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注册电气工程师考试数学公式大全注册电工程师高等数学公式 向量及其线型运算：交换律a+bb+a，结合律：(a+b) +ca+，bab+，|a+b|£|a|+|b|，|a-b|£|a|+|b|，|a |£|a|，定理：设向量a¹0，那么，向量b和向量a平行的充分必要条件是：存在唯一的实数，是ba。aM1M2=(x2x1)i(y2y1)j(z2z1)k或ax2-x1,y2-y1,z2-z1。ax|a|Cosa，ay|a|Cosb，az|a|Cosc，|a|ax2+ay2+az2，Cos2aCos2bCos2c1。数量积：设向量a与向量b的夹角为，向量a和向量b的数量积是一个数量记做a.b，其大小为|a|b| Cos 即：ab|a|b|Cosaxbxaybyazbz。向量a在轴u上的投影等于向量a的模乘以轴和向量a的夹角的余弦，即|a|Cos。数量积等于：ab|a|b|，交换：abba 分配：(a+b) cab+ac结合：(a) b，为实数。向量积：a´b即C=a´b |c|a´b|a|b| Sin|(aybzazbx)i+(azbxaxbz)j+(axbyay)|，c的方向垂直a与b所决定的平面。aax,ay,az，bbx,by,bz。 abaxbxaybyazbz。a´baybzazbx，azbxaxbz，axbyaybx。向量a和向量b平行的充分必要条件是a´b0。b´aa´b。平面平面点法式方程：设平面过点M0，它的法向量nA,B,C,则平面的方程为A(xx0)B(yy0) c(zz0)0平面的一般方程Ax+By+Cz+D0， nA,B,C是该平面的法向量。截距式方程：xaybZ1，a、b、c依次称为平面在x、y、z轴上的截距。两平面的夹角：平面方程分别为A1x+B1y+C1z+D10，A2x+B2y+C2z+D2C0，则夹角Cos=|n1.n2|A1A2+B1B2+C1C2|(绝对值)=,平面1垂直平面条件2：A1A2B1B2+C1C2=0。平面1平行222222|n1|n2|A1+B1+C1A2+B2+C2平面2条件：|Ax0+By0+Cz0+D|(绝对值)A1B1C1。空间1点p0到平面Ax+By+Cz+D0距离：dA2B2C2A2+B2+C2直线空间直线的一般方程：空间直线是平面1：A则直线1xB1y+C1zD1=0.和平面2A2xB2y+C2zD2=0的交线，L的方程为：A1xB1y+C1zD1=0和2A2xB2y+C2zD2=0直线的对称式方程：设直线L过点M0,它的一个方向向量为sm,n,p，则直线L的方程：x-x0y-y0z-z0x-x0y-y0z-z0。直线参数方程：t，mnmnpp则1： xx0mt 2：yy0nt 3：zz0pt。两直线夹角：L1方程：x-x1y-y1z-z1x-x2， L2方程：m1n1p1m2y-y2z-z2|m1m2+n1n2+p1p2|(绝对值)，则L1、L2的夹角Cos。L1垂直L2：m1m2n1n2+p1p2=0。L1222222n2p2m1+n1+p1m2+n2+p2x-x0y-y0z-z0m1n1p1。直线和平面夹角：直线方程，平面方程Ax+By+Cz+D0则直线和平面的mnpm2n2p2平行L2：夹角Sin|Am+Bn+Cp|A2+B2+C2m2+n2+p2，直线垂直平面abc，直线平行平面：AmBn+Cp=0。柱面：已知旋转曲mnpy2+x2，便得曲线C绕Z轴面的母线C的方程为f(y，z)0，x0。旋转轴为z轴，只要将母线的方程f(y，z)0中的y换成± 旋转所成的旋转曲面方程即：f(± x2y2x2y2y+x，z)0。椭圆柱面2+21。双曲柱面：221。抛物柱面：x2ay。二abab22x2y2x2y2x2y2z222次曲面.