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河海大学材料力学习题解答第二章 拉压变形 2-11 =11MPa, d=? 解： P=1gh2b=40kN24m åMO(Fi)=0:P FN´0.6´0.4-P´2=03FN=11.11kN强度条件： 2m FN 3m s=FN£sAd³4´11.11´103/(p×11´106)=1.286´10-3m2d³3.58cm以上解不合理： 柔度： l=ml/i=1´5/(d/4)=557.72-16 试校核图示销钉的剪切强度。已知F=120kN，销钉直径d=30mm，材料的容许应力=70MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉? 解： F120´103t=84.88MPa 不满足强度条件 2A2´9p/4´10-4F120´103A=pd³=8.571´10-4 62t2´70´10142d³3.3cm 1 第三章 扭转变形 3-3 图示组合圆轴，内部为钢，外圈为铜，内、外层之间无相对滑动。若该轴受扭后，两种材料均处于弹性范围，横截面上的切应力应如何分布?两种材料各承受多少扭矩? g=rdfdx t=Gg 3-10(b) F=40kN, d=20mm 解：中心c位置 xc=80/3 F 80 120 A 50 C 50 B xc rM 2 r1 r3 c F gt等效后： M=F(200-80/3)´10-3=6.93kN由F引起的切应力 t¢=F/(3A)=40kN/(324pd)=42.4MPa由M引起的剪切力满足 Fc/r1=FA/r2=FB/r3FCr1+FAr2+FBr3=M解得 FC=39.8kNC铆钉切应力最大 t¢¢=F2C/A=39.8kN/(p4d)=126.7MPatc=t¢+t¢¢=169.1Mpa2 第四章 弯曲变形 4-12 切应力流 FQ FQ FQ FQ 3 4-13 =8.5MPa，求满足强度条件的最小Fmin 30kN A 0.3m C 1.8m 1.8m 0.15m Mc MC=27kNm-0.6F 解：最小F时，最大应力发生在C截面。 MC27´103-0.6F smax=1=s=8.5MPa2W´0.15´0.3z6 36F=0127´10-8.5´10´1´0.15´0.09=13.13kN.66B F 1.2m -844-14 图示铸铁梁，若st=30MPa,sc=60MPa,试校核此梁的强度。已知Iz=764×10m。 解：作弯矩图 +Mmax=2.5kNm,M-max=4kNm.4kNm 2.5kNm tCmaxs2.5´1032.5´103c=´0.088=28.8MPa sCmax=´0.052=17.0MPa -8-8764´10764´104´103=´0.052=27.2MPa 764´10-8stBmaxstBmax4´103=´0.088=46.1MPa 764´10-84 4-15 一矩形截面简支梁，由圆柱形木料锯成。已知F=8kN,a=1.5m，=10MPa。试确定弯曲截面 系数为最大时的矩形截面的高宽比h/b，以及锯成此梁所需要木料的最d。 22211 Wz=6bh=6b(d-b) dWz=0 Þ d2-3b2=0 b=d/3 db36-3 W>M/=12´10/10´10=1.2´10zmax d33W=>1.2´10d=266mmz 93 418 q=F/l B 43w=ql/(8EI)+ql/(6EI)´l=B2 Fl3/(8EI)+Fl3/(6EI)=7Fl3/(24EI) F 32 w=F(2l)/(3EI)+M(2l)/(2EI)=B1M=Fl B (8/3+2)Fl3/EI=14Fl3/(3EI)B wB3=-FB(2l)3/(3EI)=-8FBl3/(3EI) FB 7 约束条件： wB=wB1+wB2+wB3=0 (14F/3+7F/24-8FB/3)l3/(3EI)=0 FB=119F/64=1.86F第五章 应力状态 5-6 A点处横截面和纵截面上的应力？ sx t A syt F 5-7(a) 求主应力。1、作应力圆 2、由应力圆可知： t s=2FA t=3F 0 60(-F,0)(F,0) 0 t=3F60 s=2FB 5-7(b) A(-F,3F)s=-Fs=-F (-2F,0) (F,0)t=3Ft=3F 600600(2F,3F)A 1200 (3F,0)sB (2F,-3F)t2400(2F,0)ss=2F8 B(-F,-3F)5-10 在图示工字钢梁的中性层上某点K处，沿与轴线成45°方向上贴有电阻片，测得正应变=-2.6×10-5，试求梁上的荷载F。