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毕业论文浅谈无穷级数的求和浅谈无穷级数的求和 Investigate of the summation of infinite series 专 业: 数学与应用数学 作 者: 指导老师: 学校 二一 摘 要 本文介绍了运用裂项相消, 错位相减, 逐项微分, 逐项积分, 运用特殊级数的和这几种方法求级数的和, 并通过实例说明了这些方法的应用. 关键词: 级数; 求和; 幂级数; 傅里叶级数 I Abstract In this paper, we discuss the methods of the summation substraction by partition terms or misplace, differentiation term by term, integration term by term and the summation of the special series. Some examples are illustrated to the applications of these methods. Keywords: series; summation; power series; Fourier series II 目 录 摘 要 . I ABSTRACT . II 0 引言 . 1 1 裂项相消法 . 1 2 错位相减法 . 2 3 逐项微分法 . 6 4 逐项积分法 . 8 5 运用特殊级数的和求和法 . 9 参考文献 . 13 0 引言 无穷级数(简称级数)是高等数学的一个重要组成部分. 它是表示函数, 研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具. 众所周知, 收敛级数都有和, 然而求出收敛级数的和常常是较困难的. 因此, 本文将讨论运用裂项相消, 错位相减, 逐项微分, 逐项积分, 运用特殊级数的和来求级数的和, 并通过实例说明了这些方法的应用. 为行文的简洁, 本文中未特别申明的符号与文献1一致. 1 裂项相消法 设åun, un=vn+1-vn, 则åun的部分和为 n=1n=1¥¥sn=vn+1-v1. 若 limvn+1=A, 则 n®¥limsn=A-v1. n®¥也就是说åun的和为 A-v1. n=1¥我们称上述求级数和的方法为裂项相消法. 利用裂项相消法求级数的和, 关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式, 通常经过变形, 有理化分子或分母, 三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的. 以下用具体例子来进行说明. 例1 求无穷级数å解 因为 1111=(-), n(n+2)2nn+21的和. n=1n(n+2)¥所以 1111111111Sn=(1-)+(-)+×××+(-)=(1+-), 2324nn+222n+1n+2于是 第1页, 共13页 S=limSn=n®¥11113(1+-)=. 22n+1n+24所以 13=. n=1n(n+2)4å¥如果一个级数的通项是一个三角函数式, 则可考虑利用三角函数公式, 将其化简为两式之差以便运用裂项相消法. 例2 求级数 åarctann=0¥1 的和. 1+n+n2解 先考虑变换问题的数学形式, 由 arctan1(k+1)-k=arctan, 1+k+k21+(k+1)k联想到正切的差角公式 tan(a-b)=tana-tanb, 1+tanatanb再设 tana=k+1,b=k, 则原级数的部分和为 111Sn=arctan1+arctan+arctan+×××+arctan371+n+n2=arctan1+(arctan2-arctan1)+(arctan3-arctan2)+××× +arctann-arctan(n-1)+arctan(n+1)-arctann=arctan(n+1),所以 n=0åarctan¥1p=limS=limarctan(n+1)=. nn®¥1+n+n2n®¥2如果一个级数的通项是一个分母为若干根式之积的分式, 则可考虑将其分母或分子有理化以便运用裂项相消法. 