球面：(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)R。圆锥面：2+2z。椭圆锥面：2+2z。椭球面：2+2+2aaababc2222x2y2x2y2x2y2x2y2z2x21。椭球抛物面：2+2z，2+2z。双曲抛物面：22z。单叶双曲面：2+221。双叶双曲面：2cababababay2z21。微分学 函数左右极限：当函数f当xx0时的极限存在的充分必要条件时函数的左右极限均存在且相等，b2c21Sinxæ1öæ1ö-+即ff极限lim1 ，limç1+÷=e或limç1+÷=elim(1+z)z=e，e2.71828无穷小X-0n-¥X-¥z-000xènøèxønx比较：limbbb0 则b是比a高阶无穷小，limc 则b是比a同阶无穷小，lim1 则b是比a等aaa2x阶无穷小等阶无穷小性质：x0，xsinxtanx，1cosxx/2,lnx，e1x， n1+x1x/n。第一类间断点：X0是f的间断点，但f及f均存在。不是第一类间断点的就是第二类间断点。第一类间断电分为跳跃间断x0x0点和可去间断点，当limf，limf都存在但不相等，为跳跃间断点。当f及f均存在且相等，为可去间x-x0x-x0x0x0断点。导数：可导必连续，连续不一定可导。yy0f，求导法则：u±v(Cu) = Cu(uv)uv+ uv(u/v)=( uv- uv)/v。反函数的求导法则：原函数导数f21复合函数的求导法则：反函数导数jyf，uj。则dy/dxdydu.或者yfj。隐函数yF求导法则，dy/dxF(x)/ F(y)。dudx参数方程求导法则。参数方程为xj，yy，dy/dx/y/j。常见n阶导数公式：x e，SinxxSin，Co2Cos），m(m-n+1) 2！n1 xmn,ln=(-1)。高阶导数求导法则：uv。微分fdy/dx。罗必塔法±±n0¥f则：1：对于和：条件当x®a时，f(x)®0且F(x)®0。条件f(x)及F(x)都存在，且F(x)¹0。limx®a0¥Ff0f0¥0存在，则limlim。其他尚有0·¥、¥¥、0、1、¥的未定式，均可以通过变形化为x®ax®a0FF和¥的形势。函数性态判定.定理1：函数f(x)在点x0可导，且在x0处取得极值，那么f(x)0。函数的导数等于0的点为函数的¥驻点，函数的极值点是驻点,反之不成立。定理2：设函数f(x)在x0处连续且可导，则f(x)在x0左侧时f(x)<0，f(x)在x0右侧时f(x)>0,则函数在x0处取最小值。f(x)在x0左侧时f(x)>0，f(x)在x0右侧时f(x)<0,则函数在x0处取最大值。若f(x)在x0点左右邻域内正负号不发生变化，则在x0没有极值。定理3：设函数f(x)在x0处f(x0)0，f(x0)¹0，那么当f(x0)<0，函数在x0处取最大值，图形呈凸形。当f分界点。如果f(x0)>0，函数在x0处取最小值，图形呈凹形。拐点：连续函数yf(x)凹弧和凸弧的(x0)0或f(x0)不存在，而f(x0)在x0的左右两侧邻近异号，则点就是曲线的一个拐点。偏导数，1：多元复合函数的求导法则，设uj、vy均具有偏导数，而zf，则复合函数zf，y）的偏导数存在，且¶z¶z¶u¶z¶v¶z¶z¶u¶z¶v+，+。2：隐函数求导法则：设方程F(x、y、z)0¶x¶u¶x¶v¶x¶y¶u¶y¶v¶y确定一个隐函数zf，函数F(x、y、z)具有连续偏导数且F¹0，则有Fy¶zF¶zx，。函数可微分的充分条件¶xFz¶yFz是函数具有连续偏导数。偏导数的应用.:空间曲线的切线和法平面：空间曲线xj，yy，zw(t),在对应参数tt的点(x，y，z）处的切线方程0000xx0yy0zz0，法平面方程 j y wj(t0)(xx0)+y(t0)(yy0)+w(t0)(zz0)0。