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毕业论文关于不等式的证明摘要 关于不等式的证明 专 业： 学 号： 学生姓名： 指导教师： 摘要 本文主要针对一些常规不等式的证明和应用来进行列举说明，相应地使用一些常用的重要不等式以及特征不等式，来对不等式加以证明。本文首先说明了不等式证明中一些常用的方法，并穿插各种方法对应的简单应用，如比较法，分析法等方法的简要概述，也有比较全面的微积分、概率论知识、詹森不等式和柯西不等式在不等式的证明中的应用。 关键词：方法；不等式；不等式的证明 I Abstract On the proof of inequality Abstract The thesis on mainly for the proof and application of some conventional inequality for simple examples, applying some important inequality and characteristic inequality, to the proof of inequalities. In this paper, some common methods of inequality proving are given, and the simple application of different methods, the comparison method and the method of analysis are briefly summarized. There are also more general application of inequality in different and integral calculus, theory of probability , Jensen inequality and the Cauchy inequality . Keywords: method; inequality; inequality proof II 目录 目 录 摘要 . I Abstract . II 第一章 绪论 . 1 1.1 选题背景和意义. 1 1.2 研究方法及思路. 1 第二章 不等式的证明方法和应用 . 2 2.1 方法综述. 2 2.2 比较法 . 2 2.2.1 作差法. 2 2.2.2 作商法. 2 2.3 综合法和分析法. 2 2.4 反证法及其应用. 3 2.5 放缩法及其应用. 3 2.6 数学归纳法及其应用 . 4 2.7 换元法及其应用. 5 2.8 构造法及其简单应用 . 6 2.8.1 构造函数 . 6 2.8.2 构造复数 . 6 2.8.3 构造方程 . 6 2.9 判别式法及其应用 . 7 2.10 函数单调性. 7 III 目录 2.10.1 单调性直接证明. 7 2.10.2 最值证不等式 . 8 第三章 高等教育中不等式的证明 . 10 3.1 高等教育中不等式证明和方法. 10 3.2 中值定理的应用. 10 3.3 凹凸函数及其应用 . 11 3.3.1 凹凸函数 . 11 3.3.2 詹森不等式及其应用. 11 3.4 积分类不等式证明 . 12 3.4.1 一般解法 . 12 3.4.2 一题多解法 . 13 3.5 概率论理论及其应用 . 14 3.5.1 基本必备理论及其应用 . 14 3.5.2 切比雪夫不等式及其应用 . 15 3.6 赫尔德不等式及其推广. 16 3.6.1 赫尔德不等式 . 16 3.6.2 柯西不等式 . 17 3.7 级数证明不等式. 18 总 结. 19 参考文献 . 20 致 谢. 21 IV Xx大学毕业论文 第一章 绪论 1.1选题背景和意义 数学，作为中国古人必不可少的六艺之一，已经深入到人们日常生活之中。