求an=pan1+q型数列通项公式的方法.docx

求an=pan1+q型数列通项公式的方法求an=pan1+q型数列通项公式的方法 武进横山桥高级中学 许光健 关键词： 等差数列 等比数列 递推公式 通项公式 化归 待定系数法 摘要： 上篇解决了几种如何由an=pan+q型递推公式求数列an的通项公式的方法按p，q的不同取值情况分别给出了讨论还给出了由与之类似的几种递推公式求通项公式的方法这里主要是通过化归的思想，待定系数等方法来解决本篇再来探讨由an=an+f(n)，an=f(n)an，an=pan+f(n)型的递推公式求通项公式的方法 正文： 上篇给出了由an=pan+q型递推公式求数列an的通项公式的方法，下面再研究几种类似的题型： 1an=an+f 对于形如an+1=an+f(n)型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加即可得到通项公式。 这种类型是由an=an+q型将其中的q换为f而引申得到的，这种类型可以采用求等差数列通项公式的叠加法得到： a2=a 1+f， a3=a 2+f， a4=a 3+f， an=an+f 将式子叠加得： nan=a 1+ åf i=2这里将问题转化为求åf，特别地，若f是表示等差或等比数列i=2n时，即求数列的前n项和 例如1：若在数列an中，a1=3，an+1=an+n，求通项an。 解析：由an+1=an+n得an+1-an=n，所以 an-an-1=n-1，an-1-an-2=n-2，a2-a1=1， 将以上各式相加得：an-a1=(n-1)+(n-2)+×××+1，又a1=3 n(n-1)+322an= fan 所以 an=对于形如an+1=f(n)an型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相乘即可得到通项公式。 这种类型是由an=pan型将其中的p换为f而引申得到的，这种类型可以采用求等比数列通项公式的思想得到： a 2=fa 1 a 3= fa 2 a 4= fa 3 an= fan 将式子叠乘得： nan=a 1 Õf i=2这里将问题转化为求Õf i=2n例如2.在数列an中，a1=1，an+1=2nan，求通项an。 解析：由已知an+1aaa=2n，n=2n-1，n-1=2n-2，2=2，又a1=1， anan-1an-2a1n(n-1)anan-1a2n-1n-2所以an=×a1=2×2××2×1=22 ××an-1an-2a13an=pan+f其中p1 这种类型是由an=pan+q，p1将其中的q换成f得到的这里我们可以在两边同除以pn得： anan-1f(n)=+n， pnpn-1p记：bnan，则转化为类型1来求解 np最后，an= fan+q型和an= fang型的通项公式还未发现初等的一般解法，也在这里提一下，希望读者给予解决 参考文献: 初等数学研究教程 葛军 涂荣豹 编著 数学(必修) 人民教育出版