求不定积分的方法及技巧小汇总.docx
求不定积分的方法及技巧小汇总求不定积分的方法及技巧小汇总 1.利用基本公式。 2.第一类换元法。 设f()具有原函数F()。则 òfj(x)×j'(x)dx=òfj(x)dj(x)=Fj(x)+C 其中j(x)可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：òln(x+1)-lnxdx x(x+1)111 -=-x+1xx(x+1)(ln(x+1)-lnx)'=ln(x+1)-lnx12dx=-(ln(x+1)-lnx)d(ln(x+1)-lnx)=-(ln(x+1)-lnx)+Còx(x+1)ò2例2：ò1+lnxdx (xlnx)2(xlnx)'=1+lnx 1+lnxdxlnx1dx=-òx(x+1)2ò(xlnx)2xlnx+C 3.第二类换元法： 设x=j(t)是单调、可导的函数，并且j'(t)¹0.又设fj(t)j'(t)具有原函数，则有换元公式 òf(x)dx=òfj(t)j'(t)dt 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种： (1)a2-x2：x=asint；x=acost(2)x2+a2：x=atant；x=acott；x=asht (3)x2-a2：x=asect；x=acsct；x=achtn(4)nax+b：ax+b=t(5)nax+bnax+b：=tcx+dcx+d1(6)当被积函数含有x×max2+bx+c，有时倒代换x=也奏效。t4.分部积分法. 公式：òmdn=mn-òmdn 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取m、n时，通常基于以下两点考虑： 降低多项式部分的系数 简化被积函数的类型 举两个例子吧！ 例3：òx3×arccosx1-x2dx 观察被积函数，选取变换t=arccosx,则 òx3arccosx1-x2cos3tdx=òt(-sint)dt=ò-tcos3tdt= sint132t(sint-1)dsint=td(òò3sint-sint)=11tsin3-tsint-ò(sin3t-sint)dt=3311 tsin3-tsint+ò(sin2t-1)dcost=33121tsin3-tsint-cost-cos3t+C=339121-x3-x-(x2+2)1-x2arccosx+C933例4：òarcsin2xdx 22arcsinxdx=xsinx-òx2arcsinxò11-x2dxxarcsinx+ò2arcsinxd1-x2=xarcsinx+21-x2arcsinx-ò1-x2xarcsinx+21-x2arcsinx-2x+C21-x2dx= 上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在òmdn=mn-òmdn中，m、n的选取有下面简单的规律： (1)m=Pm(x)，n=eax,sinax,cosax(2)m=lnx,arctanx,arcsinx，n=Pm(x)(3)m=e，n=cosbx,sinbxax(3)会出现循环，注意m，n选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是： Pm(x) 情况，有两个通用公式： eaxI1=òesinbx×dx=2(asinbx-bcosbx)+Ca+b2 eaxaxI2=òecosbx×dx=2(acosbx+bsinbx)+Ca+b2ax5.几种特殊类型函数的积分。 有理函数的积分 有理函数P(x)P*(x)P*(x)先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干Q(x)Q(x)Q(x)dx(a2+x2)n个部分分式之和。 222n-122a(n-1)(x+a)2a(n-1)x6+x4-4x2-2dx 例5：ò322x(x+1)x6+x4-4x2-2x6+x44x2+2x4x2+2=32-=- x3(x2+1)2x(x+1)2x3(x2+1)2x2+1x3(x2+1)2x12dx=òx2+12ln(x+1)+C 2224x+24x+22x+122dx=xdx=dxm=xòx3(x2+1)2òx4(x2+1)2òx4(x2+1)22m+1(m+1)2-m2òm2(m+1)2dm=òm2(m+1)2dm=11111(-)dm=-+C=-+Còm2(m+1)2m+1mx2(x2+1)故不定积分求得。 三角函数有理式的积分 xì2tanï2ïsinx=xï1+tan2ï2 万能公式：íxï1-tan22ïcosx=ï2x1+tanï2îP(sinx,cosx)xdx可用变换t=tan化为有理函数的积分，但由于计算较烦，òQ(sinx,cosx)2应尽量避免。 对于只含有tanx的分式，必化成sinxcosx。再用待定系数 或cosxsinxA(acosx+bsinx)+B(acos'x+bsin'x)来做。 acosx+bsinx简单无理函数的积分 一般用第二类换元法中的那些变换形式。 像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x和1+x时，可令x=tan2t；x时，可令同时出现x和1-x时，可令x=sin2t；同时出现1-x2和arcsinx=sint；同时出现1-x2和arccosx时，可令x=cost等等。