例3 求和å¥n=11. n(n+1)(nn+1)解 先对通项分母中的和式进行有理化, 得 1n+1-n11, =-n(n+1)(nn+1)n(n+1)nn+1于是, 有 第2页, 共13页 1111111)+(-)+×××+(-)+(-) 223n-1nnn+1Sn=(1- =1-所以 1n+1, n=1å¥11=limSn=lim(1-)=1. n®¥n®¥n(n+1)(nn+1)n+12 错位相减法 设un为等差数列, 公差为d, vn为等比数列, 公比为q, 则称åunvn为混合级数,这n=0¥类级数的求和问题一般采用错位相减法. 事实上, 设 Sn=u1v1+u2v2+u3v3+×××+unvn, (1) 两边同时乘以公比q得 qSn=u1v1q+u2v2q+u3v3q+×××+unvn, 即 qSn=u1v2+u2v3+u3v4+×××+un-1vn+unvn+1, (2) (5)式减去(6)式得 (1-q)Sn=u1v1+d(v2+v3+×××+vn)-unvn+1, S=limSn=limn®¥1u1v1+d(v2+v3+×××+vn)-unvn+1. n®¥1-q 我们这种求级数和的方法为错位相减法. 例4 求级数å解 因为 Sn=1+23n+2+×××+n-1, (3) 333第3页, 共13页 ¥n3n-1的和. n=11123nSn=+2+3+×××+n, (4) 33333(7)式减去(8)得 121111nSn-Sn=Sn=1+2+3+×××+n-1+n, 3333333即 1)n3n31n3Sn=-n=(1-n)-n, 1232331-3(1-于是 231n3limSn=lim(1-n)-n=, n®¥3n®¥2332¥339n9所以 limSn=´=, 故 ån-1=. n®¥n=1322443 逐项微分法 定理1 若在a,b上, åun(x)的每一项都具有连续导数un'(x)一致收敛于d(x), n=12¥又åun(x)收敛于S(x), 则S'(x)=d(x), 即 n=1¥d¥du(x)=un(x), ååndxn=1n=1dx¥¥且åun(x)一致收敛于S(x). n=1这定理说明了和号同求导运算可以交换, 它也称为逐项微分的定理. 但要注意的是, 仅仅在条件“åun(x)一致收敛”之下, 即使un'(x)存在且连续, 也不能保证和号同n=1¥求导数号可以交换. x3x5x7例5 求级数x-+-+×××(x£1)的和. 357x3x5x7解 令F(x)=x-+-+L, 357第4页, 共13页 在收敛域-1,1内逐项微分, 得 F'(x)=1-x2+x4-x6+×××=1. 1+x2注意到F(0)=0, 所以 F(x)=òdt=arctanx, 01+t2x于是当x£1时, 有 x3x5x7x-+-+×××=arctanx. 357111+×××的和. 例6 求级数1-+-×××+(-1)n-1352n-1解 令 111S(x)=x-x3+x5-×××+(-1)n-1x2n-1+×××, 352n-1逐项求导得 1S'(x)=1-x2+x4-×××+(-1)n-1x2n-3+×××=, 1+x2所以 xx1S(x)=òS'(x)dx=òdx=arctanx. 001+x2因为级数å(-1)n=1¥n-11x2n-1在x=1处收敛, 所以 2n-1S(1)=arctan1=p4, 即 111p1-+-×××+(-1)n-1+×××=. 352n-14x2n+1例7 求级数å的和函数. n=0(2n+1)!¥解 该级数的收敛区间为(-¥，+¥), 令 x2n+1x3x5y(x)=å=1+×××, n=0(2n+10)!3!5!¥x2nx2x4y'(x)=å=1+×××, n=02n!2!4!¥第5页, 共13页 所以 x2x3x4y(x)+y'(x)=1+x+×××=ex, 2!3!4!即y(x)满足微分方程y(x)+y'(x)=ex, 此方程为一阶线性微分方程，其通解为 y(x)=¥1xe+ce-x. 2(n-1)!2例8 求幂级数å(2x)2n(x<1)的和. (2n)!n=1解 在 x<1 上对S(x)逐项求导, 可知 (n-1)!2S'(x)=2å(2x)2n-1, n=1(2n-1)!¥(n-1)!24å(2x)2n-2. n=1(2n-2)!¥由此可得 (1-x2)S''(x)-xS'(x)=4. 在这两端乘以 (1-x2)-12, 我们有 (1-x2S'(x)'=41-x2,x<1, 解得 S(x)=4arcsinx1-x2+11-x2(x<1). 