设E=2.1×105MPa，=0.28。 2F/3 FQ(1). 求剪力FQ F/3(2). 28a工字钢： h=28cm,b=12.2cm,t=1.37cm,d=0.85cm,Ix=7114.14cm4. *Sz=12.2´1.37´(28-1.37)/2+0.85´(14-1.37)2/2=290.33cm2*中性轴处切应力： FQSzFQ´290.33´10-6tmax=480.1FQ -8-2Izd7114.14´10´0.85´10纯切应力状态： tmaxs1=tmax, s2=0.0, s3=-tmaxs3 s1 e0=1(s-us)=-1+ut广义Hooke Law 45E31Emaxtmax=-e45E0(1+u)=2.6´10-5´2.1´105´106/1.28=4.2625´106FQ=4.2625´106/480.1=8884.8NSo, We get:F=3FQ/2=13.327kN 9 第六章 强度理论 6-3 受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点A处的应力状态如图(b)所示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得：x=1.88×10-4，y=7.37×10-4。已知钢材弹性模量E=2.1×105MPa，横向变形系数v=0.3，=170MPa。试用第三强度理论对A点处作强度校核。 sxsy 1ex=E(sx-usy)广义Hooke定律： 1e=(sy-usx)yE E-4-4s=(e+ue)=(1.88´10+0.3´7.37´10)=94.4MPaxxy可得： 21-uE-4-4s=(e+ue)=(0.3´1.88´10+7.73´10)=183.1MPa yyx21-u 所以有： s1=183.1MPa, s2=94.4MPa, s3=0.0 第三强度理论： s=s1-s3=183.1MPa>170MPa r 超过5，不满足强度条件。 10 6-4 图示两端封闭的薄壁圆筒。若内压p=4MPa，自重q=60kN/m，圆筒平均直径D=1m，壁厚=30mm，容许应力=120MPa，试用第三强度理论校核圆筒的强度。 解：内压引起的应力 s¢¢s¢s¢=pD0/4d=4´1/(4´0.03)MPa=33.3MPas¢¢=pD0/2d=4´1/(2´0.03)MPa=66.7MPa 弯曲应力 Mmax=1ql2=160´103´122=1080kNm88 21 Wz=4Dpd smax=Mmax/Wz=1080´103/(1´0.03p)=45.8MPa4 叠加，底部： s1=s¢+smax=79.1MPa s2=s¢¢=66.7MPa s3=0 *s=s1-s3=79.1<s3 叠加，顶部： s1=66.7MPa s2=0 s3=s¢-smax=-12.5MPa s*=s-s=79.2MPa313 s¢¢s¢+smaxs¢¢s¢-smax 11 6-6 在一砖石结构中的某一点处，由作用力引起的应力状态如图所示。构成此结构的石料是层化的，而且顺着与A-A平行的平面上承剪能力较弱。试问该点是否安全?假定石头在任何方向上的容许拉应力都是1.5MPa，容许压应力是14MPa，平行于A-A平面的容许切应力是2.3MPa。 Y面 A-A x x q x面 s=sx+sy2±(sx-sy2)2+t2x=-6±5MPa 故有：s1=0, s2=-1MPa, s3=-11MPa 因为无拉应力，宜用莫尔强度理论：srM=s1-st1.5s3=0-´(-11)=1.18<st，满足条件。 sc14q=73.740，t-q=sx-sy2sin(-2q)+txcos(-2q)=3MPa>tA-A=2.3MPa，不满足条件。 12 6-7 一简支钢板梁受荷载如图(a)所示，它的截面尺寸见图(b)。已知钢材的容许应力=170MPa,=100MPa，试校核梁内的正应力强度和切应力强度，并按第四强度理论对截面上的a点作强度校核。(注：通常在计算a点处的应力时近似地按a点的位置计算。) 