数学历史悠久，中国历史上就出现过九章算术之类的书籍，世界上其他的国家的人们对数学也是如痴如醉，研究数学对他们来说是生在这个世界的唯一价值。16世纪的时候，初等数学的发展开创了新时代，大体上来说已经完备。17世纪以后又腾空出世变量概念，而在研究经典力学的过程之中，牛顿和莱布尼茨对微积分的各自独家研究和应用，使得数学产生了革命性的历史意义。 随着自然科学和技术的进步，数学得到了长足发展，集合论和数理逻辑等也开始研究基础数学。人类对数学的研究已经完成从算数的思考到应用数学的蜕变，研究的领域自然被逐级细分开来。 数学作为使用早、用途广的学科，给人类的生活带来了便利，同时从无数字时代跨入数学数字历史长河。数学的研究也是逐步的发展，全人类为了从数学中得到突破，尝试了各个领域的研究，而研究的前提是人们必须要有所假设，或者是根据相关理论和自身思维提前进行数学猜想。从而，证明其假设或猜想就成为了主题。本文从不等式的证明分支来进行阐述和分析，列举出不同不等式不同的证明方法，培养证明不可少的逻辑思维。 1.2 研究方法及思路 通过查阅大量相应的资料，及其相关的调查，熟悉不等式证明的模式和规则，也对证明方法按照我们所学的相关数学知识的时间先后顺序逐一列举，挖掘出不等式证明之法背后的隐含条件、潜在的规律等。本文所应用的方法途径主要是资料查询，通过使用学校图书馆藏书、杂志、电子文献以及互联网查询等方法,查找完成本文研究所需的文献资料,为论文提供了科学的文献指导，最终有效使用理论知识和自己分析，实现不同不等式的不同证明。 -1- 关于不等式的证明 第二章 不等式的证明基本方法和应用 2.1 方法综述 我们都知道不等式的证明是中学数学学习中的难点，亦是重中之重，显然同样也是高等教育当中每个人必修的技能，能不能好好地运用定理、常规不等式来解决其他更为复杂的不等式的证明，一定程度上反映了个人对数学基本功的掌握程度和解题的能力。然而，不等式被广泛应用之后，与它有关的证明方法也逐渐被人们承认，并最终得以归纳总结，系统化的证明途径已经有迹可循。我们利用不等式自身具有的性质来进行相对应的代数变形，灵活运用基本法，如常见的比较法、综合法和分析法等。当然，这些方法互相结合起来的证明也有好多，但是只要我们有心发现和恰当使用，稍难的题目也会迎刃而解。 2.2 比较法 比较法，在证明不等式中简单。一般分为比差和比商。 2.2.1 作差法 比差法一般遵循实数的运算性质，也会根据其大小的顺序来衡量。 一般的解题步骤是：第一步作差，然后进行变形，最后只要根据结果判断符号就可以。 2.2.2 作商法 若不等式两端出现乘积形式的幂指数，那么我们就完全可以通过考虑作商法进行证明。 要证a>b成立，只要证要证a<b成立，只要证a>1即可(b>0)； ba<1即可(b>0). b一般的解题步骤是：作商®变形®判断符号。 2.3 综合法和分析法 综合法,要求我们必须充分利用好题目已知的条件，然后推敲出隐含在内的信息，运用到解题过程当中。一般的，使用已知不等式的性质推出解题步骤当中有用的隐含信息，当然也可使用一系列已确定的已知、已证和约定俗成的命题逐步进行推理，最后使题目中要证的不等式确切成立，我们就称这种方法为综合法。 -2- Xx大学毕业论文 我们把要求证的不等式作为思路的出发点，分析不等式要具备何种充分条件，运用转换的逻辑思维，把解不等式的证明转化为判定不等式成立，然后找到成立的条件。假设我们能够找出对应的充分条件，那么就可以下结论，判定这个不等式成立。此法就是我们熟悉的分析法。 当我们在证明不同种类的不等式的时候，根据现有的题目已知条件是不可能推出你要的结果的，这时候，可以使用平时积累下来的重要不等式应用到证明中。这里，学习之中经常遇到的几个常用的重要不等式： a2±b2³2ab； a+b³ab,(a>0,b>0)； 2a1+a2+a3+L+an³a1a2a3Lan(当且仅当a1=a2=a3=L=an时取等2号). 