波利亚怎样解题实例分析.docx

波利亚怎样解题实例分析怎样解题 一、熟悉问题 1、未知是什么？2、已知是什么？3、你能复述它吗？ 二、寻找解题方法 1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 若不能解题，可考虑： 1、已知条件都用上了吗？2、能不能得到一个比较特殊的情况？ 三、书写过程 1、你能按步骤写出你的分析过程吗？ 2、你所写的步骤都正确吗？ 四、总结与回顾 1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？ 2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 3、解题过程能简化吗？ 例1、 已知：如图，在ABC中，AB=AC 求证：B=C 分析： 问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：B=C 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：在三角形ABC中，AB=AC 问题3、以前做过类似的题吗？ 答：似乎没有。 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答：似乎没有。不能直接用定理解出此题。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答：似乎不能。 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 答：1、未知是求B=C，在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。由于这些都没有出现，是不是能引入辅助元素？观察B、C所处的位置，平行线、角平分线都不合适、角的度数没有出现，考虑运用全等三角形来解此题。但此题中B、C处在同一个三角形中，需要将此两角放入到两个不同的三角形中，需引入一条线将此三角形分成两个三角形，并将B、C分别处于两个三角形中，可在A点引下一条线与BC相交。 2、新问题出现了：如何证明ABDACD？答：已知中含有AB=AC，从图中可得AD=AD，尚缺少一个条件。 3、新问题：加入什么条件就可以了？答：BAD=CAD，可利用角边角进行判定。或BD=CD，可利用边边边进行判定。或ADBC，可利用直角三角形的全等的判定进行判定。 4、新问题：如何实现？答：在做线的时候可以利用做图做出其中的某一个条件。如做角A的角平分线，或做BC边上的中线，或做BC的垂线。 到此，此题可解。 问题8、如何书写过程？ 答：先写线的做法，然后写全等证明，最后得到未知求证。 问题9、解题过程能简化吗？ 答：尚无更简化方法。 问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 答：此题条件少，没有直接出现三角形，需要构造出三角形求解。可得到一个结论：利用三角形全等证明一个图形中的两角相等进可行的。要求是要将此两角放到两个三角形中，然后找全等的条件。 例2、求二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标。 问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：二次函数图象的顶点坐标。 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：二次函数解析式y=-3x2-6x+5 问题3、以前做过类似的题吗？ 答：做过。 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答： 能直接运用公式求解。 问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 答：此类题型主要考查对二次函数的顶点坐标的掌握情况，以及准确的计算能力。 例3、已知：如图，在ABC中， AB=5，AC=3，D为BC中点，求AD取值范围。 问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：求AD的取值范围。 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：在ABC中， AB=5，AC=3，D为BC中点 问题3、以前做过类似的题吗？ 答：没有。 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答：我知道三角形三边关系：三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答： 条件中两条边的边长分别是AB、AC，所属三角形为ABC，而所求AD边长所属是ACD或ADC。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答：已知中的边长为 AB、AC，要想使用三角形三边关系，需将AB、AC和AD边联合到一个三角形中。考虑：需移动AB或AC并到AC或AB与AD或包含AD的线段构成一角三角形。移动的方法考虑使用全等三角形的方法。延长AD至E，使AD=AE，则可出现ACDEBD，可得AC=BE，则2<AE<8,可得1<AD<4。 问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 答：1、有三角形的中线，可构造全等三角形。 2、当条件分散时，可向定理集中。 例4、 已知：如图，ABC中，BF平分ABC，CF平分ACB，EDBC，求证：DE=BE+CD 问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：线段DE的长等于EF与FD的和。 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：角平分线BF和CF，平行线DE平行于BC。 问题3、以前做过类似的题吗？ 答：没有。 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答： 角分线定理，平行线性质。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答： 从图中可得，此题角平分线与平行线有重合部分。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答： 根据角平分线性质，可得CBF=EBF，根据平行线性质可得CBF=EFB，进而可得EFB=CBF，可以得到等腰三角形EBF，可得BE=EF。根椐对称原则可得CD=FD。进而此题可解。 问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 答：1、有角平分线和平行线，可得等腰三角形。 2、求证线段和可以用分段相等的形式得到结论。 例6、已知x = 1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值。 问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：代数式m2+2mn+n2的值。 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：x = 1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根。 问题3、以前做过类似的题吗？ 答：没有。 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答： 不能直接运用公式求解。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答： 不能。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答：根据方程根的含义可知12+1×m+ n = 0，进而可得m+n=0。 