4 逐项积分法 定理2续, 则 2 设åun(x)在a,b上一致收敛于S(x), 并且每一un(x)都在a,b上连n=1¥åòn=1¥baux(x)dx=òS(x)dx=òabb¥aåu(x)dx, nn=1¥xa亦即和号可以与积分号交换. 又在a,b上, 函数项级数åòun(t)dt也一致收敛于n=1第6页, 共13页 òxaS(t)dt. 该定理也称为逐项积分定理. 例9 求级数x+2x2+3x3+4x4+×××(x<1)的和. 解 令F(x)=x+2x2+3x3+4x4+×××, 其收敛域为(-1,1), 在收敛域内逐项积分, 得 òx0F(t)dt=122334x+x+x+×××234111=(1-)x2+(1-)x3+(1-)x4+×××234111=(x+x2+x3+x4+×××)-(x+x2+x3+x4+×××)234x=+ln(1-x)，1-x其中x<1, 于是 xxF(x)=ånxn=+ln(1-x)'=,x<1. n=11-x(1-x)2¥例10 求下列级数的和S(x) (2x)4n+1(1) S(x)=ån=04n+1¥¥1(-x)n(x<); (2) S(x)=å2n=02n+1(x<1). 解 (1) 在 x<1 上对S(x)作逐项积分, 可知 2S(x)=åòtn=00¥2x4ndt=ò2x¥0åt4ndt=òn=0111+2x=arctan(2x)+ln241-2xdt01-t4 1(x<).22x (2) 对 0<x<1, 令 x=t2, 有 tt2n1¥S(t)=å(-1)=å(-1)nòx2ndt02n+1tn=0n=01t¥1tdt=ò(å(-1)2nx2n)dt=ò 200tt1+xn=0arctant=.t2¥n第7页, 共13页 由此知 S(x)=arctanxx. 对 -1<x<0, 令 x=-t2, 有 t2n1t¥2n1tdt11+t, S(-t)=å=òåxdx=ò=ln001-x22n+1tt2t1-tn=0n=02¥由此可得 S(x)= 12xln1+x. 1-x5 运用特殊级数的和求和法 这种方法的基本思想是: 将待求和的级数用一些已知级数来表示, 通过代入已知级数求得待求级数的和. 以下运用例子来说明该方法. 例11 求S=1234-+-+×××. 2×3×43×4×84×5×165×6×32解 原式可以用级数表示如下 S=å(-1)n+1k=1nnn1×n+1. (n+1)(n+2)2考虑级数å(-1)n+1k=11n×xn+1, 其收敛半径为1, 故当x=时收敛, 设其和函数2(n+1)(n+2)为f(x), 下面在区间(0,1)内求f(x). 由于 n21=-, (n+1)(n+2)n+2n+1所以 n+12xn+1¥xn+1f(x)=å(-1)-å(-1)n=1n+2n-1n+1n+1n+1¥2¥xn+2xn+1=å(-1)+å(-1)xn=1n+2n-1n+1¥n+12x=ln(1+x)-x+ln(1+x)-xx22=(1+)ln(1+x)-2,x2第8页, 共13页 令x=113, 即得S=f=5ln-2. 222111111例12 (1)求级数(+)+(+)+(+)+×××的和; 2346812¥11(2)求级数å(n+n)的和. n=123解 (1) 由于 11111111Sn=(+)+(+)+×××+n-1+n-12346223211111111=+×××n-1+×××n-12422363211 1-n1-n11=×2+×221-131-122121=1-n+(1-n),232所以 S=Sn=lim1-n®¥1215+(1-)=, 2n32n3故 11115(+)+(+)+×××=. 23463(2) 因为 111111Sn=(+)+(2+2)+×××+(n+n) 232323111111 =(+2+×××+n)(+2+×××+n) 2223331111(1-n)(1-n)3, 2+3 =2111-1-23¥13113所以lim=1+=, 从而å(n+n)=. n®¥n=122232例13 求下列级数的和: (1)å¥n2n-1n=1; (2)å¥n+2. n=1(n+1)!¥解 (1)由于ånxn-1=n=11,(1-x)2(x<1), 令 1111111-+-+-+×××+f(x)=x=, 571113172第9页, 共13页 得å¥n2n-1的和, 因此 ¥n1ån-1=ånn=12n=12¥n-1n=1=1(1-x)2x=12=4. x2xn(2)由于当-¥<x<+¥时, 有 e=1+x+×××+×××, 故令x=1即得 2!n!xe=1+1+11+×××+×××, 2!n!