2.4 反证法及其应用 反证法，很明显是一种反向否定思维，作为反证法就是一开始假设结论不成立，先后充分使用公式和已知条件，得出新的结论，但该结论与题目中已知条件、公理、定理等相互矛盾，从而得到之前所假设是错误的，这样就轻而易举地说明结论成立。 步骤简要如下： 提取结论®否定结论； 假设之后®进行相应的推导®最后得到矛盾； 肯定原结论成立. 反证法遵循否定之否定为肯定的逻辑思维。 2.5 放缩法及其应用 放缩法，相对来说比较特殊，往往看着复杂的题型，只要适当地观察数据和形式，进行适当地增加或减少已知项即可化难为易。从不等式的一边开始入手，依次、逐渐放大或缩小不等式的，直到出现不等式的另一边的结果终止，这种方法被视为放缩法。 常用的放缩不等式。 譬如：a2+1>a； -3- 关于不等式的证明 a-b£a+b£a+b； (1+h)n>1+nh(h>-1,nÎN+)； åf(xk=1nk)³nnÕf(xk)³n(åk=1n1-1),(a1,a2,a3,L,anÎR+)等. k=1akn例2.1 已知f(x)是闭区间0,1上的连续恒正的函数,试证明： lnòf(x)dx³òlnf(x)dx. 0011证 不妨设xk-1,xkÌ0,1，且为第k个小区间, 然后取一点xk,有åf(xk=1nk)³nnÕf(xk=1nk), 由递增函数y=lnx性质， f(xk)å1f(xk)=limln(k=1)， n®¥nnnå Þlnò0f(x)dx=ln(limn®¥k=11n11³limålnf(xk)=òlnf(x)dx. n®¥n0k=1n2.6 数学归纳法及其应用 在证明含n的不等式时，采用数学归纳法，三步即可完成整个证明过程，是一个优化了的证明方法。 先说明n=1,2时不等式成立；然后假设n=k(k³n0)时，使不等式成立，我们只需再证明n=k+1时，不等式成立；对任意n不等式成立即可。 例2.2 求证：1+111+L+<2n,(nÎN+). 23n证 当n=1时，左边=2，右边=2,1<2成立。 假设n£k时，1+1+1+L+1<2k， 23k 则当n=k+1时， -4- Xx大学毕业论文 1+1+1+L+1+1<2k+1， 23kk+1k+1 =1+2k(k+1)k+1<k+(k+1)+1=2k+1， k+1 n=k+1时不等式也成立, 综上，对于任意的nÎN+，不等式皆是成立的。得证. 2.7 换元法及其应用 换元法，是指对结构相对来说比较繁琐的命题，用新引入的变量替换掉原命题中的部分格式相似或相同的式子，简化了原有的结构同时，新的形式也更简便，易于求解。 例2.3 如果a>b>c，求证：114+³. a-bb-ca-c证 不妨先令a=b+x,c=b-y(x>0,y>0)， 代入原不等式，并移项，可化为： 114(x+y)2-4xy(x-y)2 (+)-=³0， xyx+yxy(x+y)xy(x+y) Þ111，原不等式成立，得证. +³xyxy例2.4 已知1£x2+y2£2，求证：证 Q1£x2+y2£2， 1£x2-xy+y2£3. 2 设x=rcosq,y=rsinq，其中1£r£2，0<q£2p， Þx2-xy+y2=r2+r2sinqcosq=r2(1-1sin2q3£， Q<1-222sin2q)， 212sin2q3r2 Þr(1-， )£222 且1£r2£2， Þ1£x2-xy+y2£3，得证. 2-5- 关于不等式的证明 2.8 构造法及其简单应用 构造法包括：构造函数，构造复数和构造方程. 2.8.1 构造函数 将要证的不等式转化为一个相关的函数的单调性问题，然后再根据函数的单调性建立与题意相等的关系，最终证明完毕。 