660kN 620kN FQ 解：支座反力 FA=FB=660kN M FQmax=660kN,Mmax=820kNm 640kNm 820kNm 11Iz=12´0.01´0.83+2(12´0.24´0.023+0.24´0.02´0.412)=204.075´10-5m4 *Sz=0.4*0.01*0.2+0.24*0.02*0.41=27.68´10-4m3 跨中截面最大正应力，smax=Mmax´0.42=168.8MPa Iz*FQmaxSz支座断面最大切应力，tmax=校核C处左截面a点的强度 Iz´0.01=89.52MPa Szc=0.24*0.02*0.41=19.68´10-4m3 620´103´Szc640kN´0.4=125.4MPa ta=59.79MPa， sa=IzIz´0.01第四强度理论的相当应力 22sr4=sa+3ta=162.63MPa 安全 13 第七章 组合变形 7-6 图(a)和图(b)所示的混凝土坝，右边一侧受水压力作用。试求当混凝土不出现拉应力时，所需的宽度b。设混凝土的材料密度是2.4×103kg/m3。 FN=rgbh WM=1r¢gh×h×1h=1r¢gh3 236 FNMrgbhr¢gh3sB=-+=-+2 AWb×1b A¢gh3/b2=0=-rgh+rB Mr¢FN b=h=5.81mr FN=1rgbh2 b13211¢¢ M=1rgh×h×h-W=rgh-rgbh236126W ¢gh3rgb2hFMrgbhrN sB=-+=-+2-2AW2bb2b =-rgh+r¢gh3/b2=0 AB Mr¢b=h=5.81m FNr截面核心 14 7-15 圆轴受力如图所示。直径d=100mm，容许应力=170MPa。 (1)绘出A、B、C、D四点处单元体上的应力； (2)用第三强度理论对危险点进行强度校核。 t t sssstt (C)(D)(A)(B) sFN=110kN, Mx=90´0.05=4.5kNm My=110´0.05=5.5kNm tsMz=(90-80)´1=10kNm M=My+Mz=130.25=11.41kNm(E) 1t=Mx/Wp=4.5*103/16p0.13=22.9Mpa 危险点E33FM110´1011.41´10N Mxs=+=+=130.3Mpa23AW0.1p/40.1p/32Mz 22s=s+4t=138.11Mpa<sr3 MMy15 7-20 100kN 140 30 700.1m 0.5m0.4m FQ=-50kN , M=20kNm =/G=67 =50MPa ,=-5.15MPa 90= -/E=-75 0= /E=250 5= (-)/E=(30.15-0.3×19.85)/2×10=121 45 45-45 = (+)/2+(-)cos900/2+sin900/2 45 xyxy =(250-75)/2+67/2=121 第八章 压杆稳定 8-10 图示托架中AB杆的直径d=40mm，两端可视为铰支，材料为235钢。p=200MPa，E=200GPa。若为中长杆，经验公式cr=a-b中的a=304MPa，b=1.12MPa。 (1) 试求托架的临界荷载F。 (2) 若已知工作荷载F=70kN，并要求AB杆的稳定安全因数nst=2，试问托架是否安全? Fx Fy F FAB 解：(1) 求F与FAB的关系 åMC(Fi)=0 FAB=0.9F/(0.6´0.8)=1.875F l=ml/i=4ml/d=4´1´1.0/0.04=100lp=p2E/sp=200´109/200´106p=99.34 为大柔度杆件 p2E3.142´200´109pFcr=2A=´´16´10-4=247.7kN F=Fcr/1.875/nst=66kN44l10FAB=1.875´70kN=131.25Fcr/FAB=1.89(2) 不安全。 16 8-12 图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为16号工字钢，BC杆为d=60mm的圆杆。已知E=200GPa，p=200MPa，s=235MPa，强度安全因数n=2， 稳定安全因数nst=3， 求容许荷载值。 解：先由压杆确定容许压力： lp=p2E/sp=200´109/200´106p=99.34 lu=(a-ss)/b=(304-235)/1.12=61.6 l=ml/i=4ml/d=4´1´1.2/0.06=80中柔度杆： F=2Fcr/nst=2Ascr/nst=2´1pd2(a-lb)/3=4261p0.06(304-80´1.12)´10/3=404kN2 有梁正应力 Mmax=Fl/4=F/2 Mmax/Wz£ss/n强度条件： F£2Wzss/n=2´141´10-6´235´106/2=33.14kN讨论题：请设计图示结构中的压杆BC。 