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模糊矩阵模糊矩阵 定义 2-8 设R=(rij)m´n，"lÎ0,1，记Rl=rij(l)()m´n ìï1rij³l其中 rij(l)=í 0r<lïijî则称Rl为R的l截矩阵。 l截矩阵Rl表示l截关系，即"(u,v)ÎU´V，有 Rl(u,v)=1ÛR(u,v)³l"lÎ0,1 截矩阵必然是布尔矩阵。 例 2-9 如例2-8所示的模糊矩阵，若取l=0.9，则 é101ùú R=ê010êúêë000úû定义 2-9 设QÎF(U´V)，RÎF(V´W)。Q对R的合成是从U到W的一个模糊关系，记为QoR。它的关系程度是 (QoR)(u,w)=Ú(Q(u,v)ÙR(v,w) vÎV当RÎF(U´U)，记 R2=RoR, Rn=Rn-1oR 二、几种重要特性 1、对称性 定义 2-10 设R=(rij)Îmm´n，则称RT=(rji)Îmn´m为R的转D置矩阵。其中rji=rijT。若RT=R，则称R为对称矩阵。 定义 2-11 设RÎF(U´V)，而RTÎF(V´U)，则RT称为R的转置关系，即 "(v,u)ÎV´U，RT(v,u)=R(u,v) 定义 2-12 设"(u,v)ÎU´U，RT(u,v)=R(u,v)，则称R具有对称性。 可见， R是对称关系ÛR(v,u)=R(u,v) 2、自反性 定义 2-13 若"(u,v)ÎU´U，R(u,u)=1，则称R为U上的自反关系；若R=(rij)n´n且rii=1，则称R为自反矩阵。 定义 2-14 若"(u,v)ÎU´U，有 ì1u=v I(u,v)=í0u¹vî则称I为恒等关系。 由定义2-13和定义2-14可见， R是自反关系ÛRÊI 3、传递性 定义 2-15 设RÎF(U´U)，"lÎ0,1，如果 R(u,v)³l且R(v,w)³l，则R(u,w)³l 那么称R是传递模糊关系。 定理 2-3 R是传递的模糊关系的充要条件是RÊR2。 证 必要性 "u,wÎU，"v0ÎU，取l=R(u,v0)ÙR(v0,w) 则有 R(u,v0)³l，R(v0,w)³l 由传递性的定义得 R(u,w)³l 则 R(u,w)³R(u,v0)ÙR(v0,w)=l 因为是v0任意的，得 R(u,w)³Ú(R(u,v)ÙR(v,w) vÎU则按模糊关系的合成定义得 RÊR2 充分性 由RÊR2得 R(u,w)³vÎUÚ(R(u,v)ÙR(v,w) 所以 R(u,w)³(R(u,v)ÙR(v,w) 当R(u,v)³l，R(v,w)³l时，有R(u,w)³l 由传递性的定义知：R是传递的模糊关系。 证毕。 定义 2-16 设RÎF(U´U)，如果 是传递模糊关系且RÊR； R。 Q是任意传递模糊关系且QÊR和QÊR为R的传递闭包，记t(R)=R。 则称R可见传递闭包是所有包含R的最小的传递关系。 三、 模糊相似关系和等价关系 定义 2-17 设RÎF(U´U)，如果具有自反和对称关系，则R称为U上的一个模糊相似关系。 定义 2-18 设RÎF(U´U)，如果满足： 自反性 R(u,u)=1； 对称性 RT=R或R(u,v)=R(v,u)； 传递性 RÊR2或按传递定义。 则称R称为U上的一个等价关系。 定理 2-4 相似矩阵RÎmn´n的传递闭包是等价矩阵，且=Rn。 R证 要证明相似矩阵R的传递闭是等价矩阵，只须证R是自反的、对称的。 包R因为R是自反的，所以RÊI，得R2ÊR，RnÊRn-1，则k=1nnURk=Rn=URk为R的传递闭包，。又有R则Rk=1是=RnÊI。即R自反的。 因为是R对称的，得R=RT。又因为(Rn)=(RT)=Rn，故是对称的。 R是等价矩阵。 综上所述，R定理 2-5 设RÎmn´n是自反矩阵，则任意自然数m³n，=Rm。 都有R通过定理4可知从一个模糊相似矩阵R通过求传递闭包，可构造一个模糊等价矩阵，并且运算有限次，R即不超过次n。为了提高运算速度，定理2-5给出了求传递闭包的一种简捷方式，即平方法： TnR®R2®R2()2 ®L®R2=Rk令2k³n，故k³log2n。 用此平方法至多log2n+1步，便可求得传递闭包。