欧氏空间与双线性函数.docx

欧氏空间与双线性函数欧氏空间与双线性函数 基本概念 1. 欧几里得空间 设V是实数R上一线性空间，在V上定义了一个二元函数，称为内积，记作，它具有以下性质： =； = k(a，b); (a+b，a)= (a，g)+(b，g); 0，当且仅当a=0时，=0。 这里a，b，g是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间。 2. 酉空间 设V是复数C上的线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积，记作，它具有以下性质： =；这里是的共轭复数； = k(a，b); (a+b，a)= (a，g)+(b，g); 0，当且仅当a=0时，=0。 这里a，b，g是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。 3. 向量的长度 非负实数称为向量a的长度，记为a。 4. 向量的夹角 非零向量a，b的夹角a，b规定为 a，b=arccosab, 0£ a，b£p 5. 向量正交 如果向量a，b的内积为零，即=0，那么a，b正交，记为ab。 6. 基的度量矩阵 ×××，n,称.×××，en是n维欧氏空间的V一组基,令aij=(ei,ej)，i,j=1,2，e1，e2，A=(aij)nn为基e1，e2，×××，en的度量矩阵。 7. 正交向量组 欧氏空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 8. 正交基、标准正交基 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 9. 正交矩阵、酉矩阵 n级实矩阵称A为正交矩阵,如果 n级复矩阵称A为酉矩阵,如果 10. 欧氏空间同构 实数域R上欧式空间V与V'称为同构的,如果由V到V'有一个双射s,满足 AA=E。 TTAA=E。 +s； s(a+b）=s =ks； s ，s）=； ，s）= 则称s为V的一个正交变换。 酉空间V的线性变换s如果满足 ，s）= 则称s为酉空间的一个酉变换。 12. 子空间正交、向量与子空间正交 设V1,V2是 欧氏空间V的两个子空间，如果对于任意的aÎV1,bÎV2, 恒有 = 0 则称V1,V2为正交的，记为V1V2。一个向量a，如果对于任意的bÎV1，恒有 = 0 则称a与子空间V1正交，记为aÎV1。 13. 子空间的正交补 子空间V2称为子空间V1的一个正交补，如果V1V2，并且V1+V2=V。 14. 欧氏空间V的线性变s换如果满足 (s(a)，b)=(a，s(b) 则称s为V的一个对称变换。 15. 向量之间的距离 长度a-b称为向量a和b的距离。 16. 最小二乘解 实系数线性方程 a11x1+a12x2+×××+a1sxs-b1=0a21x1+a22x2+×××+a2sxs-b2=0KKKKKKan1x1+an2x2+×××+ansxs-bn=0可能无解，即任何一组实数 nx1,x2,×××xs都可能使 2i11i22issiå(ax+ax+×××+ax-b) i=1000不等于零。使等式成立的最小实数组x1,x2,×××,xs 称为方程组的最小二乘解。 17. 对称矩阵，Hermite矩阵 如果A=矩阵。 18. Hermite二次型 设TA，则称矩阵A为对称矩阵。如果AT=A，则称矩阵A为HermiteA为Hermitenn矩阵，二次齐次函数 f(x1,x2,×××,xn)=ååaijxixj=i=1j=1xATX 称为Hermite二次型。 19. 线性函数 设v是数域p上的一个线性空间，f是v到p的一个映射，如果f满足 f(a+b)=f(a)+f(b); p f(ka)=kf(a)。其中 a，b是 v中任意元素，k是中任意元素，则称是v上的一个线性函数。 20. 对偶空间、对偶基 设v是数域p上的一个n维线性空间，v上全体线性函数组成的集合记作L(v,p)。用自然的方法在L(v,p)上定义加法和数量乘法，L(v,p)成为数域p上的线性空间，称为v的对偶空间。 设v是数域p上的一个n维线性空间,e1，e2，×××，en是v的一组基，作v上n个线性函数 f1,f2,×××,fn,使得 则f1,f2,×××,fn为fi(ej)= 1，j=i0,j¹i,i,j=1,2,×××,n 12n×××，e的对偶基。 L(v,p)的一组基，称为e，e， 21. 双线性函数 v是数域p上的一个线性空间，f(a,b)是v上一个二元函数，即对v中任p一个数，如果有下列性质: 意两个向量a，b，根据f都唯一地对应于中 (1) f(a，k1b1+k2b2)=k1f(a,b1)+k2f(a,b2); (2) f(a，k1b1+k2b2)=k1f(a,b1)+k2f(a,b2); 其中a，a1，a2，b，b1，b2 是数。 22. 双线性函数的度量矩阵 设v中任意向量，则称f(a,b)为v上的一个双线性函f(a,b)是数域p上n维线性空间v上的一个双线性函数。e1，e2，×××，en是v的一组基，则矩阵 叫做×××，en下的度量矩阵。 f(a,b)在基e1，e2， 23. 非退化的双线性矩阵 设f(a,b)是线性空间vf上一个双线性函数，如果 f(a,b)=0 对任意bÎV，可推出a=0，就叫做非退化的。 24. 对称双线性函数，反对称双线性函数 有 f(a,b)是线性空间v上一个双线性函数，如果对v中任意两个向量a，b都 f =f则称 f(a,b)为 对称双线性函数，如果对vf(a,b)为反对称双线性函数。 中任意两个向量a，b都有 f =-f则称 25. 双线性函数对应的二次齐次函数 设v是数域p上的线性空间，f(a,b)是v上双线性函数，当a=b时，v上函数f(a,a)称为与f(a,b)对应的二次齐次函数。 26. 