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求导数的一般方法求导数的一般方法 一、高中数学导数的定义，公式及应用总结 导数的定义: 当自变量的增量xxx0，x0时函数增量yf f与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数在x0点的导数f'的几何意义：表示函数曲线在P0x0，f点的切线斜率。 一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性内可导。如果在内，f'>0,则f在这个区间是单调增加的。如果在内，f'<0,则f在这个区间是单调减小的。所以，当f'=0时，yf(x )有极大值或极小值，极大值中最大者是最大值，极小值中最小者是最小值 求导数的步骤: 求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： 求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均变化率 取极限，得导数。 导数公式： C'=0(C为常数函数)； (xn)'= nx(n-1) (nQ*)；熟记1/X的导数 (sinx)' = cosx； (cosx)' = - sinx； (tanx)'=1/(cosx)2=(secx)2=1+(tanx)2 -(cotx)'=1/(sinx)2=(cscx)2=1+(cotx)2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x2)1/2 (arccosx)'=-1/(1-x2)1/2 (arctanx)'=1/(1+x2) (arccotx)'=-1/(1+x2) (arcsecx)'=1/(|x|(x2-1)1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x2-1)1/2) (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)2=(sechx)2 (coth)'=-1/(sinhx)2=-(cschx)2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x2+1)1/2 (arcoshx)'=1/(x2-1)1/2 (artanhx)'=1/(x2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x2)1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x2)1/2) (ex)' = ex； (ax)' = axlna (Inx)' = 1/x (logax)' =(xlna)(-1),(a>0且a不等于1) (x1/2)'=2(x1/2)(-1) (1/x)'=-x(-2) 导数的应用: 1函数的单调性 (1)利用导数的符号判断函数的增减性 利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想 一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减 如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数 注意：在某个区间内，f'(x)是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)0。 (2)求函数单调区间的步骤解出相应的x的范围当f'(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数 2函数的极值 (1)函数的极值的判定 如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点； 如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值. 3求函数极值的步骤 确定函数的定义域； 求导数； 在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根； 检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值 4函数的最值 (1)如果f(x)在a,b上的最大值是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值同时是个极大值，它是f(x)在(a，b)内所有的极大值中最大的，但是最值也可能在a，b的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念 (2)求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 5生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题解决这些问题具有非常现实的意义这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大值问题 二、高考关于导数的出题入手点是什么? 1.单调性问题 研究函数的单调性问题是导数的一个主要应用，解决单调性、参数的范围等问题，需要解导函数不等式，这类问题常常涉及解含参数的不等式或含参数的不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解。由于函数的表达式常常含有参数，所以在研究函数的单调性时要注意对参数的分类讨论和函数的定义域。 2.极值问题 求函数y=f(x)的极值时，要特别注意f'(x0)=0只是函数在x=x0有极值的必要条件，只有当f'(x0)=0且在xx0 时，f'(x0)异号，才是函数y=f(x)有极值的充要条件，此外，当函数在x=x0处没有导数时，在 x=x0处也可能有极值，例如函数 f(x)=|x|在x=0时没有导数，但是，在x=0处，函数f(x)=|x|有极小值。 还要注意的是，函数在x=x0有极值，必须是x=x0是方程f'(x)=0的根，但不是二重根(或2k重根)，此外，在确定极值点时，要注意，由f'(x)=0所求的驻点是否在函数的定义域内。 3.切线问题 曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，切线与曲线的综合，可以出现多种变化，在解题时，要抓住切线方程的建立，切线与曲线的位置关系展开推理，发展理性思维。关于切线方程问题有下列几点要注意： (1)求切线方程时，要注意直线在某点相切还是切线过某点，因此在求切线方程时，除明确指出某点是切点之外，一定要设出切点，再求切线方程； (2) 和曲线只有一个公共点的直线不一定是切线，反之，切线不一定和曲线只有一个公共点，因此，切线不一定在曲线的同侧，也可能有的切线穿过曲线； (3) 两条曲线的公切线有两种可能，一种是有公共切点，这类公切线的特点是在切点的函数值相等，导数值相等；另一种是没有公共切点，这类公切线的特点是分别求出两条曲线的各自切线，这两条切线重合。 4.函数零点问题 函数的零点即曲线与x轴的交点，零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时要用图像帮助思考，研究函数的极值点相对于x轴的位置，和函数的单调性。 5.不等式的证明问题 证明不等式f(x)g(x)在区间D上成立，等价于函数f(x)-g(x)在区间D上的最小值等于零；而证明不等式f(x)>g(x) 在区间D上成立，等价于函数f(x)-g(x)在区间D上的最小值大于零，或者证明f(x)ming(x)max、 f(x)min>g(x)max。因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最大(小)值问题。