òò(Pcosaå+Qcosb+Rcosg)ds高斯公式： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 9 - òòòW(¶P¶x+¶Q¶y+¶R¶z)dv=òòåPdydz+Qdzdx+Rdxdy=òòå(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds高斯公式的物理意义散度：通量与散度：vdivn<0,则为消失.¶P¶Q¶Rvdivn=+,即：单位体积内所产生的流体质量，若¶x¶y¶zvv通量：òòA×nds=òòAnds=òò(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds，ååå因此，高斯公式又可写成：òòòWvdivAdv=òòåAnds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： òòå(¶R¶y-¶Q¶z)dydz+(¶P¶z-¶R¶x)dzdx+(dzdx¶¶yQ¶Q¶x-¶P¶y)dxdy=cosaòPdxG+Qdy+Rdzcosg¶¶zRdydz上式左端又可写成：dxdy¶¶zR¶R¶y=¶Q=cosb¶¶yQòò嶶xPòò嶶xP空间曲线积分与路径无iv旋度：rotA=¶¶xPj¶¶yQ关的条件：k¶¶zRG的环流量：¶P¶R¶Q¶P，=，=¶z¶z¶x¶x¶yv向量场A沿有向闭曲线òPdxG+Qdy+Rdz=òGvvA×tds常数项级数： 等比数列：1+q+q2+L+qn-1=1-qn1-q等差数列：1+2+3+L+n=调和级数：1+12+13+L+1n(n+1)n2是发散的级数审敛法： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 10 - 1、正项级数的审敛法根植审敛法：设：r=limn®¥nìr<1时，级数收敛ïun，则ír>1时，级数发散ïr=1时，不确定î2、比值审敛法：UUìr<1时，级数收敛ï，则ír>1时，级数发散ïr=1时，不确定î设：r=limn®¥n+1n3、定义法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，则收敛；否则发n®¥散。交错级数u1-u2+u3-u4+L(或-u1+u2-u3+L,un>0)的审敛法ìïun³un+1，那么级数收敛且其和ílimu=0ïîn®¥n莱布尼兹定理：rn£un+1。如果交错级数满足s£u1,其余项rn的绝对值绝对收敛与条件收敛： (1)u1+u2+L+un+L，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收敛，则如果(2)发散，而调和级数：(1)肯定收敛，且称为绝对(1)收敛，则称发散，而收敛级数；(1)为条件收敛级数。nåå1nå(-1)n收敛；级数：1n2收敛；£时发散p>1时收敛p级数：å1np幂级数： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 11 - 1+x+x2+x+L+x3n+Lx<1时，收敛于x³1时，发散11-x对于级数(3)a0+a1x+a2x2+L+anxn+L，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x<R时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使x>R时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定1r¹0时，R=求收敛半径的方法：设limn®¥ran+1an=r，其中an，an+1是(3)的系数，则r=0时，R=+¥r=+¥时，R=0函数展开成幂级数： 函数展开成泰勒级数：f(n+1)f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)n+1f¢¢(x0)2!(x-x0)+L+2f(n)(x0)n!(x-x0)+Ln余项：Rn=(x)(n+1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f¢¢(0)2!充要条件是：f(n)limRn=0n®¥nx0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f¢(0)x+x2+L+(0)n!x+L一些函数展开成幂级数： (1+x)m=1+mx+x3m(m-1)2!x2+L+xm(m-1)L(m-n+1)n!xn+L(-1<x<1)sinx=x-3!+x52n-15!-L+(-1)n-1(2n-1)!+L(-¥<x<+¥)欧拉公式： ìe+ecosx=ïï2 íix-ixe-eïsinx=ï2îix-ixeix=cosx+isinx或三角级数： ¥f(t)=A0+ån=1Ansin(nwt+jn)=a02¥+ån=1(ancosnx+bnsinnx)其中，a0=aA0，an=Ansinjn，bn=Ancosjn，wt=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xLsinnx,cosnxL任意两个不同项的乘积上的积分0。在-p,p傅立叶级数： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 12 - f(x)=a02¥+ån=1(ancosnx+bnsinnx)，周期=2pì1ïan=pï其中í1ïbn=ïpî1+122pò-pf(x)cosnxdx(n=0,1,2L)pò-pf(x)sinnxdx(n=1,2,3L)13+2+14215+2+L=162p821+122+132+142+L=p622+L=p2241-2p122+132-142+L=p12正弦级数：an=0，bn=p2ò0f(x)sinnxdxn=1,2,3Lf(x)=åa02bnsinnx是奇函数p余弦级数：bn=0，an=pò0f(x)cosnxdxn=0,1,2Lf(x)=+åancosnx是偶函数周期为2l的周期函数的傅立叶级数： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 13 - a02¥f(x)=+ån=1l(ancosnpxl+bnsinnpxl)，周期=2lì1npxdx(n=0,1,2L)ïan=òf(x)cosl-llï其中íl1npxïbn=òf(x)sindx(n=1,2,3L)ïll-lî微分方程的相关概念： 一阶微分方程：y¢=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法：可分离变量的微分方程òg(y)dy=òf(x)dx得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。dydx=f(x,y)=j(x,y)，即写成dxx=duyxyx代替u，的函数，解法：齐次方程：一阶微分方yxdydx程可以写成dudxdudx设u=，则=u+x，u+=j(u)，j(u)-u分离变量，积分后将即得齐次方程通解。一阶线性微分方程： 1、一阶线性微分方程：dydx+P(x)y=Q(x)-当Q(x)=0时,为齐次方程，当Q(x)¹0时，为非齐次方程，2、贝努力方程：dydxy=CeòP(x)dxòP(x)dxdx+C)e-y=(òQ(x)enòP(x)dx+P(x)y=Q(x)y，(n¹0,1)全微分方程： 如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，其中：u(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。¶u分方程，即：¶u=P(x,y)，=Q(x,y) ¶x¶y二阶微分方程： dydx22+P(x)dydx+Q(x)y=f(x)，f(x)º0时为齐次f(x)¹0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 14 - (*)y¢¢+py¢+qy=0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(D)r2+pr+q=0，其中r，r的系数及常数项恰好是r1,r2出(*)式的通解：2(*)式中y¢¢,y¢,y的系数；2、求出(D)式的两个根3、根据r1,r2的不同情况，按下表写r1，r2的形式2(*)式的通解 两个不相等实根(p-4q>0) 两个相等实根(p-4q=0) 一对共轭复根(p-4q<0) r1=a+ib，r2=a-ib22y=c1er1x+c2er2xy=(c1+c2x)ey=eaxr1x(c1cosbx+c2sinbx) a=-p2，b=4q-p22二阶常系数非齐次线性微分方程 y¢¢+py¢+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=ef(x)=elxPm(x)型，l为常数；Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx型lx钻石卡高级辅导系统全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100% - 15 -