:曲面的切平面与法线：曲面1方程F(x、y、z)0在其上一点M处的切平面方程为Fx(xx0)+ Fy(yy0)+ Fz(zz0)0，法线方程为yy0¶fxx0zz0。：方向导数与梯度：方向导数|(xy)fxCosa+ fy0,0¶l FFyx0+y0+z0） FCosb。Cosa、Cosb为方向l的方向余弦。函数f在点P0的梯度向量gradf= fxi+ fyj。偏导数求多元函数的极值。1：定理1必要条件：设zf在点具有偏导数，则它在点取得极值的必要条件fxfy0。2：定理2充分条件：设zf在点某邻域内具有二阶连续偏导数，且fxfy0 ，fxxA, fxyB,fyyC,则有当AC-B>0时,具有极值,且当A<0时f为极大值, 当A<0时f为极小值当AC-B<0时,不是极值。定积分：f(x)+gdx则22òbaf(x)dx=F(x),定积分性质：òbaòbakf(x)dxkòbaf(x)dxòbabaf(x)dxòcaf(x)dx+òbcf(x)dxòba dxba若在区间a，b上f(x)£g(x)，òbaf(x)dx£òbag(x)dx|òbaf(x)dx |£òf(x)dx，设M,m分别是f(x)在区间a，b上的最大最小值，则m(ba)£òbaf(x)dx£M(ba)设在f(x)的闭区间a，b上连续，则存在xÎa，b,使òbaf(x)dxf(x)(b-a)。òbaf(x)dxjF(x)|b第一类换元法设函数f(u)有原函数，uj可导，则有fjdxaF(b)F(a) 换元积分法 1：fduuj 。常用凑微分公式f(ax+b)dx2f(ò'令 j(x)uò11dxnn1nnf(ax+b)d(ax+b)f(x)xdxf(x)d(x), f(x)anxx)d(x) f(lnx)dx/xf(lnx)dlnx f(ex)d xf(ex)d exf(Sinx)Cosxdxf(Sinx)dSinxf(Cosx)Sinxdxdxdxdxf(tanx)dtanxf(Cotx)f(Cotx)d(Cotx)f(arcSinx) f(arcSinx)d 2Cos2xSin2x1xf(Cosx)dCosxf(tanx)(arcSinx)f(arcSinxxxdx)f(arcSin)d(arcSin)。定积分几何应用平面图形的面积：直角坐标情形：设平面图aaaa2x2形由曲线yf(x)，yg(x)，f(x)³g(x)和直线xa，xb所围成，则其面积A=òf(x)-g(x)dx。极坐标情形：设平面图形由ab1曲线rj(q)及射线qa，qb所围成，其面积A=2òaj(q)b2dq。体积：旋转体的体积，设旋转体由曲线yf(x)2与直线xa，xb及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成，则V=òpf(x)dx。平行截面面积为已知的立体的体积，设立ab体由曲面及平面xa，xb所围成，过点x且垂直与x轴的截面面积为A(x)，其体积VòbaA(x)dx。平面曲线的弧长：直角坐标情形：设曲线的方程为yf(x)(a£x£b), f(x)在a，b上具有一阶连续导数，则弧长sòba1+(y')2dx，参数方程情形：设曲线的参数方程为xj(t)，yf(t)，(a£t£b)，j(t)、f(t)在a，b上具有连续导数，则其弧长sòab''éùéj(t)+f(tëûë)ùûdt。极坐标情形，设曲线的极坐标方程rr(q)，(a£q£b)，r(q)在a，b上具有连续22导数，则其弧长sòar(q)b2'+érë(q)ùûdq。