例2.5 已知a,b,mÎR+且a<b,求证:a+ma>. b+mb证 我们先进行函数的构造，不妨设 a+xb+x+a-ba-bb-a=1+=1- f(x)=, b+xb+xb+xb+x 易知函数f(x)在0,+¥)上单调递增，且有f(0)=a+m，f(m)>f(0)，(m>0) b+ma+ma>, Þb+mba， b Þf(m)= 原不等式得证. 2.8.2 构造复数 例2.6 已知0<a,b<1，求证： a2+b2+(1-a)2+b2+(1-b)2+a2+(1-a)2+(1-b)2³22. 证 不妨先进行复数的构造： z1=a+bi,z2=(1-a)+bi,z3=a+(1-b)i,z4=(1-a)+(1-b)i， Þz1+z2+z3+z4=2+2i=22， Þz1+z2+z3+z4³z1+z2+z3+z4=22， Þa2+b2+(1-a)2+b2+(1-b)2+a2+(1-a)2+(1-b)2³22. 2.8.3 构造方程 例2.7 若x,yÎR+ 且有x3+y3=2，求证：0<x+y£2. 证 x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=2， k3-2 不妨令x+y=k，则得xy=， 3k -6- Xx大学毕业论文 k3-2=0， 现构造以x,y为两根的方程t-kt+3k24(k3-2)8-k3=³0， ÞD=k-3k3k2 Þk(8-k3)³0(k¹0)， Þk(2-k)(k2+2k+4)³0,(k¹0)且 k2+2k+4>0,(k¹0)， Þk(k-2)£0,(k¹0)， Þ0<k=(x+y)£2， Þ原不等式成立，得证. 2.9 判别式法及其应用 用方程的根，通过函数的性质，逐步确定判别式成立的不等式。最后经过演算推导要证的不等式，这一方法就是所谓的判别式法。题目中，主要是针对一元二次方程先求根，然后解题。 例2.8 设a,b,cÎR+，求证：a2+b2+c2³ab+bc+ca. 证 不妨把a作为未知数，得到一个一元二次函数，且设函数 222222 f(a)=a+b+c-(ab+bc+ca)=a-(b+c)a+(b+c-bc)， ÞD=(b+c)2-4(b2+c2-bc)=-3(b+c)2£0，且a2的系数1>0， Þf(a)³0，即原不等式成立. 2.10 函数单调性1 2.10.1 单调性直接证明 方法是：确定函数本身的单调性，在递增或递减区间代入相应的数值，最后来证明。 构造函数®利用单调性证明. 原理是：f'(x)>0时，函数f(x)在(a,b)内单增Þf(a)<f(x)<f(b)； f'(x)<0时，函数f(x)在(a,b)内单减Þf(a)>f(x)>f(b). 例2.9 求证：0<x<p时，sinxx>. 2p-7- 关于不等式的证明 sin证 不妨设f(x)=xx2， 1xxxcos×x-sincos22=2(x-tanx)<0,(0<x<p)， Þf'(x)=2x2x222 Þf(x)在(0,p)内单调递减， Þf(x)>f(p)= Þsinxx>. 2p21p， 2.10.2 最值证不等式 方法：构造函数，用最值解题. 根据：f(a)为f(x)在I上的最大值Þf(x)£f(a)； f(a)为f(x)在I上的最小值Þf(x)³f(a). 例2.10 证明:x>0时，(x2-1)lnx³(x-1)2. 证 不妨先构造函数，f(x)=(x2-1)lnx-(x-1)2， 1 接下来我们有：f(1)=0，f'(1)=2xlnx-x+2-,且f'(1)=0， x1 Þf''(x)=2lnx+1+2,f''(1)=2>0， x Þx=1是f''(x)的极小值点， 现在，我们来进行x=1是否为f''(x)最小值点的判断，如下过程： 2(x2-1) 再令h(x)=f'''(x)=， 3xì<0,0<x<1ï Þh(x)í=0,x=1， ï>0,x>1î Þx=1为f''(x)的最小值点， Þf''(x)³f''(1)=2>0， Þf'(x)在x>0时单调递增，且有f'(1)=0， Þx=1为f(x)的最小值点， -8- Xx大学毕业论文 Þf(x)³f(0)=0， Þ(x2-1)lnx³(x-1)2成立. -9- 关于不等式的证明 第三章 高等教育中不等式的证明 3.1 高等教育中不等式证明和方法 在高等教育的过程当中，数学依然是重中之重，其中涉及的小分支甚至也可以说广泛使用的，一个重点和难点的问题之中或多或少都包含着不等式的证明，大多数大学生当遇到此类不等式证明问题的时候有时会自乱阵脚，而不知如何下手去解答。