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武汉纺织大学 大学物理 机械振动第十二章 机械振动 一、选择题 1. 在关于简谐运动的下列说法中，正确的是： A质点受到回复力的作用，则该质点一定作简谐运动； B一小球在半径很大的光滑凹球面上来回滑动，如果它滑过的弧线相对凹球面的半径很短，则小球作简谐运动； C物体在某一位置附近来回往复的运动是简谐运动； d2Q2 D若一物理量Q随时间的变化满足微分方程2+wQ=0，则此物理量Q作简dt谐运动； E. 篮球运动员运球过程中，篮球作简谐运动。 解：选。 因为一质点作简谐运动必须受到个恒指向平衡位置，且与位移成正比的弹性力的作用。 q回复力的作用，依题意，根据牛顿第二定律，小球在运动时受到F=-mgsinsinq»tanq=学判据。 简谐运动不仅是来回往复运动，而且应满足位移随时间是按正弦规律变化的。 ymg，即回复力为F=-y，满足简谐运动动力RRd2yd2Q22简谐运动的运动学特征是2+wy=0，所以，物理量Q的微分方程2+wQ=0dtdt满足简谐运动运动学判据。 篮球运动员运球过程中，篮球除在拍打和地面反弹有瞬间碰撞力外，只受到始终向下的重力作用，不满足简谐运动动力学判据。 2. 一个沿y轴作简谐运动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其运动方程用余弦函数表示。下面左侧是振子的初始状态，右侧列出了一些初相位值，试用连线的方法确定它们的对应关系： A过y=A3处向y轴正方向运动 A/. 初相位为- 24A2处向y轴正方向运动 B/. 初相位为± B过y=-C过平衡位置处向y轴正方向运动 C/. 初相位为-1 31D过y0=-A D/. 初相位为- 2解：由题意可画出各种条件下的旋转矢量。 3. 如图12-2所示的弹簧振子，当振动到最大位移处恰有一质量为m0的烂泥小球从正上方落到质量为m的物块上，并与物块粘在一起运动。则下述结论中正确的是： A振幅变小，周期变小； B振幅变小，周期不变； C振幅不变，周期变大； D振幅不变，周期变小； 解：选。当振子正好在最大位移处时，烂泥小球落在物块上，根据动量守恒定律，在y 图12-2 m0kmy方向有 mv=(m+m0)v¢=0 所以，小球不会影响振子在y方向上的状态，即不会影响振幅变化，有A¢=A。 由于周期是由振动系统自身性质所确定的，即 T=2m k烂泥小球落在物块前后，振子的质量由m变化为，因此相应的周期将发生变化，即 泥球落下前： T=2m k泥球落下后： T¢=2m+m0>T k4.已知弹簧振子的弹性系数为1.3N/cm, 振幅为2.4cm. 这一弹簧振子的机械能为 A. 7.48´10J B. 1.87´10J -2-2C. 3.74´10J D. 1.8´710J 解：选。由机械能守恒定律得 E=-2-2121kA=´1.3´102´(2.4´10-2222)2 =3.74´10-J5. 一质点做谐振动，周期为T,它由平衡位置沿x轴负方向运动到离最大负位移1/2处所需要的最短时间为 A. T/4 B.T/12 C. T/6 D.T/8 解：选 (B)。找旋转矢量转过的最小角度！Dtm=Dqmw=p/6T= 2p/T12)，则该物体在t=0时刻与26. 一质点作简谐运动，其振动方程为y=Acos(wt+t=T时刻的动能之比为： 8A1:4； B1:2； C1:1； D2:1。 解：选。 已知振动方程为y=Acos(wt+)，则振动速度方程为 2dyv=-wAsin(wt+) dt21112=mw2A2=kA2 t=0时，v0=-wA，Ek0=mv02222T2T111v1=-wAsin(´+)=-wA，时，Ek1=mv12=mw2A2=kA2 T8228244E02= E11t=则动能之比为 7. 一振动系统的振动曲线如图12-3所示，则其振动方程为： )； 22By=6cos(t-)； 22Cy=6cos(2t+)； 2 Dy=6cos(2t-)。 2Ay=6cos(t+y/m60-6图12-3 246t/s解：选。 从图12-3所示曲线得A=6m，T=4s，w=还可知，当t = 0时，y0=0，v0<0，则由 2= T2y0=Acosj=0和v0=-wAsinj<0 得初相位为 j= 2) 2 则振动方程为 y=6cos(t+ 28. 一质点同时参与了两个方向同频率的简谐运动，其振动方程分别为： y1=5´10-2cos(4t+) 3y2=3´10-2sin(4t-) 6则其合振动方程为： cos(4t+) 3-2 By=8´10cos(4t-) 6-2Cy=2´10cos(4t+) 3-2Dy=2´10cos(4t-) 6 Ay=8´10-2解：选。 质点的同方向同频率的两个简谐运动方程分别为 y1=5´10-2cos(4t+) 32y2=3´10-2sin(4t-)=3´10-2cos(4t-) 63合振动仍为简谐振动，其频率仍为分振动的频率w=4。 两个简谐振动的相位差为 Dj=j2-j1=-满足相干减弱条件，则合振幅为 2-=- 33A2-2OA 2p 3A1p3y A=A1-A2=2´10m 可由图12-8(c)的旋转矢量得合振动的初相位为 图12-8(c) j=j1= 3-2则合振动方程为 y=2´10cos4(t+) 39.一单摆的周期恰好为1s,它的摆长为 A. 0.99m B. 0.25m C. 0.78m D. 0.5m 解：选。 直接带公式T=2pl。 g10. 一质点作简谐振动，频率为f, 则其振动动能的变化频率为 A. 11f B. f C. f D. 2f 24EK=121mv=mw2A2sin2(wt+j0)22把上式写成余弦函数，频率变成原来的解：选(D)。