定积分物理应用变力沿直线所作功，设物体受变力F(x)的作用，沿x轴由点a2运行倒点b，力F的方向同x轴方向的正向，则力所作功W=bòbaF(x)dx二重积分计算(直角坐标)积分区域D=(x，y)j1(x) bf(x,y)dyùdxòdxéòf(x,y)dyù积分区域D=(x，y)，则òòf(x,y)dxdyòéò£y£j2(x)，xÎa，bêúêúaj(x)aj(x)Dë1j2(x)j2(x)1ûëûj1(y) £x£jj，则2(y)，yÎc，dòòDdj2(y)f(x,y)dxùdy二重积分计算(极坐标)： D=(r，q)f(x,y)dxdy=òéòêj1(y)úcëû1(q) £x£j2(q)，qÎa，b，则òòDf(x,y)dxdyòòDf(rCosq,rSinq)rdrdqòabj2(q)dqéòf(rCosq,rSinq)rdrù。重积分的应用：曲面å的面积：设曲面的方程为zf(x,y)，å在xOy面上的投影区域D，êúëj1(q)ûf(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则曲面å面积A=òòD(1+(¶z2¶z2)+)dxdy平面曲线积分的计算法对弧长的曲线积分的计¶x¶y算法，设f(x，y)在曲线弧L上连续，L的参数方程为x=j(t),y=f(t),(a£t£b),其中j(t),y(t)具有一阶连续导数，且''''éùéùéùéf(x,y)dsj(t)y(t)+0，则fj(t)+y(t)j(t)+y¹òLëûëûòaëûë(t)ùûdt，a<b。对坐标的曲线积分的计算方22b22é法：设P在有向曲线弧L上连续，L的参数方程为xj(t)，yy(t)，则ëj(t)ùû+éëy(t)ùû¹0，b'''2'2òLPxy(,dx)Qxyd+y(,)òPj(t),y(t)j(t)+Qj(t),y(t)y(t)dt。格林公式：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x，y)及Q(x，y)a在D具有一阶连续偏导，则¥òòD(¶Q¶P-)dxdyòPdx+Qdy，L为D的取正向的边界曲线。幂级数概念：L¶x¶yåa(x-x)n0n=0¥n。另t(x-x0)，则åatnn=0¥n阿贝尔定理：若级数åaxnn=0¥n当xx0时收敛，则对符合x<x0的一切x，级数åaxnn=0n绝对收敛；若级数åaxnn=0¥n当xx0时发散，则对符合x>x0的一切x，级数åaxnn=0¥n发散。对幂函数åaxnn=0¥n，若limn®¥an+1r或limn®¥annanr。则它的收敛半径R:当r¹0时，R=1/r.当r=0时，R=+¥。当r¹+¥时，R0。泰勒级数概念：若f(x)在点x0处具有各阶导数，则幂级数¥1(n)n称为f(x)在点x0处的泰勒级数，当x00时，级数f(x)(x-x)å00n=0n!¥111(n)24n称为函数f(x)的麦克劳林级数。常用函数展开成幂级数将展开为x的幂级数：1x+x+(f(0)(x)å221+x1+xn!n=01)(x)n2n+将1124n展开为x的幂级数：1+x+x+ (x)+将ln(1+x)展开为x的幂级数：1+x1+xn+1x2x3x3x5x2x4x2n-1x2nnxnnxx+(1)Sinxx+(1)+ Cosx x+(1)+en+1352324(2n+1)!(2n-1)!11321353x2x2nm(m-1)x2m(m-1).(m-n+1)x2mx+x1+x+(1+x)1+mx+1/1+x=1x+2462242n!2!2n!傅里叶级数，收敛特性1：在一个周期内连续，或只有有限各第一类间断点。2：在一个周期内至多只有有限各极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，且当x是f(x)的连续点时，级数收敛域f(x)；当x是f(x)间断点时，级数收敛与f(x)+ f(x)。微分方程：12+-凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。可分离变量的方程：dyf(x)Þg(x)dydxg(y)f(x)dxÞg(y)dy=òòf(x)dx，设g(y)、f(x)的原函数依次是G(y)、F(x)，则dyf(x)的通解G(y)F(x)+C。