毕业论文数列求和问题的探讨.docx

毕业论文数列求和问题的探讨数列求和问题的探讨 数列求和问题是数列的基本内容之一，由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧逐一探讨。本文将用一些较为简单和具代表性的例子，探讨将数列求和的方法和技巧渗透、融合，实现方法与内容的整合实践，阐述数列求和中一些具体方法与思想。 数列求和 通项公式 方法 一、数列求和的思路 数列是数学的重点内容之一，而数列求和是数列中较难的一个问题，技巧性强，覆盖面广，而且能有效地测试学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题的能力。数列求和是一个较复杂的数学问题，因此必须挖掘题设条件，从中发现规律，顺利完成求和问题。等比、等差数列前n 项和可以直接用通项公式求和；非等比、等差数列前n项求和的关键是从通项出发，分析其结构特征，若问题能转化为等差 数列或等比数列求和的问题，则有基本求和公式可用，或变换通项，经过裂相等方法消去中间相，达到求和的目的；若通项是项数n 的一次、二次、三次多项式的 形式，则可以转化为正整数平方数列、立方数列进行求和。 二、探究数列求和的方法 1. 公式求和法 - 1 - 如果给定的数列是由等差数列、等比数列、一些已知求和公式的特殊数列或这些数列通过和的形式组成，其前n项和可用已知公式直接求得。 1、等差数列求和公式：Sn=n(a1+an)n(n-1)=na1+d 22(q=1)ìna1n2、等比数列求和公式：Sn=ï ía1(1-q)=a1-anq(q¹1)ï1-qî1-q3、Sn=åk=n(n+1) k=1nn124、Sn=åk2=n(n+1)(2n+1) k=1n165、Sn=åk3=n(n+1)2 k=112例1、已知an是一个首项为a，公比为q(0<q£1)的等比数列，求Sn=a12+a22+a32+an2(nÎN*) n-12ana2q2(n+1)-2+1，2=22n-2=q2 anaq解：由已知得an=aq an2是首项为a2，公比为q2的等比数列。 22当q=1时，Sn=a12+a2+an=na2. a121-(q2)na2(1-q2n)当q¹1时，Sn= =1-q21-q2例2、已知数列an为等差数列，且ap=，aq=，求Sp+q。 11-ap-aqqp1解：数列an为等差数列，公差d= p-qpqp-q1q1pap=a1+(p-1)11111= a1=-(p-1)= pqqqpqpq由等差数列求和公式，得 - 2 - Sp+q=a1(p+q)+(p+q)(p+q-1)×21(p+q)(p+q+1) =pq2pq例3、已知等差数列an中，a2=9,a5=21,bn=2an，求数列bn的前n项和. 解：设等差数列的公差为d，则d=a5-a221-9=4， 5-23所以an=a2+(n-2)d=9+4(n-2)=4n+1.由bn=2an得bn=24n+1， 故数列bn是以首项为b1=25，公比为2的等比数列. 4于是得数列bn的前n项和Sn=2、错位相减法 求数列an×bn和í4n25×é1-(2)ùëû1-24=32(24n-1)15. ìanü数列an，bn分别为等差与等比数列.ý的前n项和，îbnþ求和时在求式的两边承以公比q后，与原数列的和作差，即Sn-qSn，然后求Sn即可. 例1、求数列，123n，的前n项和Sn。 2222n23123n-1n解：Sn=+2+3+n-1+n 222221作辅助数列：上式两边同时乘以 21123n-1nSn=2+3+4+n+n+1 222222于是-，得 112132nn-1nSn=+-n+1 222222222111111nSn=+2+3+4+n-n+1 2222222Sn-1æ1öç1-n÷n1n22ø=è-n+1=1-n-n+1 12221-2 - 3 - Sn=2-12n-1-n n23572n+1+×××+ 222222n3572n+1解：Sn=+2+2+×××+n， 222213572n+1Sn=2+3+4+×××+n+1， 22222例2、求和Sn=+-，得 132222n+1Sn=+2+3+×××+n-n+1 222222312n+1 =+(1-n-1)-n+1 222512n+1 =-n-1-n+1. 22212n+12n+5故Sn=5-n-2-n=5-n. 2223、倒序相加法 倒序相加是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法。它是由高斯求和法而来，如果数列an的任意第K项与倒数第K项之和等于首项与末项之和，由此启发出求一类一般数列前n 项和的方法。即将数列反序，再把正序与倒序对应项相加，使相加后的数列为一个简单数列，化繁为简，化未知为已知，达到求和的目的。 例1、已知Sn=sin21+sin22+.+sin289，求Sn 解：Sn=sin21+sin22+.+sin289 Sn=sin289+sin288+.+sin21 +得2Sn=89，所以Sn=44.5. 4、分组求和法 - 4 - 有一类数列，既不是等差数列或等比数列，也不是易求和数列，但可以“转化”为这类数列来求和。其通项是几项等差数列、等比数列或易求和数列通项的和式。若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比、常见易求和的数列，然后通过重新组合的方法，使其转化为几个等差数列、等比数列，或转化为易求和数列的前n项求和，再将其合并，即可求出原数列的前n项和，以达到目的。 