2倍。 二、填空 1.设质点沿x轴作简谐振动，位移为x1、x2时的速率分别为v1、v2，此质点振动的周期为 222x1-x22v22-v1 。 解：由x=Acos(wt+j)得v=-Awsin(wt+j)，所以有下式成立： x1v=cos(wt1+j) 1=sin(wt1+j) A-Awx2v=cos(wt2+j) 2=sinw(t2+j )A-Aw22x12v12x2v2从而：2+22=2+22 AAwAAw2. 如图12-4所示，垂直悬挂的弹簧振子由两根轻弹簧串接，则系统的振动周期T = 2m(k1+k2)；若物体m由平衡位置向下位移y，则系统势能增量为DEp= k1k2k1k2y2 。 2(k1+k2)解：两根轻弹簧串接的系统可用一个等效弹簧振子来描述。设该等效弹簧振子伸长Dy，由于受力相同，而k1、k2不同，则两弹簧的伸长量Dy1和Dy2就不相同，且 Dy=Dy1+Dy2 (1) 设两弹簧受力为F，则 图12-4 F=kDy， F=k1Dy1 ， F=k2Dy2 (2) 将式(2)代入式(1)，得 FFF=+ kk1k2k1k2k1+k2m(k1+k2)m=2 kk1k2则等效弹簧振子的劲度系数k应为 k=所以，等效弹簧振子的振动周期为 T=23. 当谐振子的振幅增大2倍时，它的周期不变，弹性系数不变，机械能增大4倍，速度最大值增大2倍，加速度最大值增大2倍。 4. 一简谐运动的振动方程用余弦函数表示，其yt曲线如图12-5(a)所示，则此简谐振动的三个特征量为： A = 10 cm； w = rad/s； j = rad。 631050-10y/cm1471013j0j1t/sOy图12-5(a) 图12-5(b) 解： 由图12-5可知，A=10cm 当t0=0时，y0=5cm，v0<0，可由如图12-5(b)所示旋转矢量图得 j0=当t1=1s时，y1=0，v0<0，可由如图12-5(b)所示旋转矢量图得 j1=而 j1=wt1+j0=w´1+则 w= 3 2= 32-= 236A处，且25. 一质点作简谐运动，角频率为w ，振幅为A。当t = 0 时，质点位于y0=向y正方向运动，则其运动方程为： y = Acos(wt-) ； 3质点的速度v也作同频率的简谐运动，若仍以余弦函数表示，则速度v的初相位为jv= ，速度的最大值为vm= wA 。 6解： 由题意知，当t = 0 时，y0=A，且v0>0，则有 2Ay0=Acosj 得 j=± 23又由 v0=-wAsinj>0，知sinj<0 则得 j=- 3) 3又由于速度的初相位比位移初相位超前，即有 2速度的初相位为 jv=j+=-+= 2326则运动方程为 y=Acosw(t-速度的最大值为 vm=wA 6. 一弹簧振子振动频率为n0，若将弹簧剪去一半，则此弹簧振子振动频率n和原有频率n0的关系n=2n0 。 解：弹簧截去一半后剩余部分的劲度系数变为原来的2倍。弹簧振子的角频率公式：w=km=2pn，所以在振子质量不变的条件下，弹簧的劲度系数变为原来的2倍后，振子的固有频率变为原来的2倍。 7. . 如图12-6所示，一弹簧振子置于光滑水平面上，静止于弹簧原处，振子质量为m。现有一质量为m0的子弹以速度v0射入其中，并一起作简谐运动。如以此时刻作为计时起点，则初相位j = m0v0 ；振幅 A = 。 2k(m0+m)解： 由于子弹与振子的碰撞满足动量守恒定律，则有 ¢=¢，即 v0m0v0=(m0+m)v0m0图12-6 v0 m0+m¢=-v¢¢为系统作简谐运动在t = 0时的初速度，也是系统速度最大值的负值，即v0式中v0 m。¢=-v¢¢wt+jv)，则有 v0设速度方程为v¢=v¢mcos(m=vmcosjv 得 jv= 则位移的初相位为 j=jv-=-= 222由于系统作简谐运动时满足机械能守恒定律，则有 11¢2=kA2 (m0+m)v022系统的振幅 A=m0+m¢=v0km0+mm0×v0=km0+mm0v0k(m0+m)8. 作简谐运动的质点，t时刻的相位分别为试在图12-7中画出对应的旋转矢量图。 5±； -；-。；432图12-7 分析与解题各条件下的旋转矢量图如图12-7所示。 9. 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐运动。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反。则它们的相位差为Dj= 2 ；若将这两3个分振动合成，则合振幅为A¢= A ；并在图12-8上用旋转矢量表示此相位差和合振幅。 解：设这两个简谐运动方程分别为 y1=Acos(wt+j1)，y2=Acos(wt+j2) AA时，也有y2=，但运动方向相反。 22即 wt+j1=时，应有wt+j2=- 33由题意知，当y1=图12-8 Df=f2-f1=则相位差为 x=Asin(wt)23Ek=121mv=0.02*36*10-4=3.6*10-5222A2+A2+2A2cos=A 3合振幅为 A¢=图12-8 (b) 用旋转矢量表示的相位差和合振幅如图12-8(b)所示。 10. 一谐振子的质量为m=20g,周期T=0.6s,振子经平衡位置的速度为12cm/s,则再经0.2s后振子的动能为3.6×10-5J 解：振子由平衡位置开始计时，位移图像按正弦规律变化x=Asin(wt),速度按余弦规律变化 v=Awcos(wt)，则再经0.2s后，即T/3,由速度表达式知v=Aw2=6,所以动能 11Ek=mv2=0.02´´36´10-4=3.6´10-5 22