一阶线性方程：dxg(y)P(x)dx-P(x)dxé'Q(x)eòdx+Cù。Q(x)0为线性齐次方程、Q(x)¹0为线性非齐次方程。二阶常系数线y+P(x)yQ(x)的通解yeòêëòúû性微分方程y+py+qy0Þ特征方程：r+pr+q0。特征方程有两个不等实根：r1rxrx'''2¹r2，通解yC1erx+ C2erx。特征方程有两个12相等实根：r1r2，y(C1 + xC2)e特征方程有一对共轭复根：ye( C1Cosbx+ C2Sinbx)随机事件与概率：Pnmmn(n1)(n2)(nm+1)、Cm事件A的概率为0£P(A)£1，必然事件W的概率P(W)=1，不可能事件f的概率P(f)=0。n= Pn/ Pn。m随机事件的运算对立事件:A的对立事件A。和事件：A和B事件至少一个发生(A发生或B发生)，A+B或AÈB。积事件：A发生并且B发生，AB或AÇB。差事件：A发生并且B不发生，AB或A-AB或AB。随机事件的关系：包含：事件B包含事件A表示“A发生时B必定发生”，BÉA或AÌB。相等：BÉA并且BÌA，A=B。互不相容：AB=f。对立：AB或B=A。完备事件组：A和A构成。相互独立：A和B是否发生相互不影响。P(AB)=P(A)P(B)。摩根法则：A+B=AB,AB=A+B条件概率：在事件A发生的前提下事件B发生的概率。P(BA)P(AB)/ P(A)。当A与B相互独立时：P(BA)P(B)、 P(AB)P(A)。概率计算公式：P(A)=1P(A)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(AB)= P(B )P(AB)= P(A )P(BA)，当AB相互独立时：P(AB)= P(A )P(B)。P(AB )P(A)P(AB)，当AÉB时，P(A )³P(B)，且P(AB)P(A )P(B)。古典概率：P(A)m/n。超几何概率公式：设N件产品中有M件次品，其余NM件非次品，随机地从N件产品中任取n件，则n件产品中恰有k件次品的概率P(A)kn-kCMCN-M。二项概率公式：如果做一次随机实验只可能有两种不同结果，称为伯努利试验。成功和失败，成功的概率为p，则出现nCN-k失败的概率为1p。设反复独立地做n次伯努利试验，则n次试验中恰出现k次成功的概率p(A)Cknpn(1p)n-k，放回的摸球的问题可以用这个公式解决。 基本求导公式1：(C)=0。2：(x)mx2'''m'm-1。3：(Sinx) Cosx。4：(Cosx) Sinx。5：(tanx) Secx。6：(Cotx) x'xx''''2'cscx。7：(Sec x) Secxtanx。8：(Csc x)Csc x Cotx。9：(a)alna。10：(e)e。11：(logax)1/(xlna)。12：(lnx)1/x。13：(arcsinx)1/1-x2。14：(arccosx)1/1-x2。15：(arctanx)1/(1+x)。16：(arccotx)1/(1+x)。基本微分mm+1表：1：kdxkx。2：xdxx/(m+1)。3：'''2'2x''òòdxdxdxln。4：arctanx。5：xò1+x2òxò1-x2arcsinx。6：òCosxdxSinx。7：SinxdxCosx。8：òdxdx22secxdxcsctanx。9：òCos2xòòSin2xòxdxcotx。10：òsecxtanxdxsecx。xxxx11：cscxcotxdxcscx。12：edxe。13：adxa/lna。14：shxdxchx。15：chxdxshx。16：tandxòòòòòò2222lncosx。17：cotdxlnsinx。Cos2qCosqSinq2 Cosq11Sinq。Sin2q2SinqCosqò