实际上此类问题当中存在的证明都不超纲，尚且还有许多不等式问题都涉及着巧妙思维和发散思维，一题多解的状况常有发生，因此我们针对不同的不等式证明，要理解出题者的用意，把各种证明方法融会贯通，那么难度也会降低。几种高等教育中常用不等式证明方法，除了应用中值定理，构造辅助函数的方法也可以使得解题思路清晰化，泰勒公式虽然看起来复杂，但却有固定的形式，依葫芦画瓢即可。当然了，函数的凹凸性亦不失为一个不错选择。 3.2 中值定理的应用 中值定理，包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理。在证明的步骤当中，若是恰有好处的用到这些定理，无疑是锦上添花。当然，我们首先要要熟记各个中值定理必要的应用条件，就要把原来的不等式通过一些适当的变形找出一个有助于解题思路的辅助函数，让它在已知条件中所给的区间上满足你要用的一个中值定理的条件，证明结果结论成立的关键之处就是要很好地处理一个x点，通过分析出函数或它的导数在该点上面具有的性质之后，马上就可以得到你所要的结论。当然，在证明过程之中，也完全有可能地去重复使用同个一定理或同时应用几个定理的组合来证明。 方法简要：构造辅助函数®中值定理®据x范围求解. 例3.1 求证：e<a<b<e2时，不等式ln2b-ln2a>4(b-a). e23证 不妨先令f(x)=ln2x，在(a,b)内，我们应用拉格朗日定理4， Þf(b)-f(a)=f'(x)， b-aln2b-ln2a2lnx Þ，其中xÎ(a,b)Ì(e,e2)， =b-ax 形如g(x)=2lnx的方程，我们可以依据前面所说的利用单调性进行求解， x 且g(x)在(e,e2)区间单调递减。因此： -10- Xx大学毕业论文 g(x)>g(e2)= Þ2lnx>4， e2x4, e2 Þ原不等式得证. 3.3 凹凸函数及其应用 3.3.1 凹凸函数 x1+x2f(x1)+f(x2)³，"x1,x2ÎI； 22x+xf(x1)+f(x2)凸函数形式：f(12)£，"x1,x2ÎI. 225凹函数形式：f(方法：构造辅助函数®判断凹凸性®证明. xn+ynx+yn例3.2 已知x>0,y>0,x¹y且n>1，证明：>. 22证 先构造函数h(t)=tn(t>0,n>1)， Þh'(t)=ntn-1， Þh''(t)=n(n-1)tn-2>0，(n>1)(二阶导大于零) Þh(t)=tn(t>0,n>1)为严格凸函数， Þ"x>0,y>0,x¹y时，h(x+yh(x)+h(y)， )<22xn+ynx+yn Þ>，得证. 223.3.2 詹森不等式及其应用 引理16 当g(x)是a,b上的凸函数，且"xkÎa,b,xk>0,(k=1,2,3,L,n)，有ålk=1存在，我们就说g(ålkxk)£ålkg(xk)；反之，若g(x)是凹函数，结k=1k=1k=1nnn论为g(ålkxk)³ålkg(xk). k=1k=1nn例3.3 已知a,b,c为正数，则有(abc)a+b+c3£aabbcc. 