双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间 设v是数域p上的线性空间，在v上定义了一个 非退化双线性函数，则称为一个双线性度量空间，当n维实线性空间，f是非退化对称双线性函数时，v称为p上的正交空间；当v是f是非退化对称双线性函数时，v称为准欧氏空间，当f是非退化反对称双线性函数时，v称为辛空间。 基本结论 1. 柯西-布涅柯夫斯基不等式 欧式空间中的任意向量a，b有 a，b£ab 当且仅当a，b线性相关时，等号才成立。 2. 度量矩阵是正定的，不同基的度量矩阵是合同的。 3. n维欧式空间中任何一个正交向量组都能扩充成一组正交基。 4. 对于n维欧式空间中任意一组基a1，a2，×××，an，都可以找到一组正交基 b1，b2，×××，bn 使 ×××，ai)=L(b1，b2，×××，bi),i=1,2×××,n L(a1，a2，其中b1=a1，bk=aæçèk-æçèæak,b1ö÷çak,bk-1ö÷øèøb1-×××bk-1,k=2,×××,n。 öæb1,b1÷çbk-1,bk-1ö÷øèø 5. A=(aij)nn是正交矩阵Û AA=EA，当i=jÛa1ia1j+a2ia2j+×××+anianj=1 0,当i¹j1，当i=jTÛAT=EÛA=A -1TÛa1aj1+ai2aj2+×××+ainajn= 0，当i¹j ÛA是n维欧氏空间V中两组标准正交基之间的过渡矩阵。 ,其中Ûs(e1，e2，×××，en)=(e1，e2，×××，en)As是正交变换，e1，e2，×××，en是V的一组标准正交基。 6. e1，e2，×××，en是n维欧氏空间的一组标准正交基 Û(ei，ej)= 1，i=j0,i¹j。使×××，en的度量矩阵为单位矩阵。 Û 基e1，e2，Û 存在基准正交基e1,e2,×××,en及正交矩阵Qs保持内积不变，即对任意的a，bÎV，都有 ，s）= s保持向量的长度不变，即aÎV，s=a； ），s，×××，s如果e1，e2，×××，en是标准正交基，那么ss在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。 9.如果子空间V1,V2,×××Vs两两正交，那么喝V1+V2+×××+Vs时直和。 10.n维欧式空间V的每一个子空间都有唯一的正交补。 11.A是实对称矩阵，则A的特性值都是实数，且属于A的不同特征值的特征向量必正交。 12.设s是对称变换，V1是s一子空间，则V1也是s一子空间。 13.对于任意一个n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵T，使TAT=T-1AT成对角形。 14. 任意一个实二次型 ååaxxai=1j=122nnijij,ij=aji,i,j=1,×××,n都可以经过正交的线性变换替换成平方和 l1y1+l2y2+×××+l1yn 2×××，ln就是矩阵A的特征值。 其中平方项的系数l1，l2，T 15.线性方程组AX=b的最小二乘解为满足方程组AAX=AbT的解X。 16.埃尔米特矩阵的特征值为实数，它的处于不同特征值的特征向量必正交。 17.若A是埃尔米特矩阵，则酉矩阵C,使 CAC是对角形矩阵。 18.对埃尔米特二次型 -1=CTACf(x1,x2,×××,xn)=ååaijxixj=i=1j=1nnXAXT必有酉矩阵C，当X=CY时 19.设V数域P上的n维线性空间，e1，e2，×××，en是V的一组基，a1,a2,×××an是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f，使 20. 设 f(ei)=ai,i=1,2,×××,n g1，g2，×××，gn。如 果 由 e1，e2，×××，en 到e1，e2，×××，en及h1，h2，×××，hn是线性空间V的两组基,它们的对偶×××，fn 及 基 分 别 是f1，f2，×××，gn的过h1，h2，×××，hn的过度矩阵为A，那么由f1，f2，×××，fn到g1，g2，度矩阵为A'。 *-1 21. V是一个线性空间，V是V的对偶空间的对偶空间，V到V的映射是一个同构映射。 22. 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。 23. 双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵。 24. 设V是数域P上n维线性空间，f(a,b)是V上对称双线性函数，则存在V的，e2，×××，en，使f(a,b)在这组基下的矩阵为对角矩阵。 一组基e1 25. 设V是复数域上n维线性空间，f(a,b)是V上对称双线性函数，则存在V的，e2，×××，en，对V中任意向量a=一组基e1åxe,b=åye有 iiiii=1i=1nnf(a,b)=x1y1+x2y2+×××xryr,(0£r£n) åxe,b=åye有 iiiii=1i=1nn 26. 设V是实数域上n维线性空间，f(a,b)是V上对称双线性函数，则存在V的，e2，×××，en，对V中任意向量a=一组基e1f(a,b)=x1y1+xpyp-xp+1yp+1-×××-xryr, 27. f(a,b)是n维线性空间V上的反对称双线性函数则存在V的一组基e1，e-1，×××，er,e-r,h1,×××hs，使 基本方法 1. 常用的欧式空间 线性空间 R，对如下定义的内积构成欧式空间。 na=(a1,a2,×××an),b=(b1,b2,×××,bn) (a，b)=a1b1+a2b2+×××anbn (f,g)=òaf(x)g(x)dx b 线性空间C(a,b),f(x),g(x)ÎC(a,b)对如下定义的内积构成欧式空间。 2. 将对称矩阵的理论、二次型的理论及对称双线性函数的理论互相转化，会给解题带来一些方便。