已知F=28kN，A、B、C三处连接都简化为柱形铰。压杆采用矩形截面松木，p= b= 13Mpa，E=10Gpa，n=2.0，nst=3.0，松木a=29.3MPa，b=0.19MPa 。 F B ly=ml/iy=1´l/(h/12) lz=0.5l/(b/12) ly=lzÞh=2bA2m2mlp=p2E/sp=p10GPa/13MPa=87.14m lu=(a-sb)/b=(29.3-13)/0.19=85.7 C 假设是大柔度杆件，稳定性条件： FNscrp2Eh£=2 bhnstlnstzb 14´103p21010 £22b(12l/h)2nst y b=5.6cm l=123.7 17 第九章 动荷载 9-5 图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放置弹簧。弹簧在1kN的静荷作用下缩短0.625mm。钢杆的直径d=40mm，l=4m容许应力=120MPa，E=200GPa。若有重为15kN的重物自由落下，求其容许高度h；又若没有弹簧，则容许高度h将等于多大? 解：容许内力： F=1pd2s=0.25´p´0.042´120´1064=150.8kN动荷系数： kd=F/W=150.8/15=10无弹簧时静变形： Dst1=Wl/EA=15´4´103/(2´1011´0.25p´(0.04)2)=2.387´10-4mh=(kd-1)2-1Dst1/2=9.55mm 有弹簧时静变形： Dst2=W´0.625´10-3+Dst1=96.14´10-4m h=384.6mm 18 例9-2 图9-5示16号工字钢梁，右端置于一弹簧常数k=0.16kN/mm的弹簧上。重量W=2kN的物体自高h=350mm处自由落下，冲击在梁跨中C点。梁材料的=160MPa，E=2.1×10MPa，试校核梁的强度。 解 为计算动荷因数，首先计算st。将W 图9-5 例9-2图 作为静荷载作用在C点。由型钢表查得梁截面的Iz=1130cm和Wz=141cm。梁本身的变形为 435DCstWl32´103N´33m3=48EIz48´2.1´1011Nm2´1130´10-8m4 =0.474´10-3m=0.474mmW的作用下， 2由于右端支座是弹簧，在支座反力FRB=其缩短量为 DBst=故C点沿冲击方向的总静位移为 0.5W0.5´2kN=6.25mm k0.16kNmmDst=DCst+DBst=0.474mm+´6.25mm=3.6mm 再由式(9-14)，求得动荷因数为 1212kd=1+1+2hDst=1+1+2´350mm=14.98 3.6mm梁的危险截面为跨中C截面，危险点为该截面上、下边缘处各点。C截面的弯矩为 Mmax危险点处的静应力为 Wl2´103N×m=1.5´103N×m 44sstmaxMmax1.5´103N×M=10.64´106Pa=10.64MPa -63Wz141´10m所以，梁的最大冲击应力为 sdmax=kdsstmax=14.98´10.64kPa=159.4MPa 因为dmax<，所以梁是安全的。 19 第十章 能量法 10-5 用莫尔定理求下列各梁指定点处的位移。 解：首先求弯矩方程 MFa 求C处位移，在C处加单位力，求弯矩方程： 3a/2 Mo(x)M(x)Mo(x) DC=òdx=0EI 求D处位移，在D处加单位力，求弯矩方程： a oM(x)aa Fa×x/axFa×x/axD=×adx+×adxD òòEIaEIa00 a2F2Fa32 =xdx=òEI3EI 0FF1FF2 AA CCBB (a)¶Ve请说明下式的意义： ¶FM(x)=MF1(x)+MF2(x)解：见图，弯矩可表示为： =F1M1(x)+F2M2(x) 式中M1(x),M2(x)分别为F1=1, F2=1时对应的弯矩。 M(x)¶M(x)M(x)DB=òdx=òM1(x)dx EI¶F1EI M(x)¶M(x)M(x) DC=òdx=òM2(x)dxEI¶F2EI设F1=F2= ¶VeM(x)¶M(x)¶M(x)=òdx=òM1(x)+M2(x)dx=DB+DC¶FEI¶FEI 20