证 不妨令g(x)=xlnx,x>0，且g'(x)、g''(x)分别是： -11- 关于不等式的证明 g'(x)=lnx+1,g''(x)=1>0，Þg(x)=xlnx,(x>0)为严格的凸函数， x7 依据引理1中的叙述，利用詹森不等式可知： a+b+cg(a)+g(b)+g(c)£， 33a+b+ca+b+calna+blnb+clncln£ Þ， 333a+b+ca+b+ca+b+c)£aabbcc，且有3abc£ Þ(， 33 g( Þ(abc)a+b+c3£aabbcc. 例3.4已知xkÎ(0,p),k=1,2,L,n， x1+x2+x3+L+xn则sinx1sinx2Lsinxn£. n证 设h(x)=lnsinx,xÎ(0,p)，同上有： f''(x)=cotx=- 1 <0， sin2x Þh(x)为凹函数， x1+x2+x3+L+xn)， nx+x+x+L+xn Þsinx1×sinx2Lsinxn£123. n Þlnsinx1+lnsinx2+L+lnsinxn£ln(sin3.4 积分类不等式证明 3.4.1 一般解法 方法：构造确切积分上限的函数®用单调性解题. 例3.5 设f(x)在闭区间a,b上，连续且单调递增，求证：ba+bbxf(x)dx³f(x)dx. òa2òaxa+xxf(t)dt， 证 不妨设F(x)=òtf(t)dt-a2òa ÞF(a)=0,且当x>a时， 1xa+xx-a1xF'(x)=xf(x)-òf(t)dt-f(x)=f(x)-òf(t)dta2222a1x=òf(x)-f(t)dt³02a-12- Xx大学毕业论文 ÞF(x)(xÎa,b)单调递增， ÞF(b)³F(a)=0， Þ原不等式成立. 例3.6 设f(x)，g(x)在a,b上连续，且òf(t)dt³òg(t)dt，xÎa,b，aaxxòbaf(t)dt=òg(t)dt,求证：òxf(x)dx£òxg(x)dx. aaabbb证 不妨令F(x)=f(x)-g(x)，G(x)=òF(t)dt， ax ÞG'(x)³0，xÎa,b，且G(a)=G(b)=0， G'(x)=F(x), ÞòxF(x)dx=òxdG(x)=xG(x)|-òx'G(x)dx=-òG(x)dx£0aaaabbbabb ÞòxF(x)dx£0， ab Þòxf(x)dx£òxg(x)dx. aabb例3.7 设f(x)，g(x)在0,1上存在着连续的导数，且f(0)=0，f'(x)³0，g''(x)£0，请证明："aÎ0,1，有òg(x)f'(x)dx+òf(x)g'(x)dx³f(a)g(1). 00a1证 不妨设F(a)=òg(x)f'(x)dx+òf(x)g'(x)dx-f(a)g(1)，其中aÎ0,1 00a1 ÞF'(a)=g(a)f'(a)-f'(a)g(1)=f'(a)g(a)-g(1)³0， ÞF(a)单调递增， ÞF(a)³F(1)=òg(x)f'(x)dx+òf(x)g'(x)dx-f(1)g(1)， 0011 =òf(x)g(x)'dx-f(1)g(1)， 01 =-f(0)g(0)=0， Þòg(x)f'(x)dx+òf(x)g'(x)dx³f(a)g(1)，此题得解. 00a13.4.2 一题多解法 例3.8 已知f'(x)是f(x)在a,b上的一阶连续导数，f(a)=0， -13- 关于不等式的证明 M=maxf'(x)，求证：xÎa,bòbaM(b-a)2f(x)dx£. 2证 法一：f'(x)是闭区间a,b上的一阶连续导数， 在a,x内，由拉格朗日中值定理我们得到， Þ$xÎ(a,x)Ì(a,b)使f(x)-f(a)=f'(x)(x-a)， 且有f(a)=0， Þòbaf(x)dx=òbaf'(x)(x-a)dx， b £òbaM(b-a)2f'(x)(x-a)dx£Mò(x-a)dx=. a2 法二：f'(x)是闭区间a,b上的一阶连续导数且存在f(a)=0， Þf'(x)=xaòxaf'(t)dt， xa £òf'(t)dt£Mòdt=M(x-a)， Þòxaf(x)dx£òf(x)dx， abM(b-a)2