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 答：根据因式分解的公式可将未知变形为 m2+2mn+n2=2，即若知m+n的值可得未知。到此，此题可解。 例7、如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，M、N、P分别是AD，BC的中点，BDC=700，cosABD=32 ，求NMP的度数。 问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：求NMP的度数。 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：ABCD，M、N、P分别是AD，BC的中点，BDC=700，cosABD=问题3、以前做过类似的题吗？ 答：没有。 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答： 相关的定理有中点现的中位线，由三角函数可求出相应的角的值；不能直接运用公式求解。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答：1、由中位线定理可知，AB=2MP；cosABD=MPD=300； 2、由中位线定理可知DC=2NP；由BDC=700，可知BPN=700；进而可得NPD=110；进而可得MPN=140； 3、由中位线定理和已知AB=CD可知MP=NP；进而可知MP=NP；进而可得PMN=0032。 32可知ABD=300；进而可得PNM。 综合以上因素，可得NMP=MNP=200。 到此，此题可解。 问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 答：1、利用一切机会将已知重新分组与组合，可得新的结论，将新结论与其它已知相结合可得更新的结论，可能能到达终点。 2、有中位线，可寻找相等的线段。 例8、如图所示：已知xOy900，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，OAB的内角平分线与OBA的外角平分线交于C，求ACB的度数。 问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：求ACB的度数 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：xOy900，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，OAB的内角平分线与OBA的外角平分线交于C 问题3、以前做过类似的题吗？ 答：似乎没有。 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答：三角形内角和定理，三角形外角定理，角平分线定理。不能直接用定理解出此题。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答：ABO的外角的度数与BAO是有关联的，但这中间似乎很乱。清理一下：ABO的外角ABE在度数上等于，则外角的一半EDB应等于12，而ABO应等于，则ABC应等于二者之和： ABC=12+=。问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 答：1、未知是求ACB的度数，利用三角形内角和定理，将未知转化成求式子1800CBABAC的度数。 2、根据以上所得，则有ACB=1800CBABAC=180012OAB=450。 原题得解。即无论A、B如何运动，只要角平线不改，ACB永远等于450。 问题8、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 答： 例9、如图，ABC为正三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD。求证：DB=DE。 问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：求证：DB=DE。 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：ABC为正三角形，BD是中线，CE=CD。 问题3、以前做过类似的题吗？ 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答：等腰三角形性质和判定。不能直接用定理证明。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答：根据已知中ABC为正三角形，BD是中线可得DBC=12ABC=12ACB。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答：根据已知中CE=CD，可得CED=CDE。 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 答：1、未知是求证DB=DE，如何能出现？ 答：在以前学过的定理中等腰三角形的判断，只要DBC=CDE即可； 2、新问题：与此相关联的角有那些？ 答：与DBC相关联的角是ACB，而ACB又是DCE的外角，这似乎可行； 3、有新进展吗？ 答：由三角形外角定理可得CED=题得证。 问题8、如何书写过程？ 问题9、解题过程能简化吗？答：尚无更简化方法。 问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？ 答： 1、证同一三角形中的边相等时，可考虑等腰三角形的判定。 2、在同一三角形中有等边就有等角。 例10AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，求证：AD垂直平分EF。 12ACB，进而可得DBC=CDE。原问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：AD垂直平分EF 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：AD 是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高 问题3、以前做过类似的题吗？ 答：做过。解过有关角平分线性质和线段垂直平分线性质的证明。 问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？ 答：角平分线定理。垂直平分线定理。不能直接用定理解出此题。 问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？ 答：AD 是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，联和可得DE=DF。 问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？ 答：似乎不能。 问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？ 答：未知是求AD垂直平分EF，在以前学过的定理中有垂直平分线定理的逆定理，只要能证明DE=DF即可。 原题得证。 例11、父亲死后留下1600克朗给三个儿子，遗嘱上说，老大应比老二多分200克朗，老二比老三多分100克朗，问他们各分了多少？ 问题1、未知是什么？你能复述它吗？ 答：求兄弟三人各分多少钱。 问题2、已知是什么？你能复述它吗？ 答：共有1600克朗，老大比老二多分200克朗，老二比老三多分100克朗。 问题3、你能表示出所有的量吗？ 答：可设小儿子得x克朗，则有以下量出现： 小儿子：x克朗 二儿子：克朗 大儿子：+200克朗 总钱数：1600克朗 问题4、你能用不同的式子表示出同一个量吗？ 答：1、小儿子钱数+二儿子钱数+大儿子钱数=总钱数 2、小儿子钱数+二儿子钱数=总钱数-大儿子钱数 3、小儿子钱数=总钱数-大儿子钱数-大儿子钱数-二儿子钱数 4、3×小儿子钱数=总钱数-100- 5、3×大儿子钱数=总钱数+100+ 原题得解。 问题5、从中可以借鉴那些经验？ 答：分量和等于总量。