例1、已知数列an中的相邻两项a2k-1,a2k是关于x的方x2-(3k+2k)x+3k×2k=0的两根，且a2k-1£a2k(k=1,2,3,.). 求a1,a3,a5,a7； 求数列an的前2n项和S2n. 解：方程x2-(3k+2k)x+3k×2k=0的两根为x1=3k,x2=2k. 当k=1时，x1=3,x2=2，所以a1=2； 当k=2时，x1=6,x2=4，所以a3=4； 当k=3时，x1=9,x2=8，所以a5=8； 当k=4时，x1=12,x2=16，所以a7=12. 因为a2k-1+a2k=3k+2k(kÎN*). 3n2+3nn+1所以S2n=å3k+2=(3+6+.+3n)+(2+2+.+2)=+2-2. 2k=1nk2n五、裂项相消法 如果一个数列an的通项能拆成两项之差，即an的每一项都可按此法化为某两项之差，然后重新组合，在求和时可以将一些正负项相互抵消，采用对消的方法求出到求和的目的。使用此法，可使解题达到事半功倍的效果。 - 5 - 常用的裂项相消变换有： 分式裂项： 11æ11ö=ç-÷； n(n+p)pènn+pøù11é11=- ú. n(n+1)(n+2)2ên(n+1)(n+1)(n+2)ëû根式裂项：1n+n+p=1p(n+p-n. )对数式裂项：lgn+p=lg(n+p)-lgn. n指数式裂项：aqn=aqn-qn+1)(q¹0且q¹1). (1-qtan(n+2)-tan(n+1)-1. tan1正切差角公式裂项：tan(n+1)×tan(n+2)=例1、求数列1111，的前n项和Sn。 2·33·41·2n·(n+1)111=- n·(n+1)nn+1解：an= Sn= 1111+ 1·22·33·4n·(n+1)121n1 n+11113341n=1-= n+1n+1=1-+-+-+-12例2、求数列11+2,12+31,×××,1n+n+1,×××的前n项和. 解：设an=则Sn=11+2+1n+n+1+×××+=n+1-n 1n+n+12+3 (2-1)+(3-2)+×××+(n+1-n) n+1-1 - 6 - 例3、在数列an中，an=的前n项的和. 12n2+×××+，又bn=，求数列bnn+1n+1n+1an×an+112nn+×××+= n+1n+1n+12211 bn=8(-) nn+1nn+1×22解： an= 数列bn的前n项和 1111111Sn=8(1-)+(-)+(-)+×××+(-) 22334nn+118n) 8(1- n+1n+1六、累加法 针对某一类数列求和的问题，需要先引进一个恒等式，再通过把几个等式累加，可达到目的。一般引用的恒等式比数列通项高一次方，且是两个连续自然数的一定次方的差，列出含有通项的几个恒等式，通过迭加消去中间某些项，最后求得和式的一种方法。 例4：求数列12，22，32，n2的前n项和Sn。 解：3=n3+3n2+3n+1 3-n3=3n2+3n+1 23-13=3×12+3×1+1 33-23=3×22+3×2+1 43-33=3×32+3×3+1 3-n3=3n2+3n+1 把上面各等式两边分别相加，得 3-13=3+3+n 3=3-13-3×n(n+1)1-n=n(n+1)(2n+1) 26 - 7 - Sn=n(n+1)(2n+1) 16七、合并求和法 有些数列可以根据数列的特点，合理合并，从而简化运算。对一些特殊的数列，若将相邻两项或某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，或呈现出一定的规律，则在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先配对求和，得到一个新的容易求和的数列，然后再求 。 例1、求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 解：设Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° cosno=-cos(180o-no) Sn+···+ cos90° 0 三、总结 1、本文仅介绍了几种常见类型的数列求和法，更一般的数列求和问题需要在掌握基本方法的基础上进行更进一步的探讨： 公式求和法 错位相减法 倒序相加法 分组求和法 裂项相消法 累加法 - 8 - 合并求和法 这些方法的基本思路在于给定的数列转化为若干个等差数列或等比数列，以便应用等差数列和等比数列的求和公式，各个方法之巧妙在于针对给定数列的特点实现上述转化。当然，数列求和的方法还远远不止这些，其它方法在遇到实际问题时，再加以总结。 2、数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。数列的求和问题，关键在于认清数列的类型，究竟是最基本的等差数列或等比数列的求和，还是可转化的数列求和，认清楚以后再加上适当的方法。接具体问题时， 要具体分析，合理选择其中一种方法灵活运用。 参考文献 1李庆社.浅谈函数解析式的求法.中学生数理化.2005(5):8-9. 2刘诗雄、罗森元.初中数学竞赛跟踪辅导，华中师范大学出版社.1992:35. 3余元希,田万海,毛宏德.初等代数研究，高等教育出版社.1998:9-18. - 9 -