于是有 ¥(n+1)+1¥1¥n+21=å=å+å n=1(n+1)!n=1(n+1)!n=1n!n=1(n+1)!å¥=(e-1)+(e-2)=2e-3. 例14 求下列常数项级数之和: 1111(1) 1-+-+-××× 3579111111(2) 1+-+-××× 3579111311111(3) 1-+-+-+×××. 57111317p解 将f(x)=在0,p内展开为正弦级数有 4an=0,n=(1,2,3,×××), 2p0bn=所以 pòpì1ïsinnxdx=ín4ïî0(n为奇数)(n为偶数), 11=sinx+sin3x+×××+sin(2n-1)x+×××(0£x£p). 432n-1p1111p(1) 当x=时, 有1-+-+-×××=. 235794f(x)=p(2) 当x=p1111112p. 时, 有1+-+-×××=4357911134111113p. 时, 有1-+-+-+×××=3571113176(3) 当x=p第10页, 共13页 例15 求1+111+2+2+×××的和. 2357解 将函数x在-p,p上展成傅里叶级数得 x=p2-4p(cosx+cos3xcos5x+×××),xÎ-p,p. 3252111p2令x=p, 则1+2+2+2+×××=. 3578例16 求和åixcosnx. n=0n!¥zn=eZ. 因为 解 令 z=e, 则ån=0n!¥¥sinnxzn¥cosnx=å+iå,eZ=ecosxéåëcos(sinx)+isin(sinx)ùû, n=0n!n=0n=0n!n!¥按实部和虚部分别相等的关系, 即得 cosnx=ecosxcos(sinx),(-¥,+¥). n=0n!å¥利用四则运算等将所给级数转化为S(x)代数方程再求解, 这种思维方式和求解方法与错位相减法类似, 只不过在错位相减法中两边同乘的是等比级数的公比q, 在这里则需依具体情况而定, 同乘以关于x的某个代数式再两式相减以得化简. 例17 求级数ånx2n的和. n=1¥解 因为该级数的收敛半径 R=liman=1, an+1n®¥又因为当x=±1时，该级数发散，所以级数收敛域为(-1,1). 设ånx2n=S(x), 则 n=1¥S(x)=x2+2x4+3x6+×××+nxn+××× , (5) x2S(x)=x4+2x6+3x8+×××+nxn+2+×××, (6) (9)式减去(10)得 x2(1-x)S(x)=x+x+x+x+×××=1-x2, 22468第11页, 共13页 故 S(x)=x2(1-x)22,xÎ(-1,1). 转化为微分方程求解, 即研究它的导数或其与它本身有何特点及相关联系, 看其是否满足某微分方程及定解条件. 找出求和级数所满足的微分方程及定解条件, 再解该方程. 致谢 本文是在, 在此对涂老师表示衷心的感谢! 第12页, 共13页 的指导和帮助下完成的 参考文献 1 刘玉琏. 数学分析讲义(下册)M, 北京: 高等教育出版社, 2003. 2 陈传璋. 数学分析讲义下册J, 北京: 高等教育出版社， 2004. 3 张春平. 无穷级数的求和探讨J, 沈阳师范大学学报, (3) 2008, 20-21. 4 郑春雨. 数项级数和的求法例谈J, 海南广播电视大学学报, (3)2006, 96-97. 5 蔡炯辉. 胡晓敏, 收敛级数求和的初等方法J, 玉溪师范学院院报, (6)2006, 95-98. 6 华东师范大学数学系, 数学分析下册(第三版)M, 北京:高等教育出版社, 2003. 7 汪晓勤, 韩祥临. 中学数学中的数学史M, 北京: 科学出版社, 2002. 8 同济大学数学教研室, 高等数学(下册), 北京: 高等教育出版社, 1996. 9 宣立新主编. 高等教育(上、下册), 北京: 高等教育出版社, 2000. 10 高建福. 无穷级数与连分数M, 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2007, 43. 11 朱文辉, 张亭. p级数的求和J, 大学数学, (3) 2005, 114-116 12 R.R. 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