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概率论与数理统计课后习题答案第一章 事件与概率 1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。 (2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，L，正9，记不合格为次，则 (正2，正4)，L，(正2，正9)，(正2，次)， W=(正1，正2)，(正1，正3)，L，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，L，(正3，正9)，(正3，次)，L，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次) A=(正1，次)，(正2，次)，L，(正9，次) (2)记2个白球分别为w1，w2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则W=w1，w2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4 () A=w1，w2 () B=r1，r2，r3，r4 1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。 (1) 叙述ABC的意义。 (2)在什么条件下ABC=C成立？ (3)什么时候关系式CÌB是正确的？ (4) 什么时候A=B成立？ 解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2) ABC=C 等价于CÌAB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。 1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品。用Ai表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1) IAi; (2) IAi=UAi; (3) UAi(IAj); i=1nnnnni=1i=1i=1j=1j¹i(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为UAiAj； i,j=1i¹jn1.4 证明下列各式： (1)AÈB=BÈA; (2)AÇB=BÇA (3)(AÈB)ÈC=AÈ(BÈC); (4)(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC) (5)(AÈB)ÇC=(AÇC)È(BÇC) (6) IAi=UAi i=1i=1nn证明 显然，和的证法分别类似于课文第1012页式和(1.6)式的证法。 1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。 解 样本点总数为A82=8´7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”11´A5=2´3´6个样本点。于是 包含A32+2A32´3´69=。 8´7141.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。 P(A)=æ5ö解 样本点总数为çç3÷÷=10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7èø或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，3于是P(A)=。 101.7 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的，问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？ 解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!个样本点。3!2!2!2!48 =13!13!1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。 解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9´10-1=89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为 17P(A)= 891.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。 解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为所以P(A)=97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位A97乘客离开电梯”。所以包含A个样本点，于是P(A)=7。 9791.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？ 94æ9ö解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)=ç÷，所以 10000è10ø94æ9öP(A)=1-P(A)=1-=1-ç÷ 10000è10ø1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1； (3)该数的立方的最后两位数字都是1； 1解 (1) 答案为。 5(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为42= 10544(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a=7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是 。 1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。 解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5×3×1种接法，同样对尾也有5×3×1种接法，所以样本点总数为(5×3×1)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5×3×1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4×2。所以A包含的样本点数为(5×3×1)(4×2)，于是P(A)=(5×3×1)(4×2)8= 15(5×3×1)2(2) 2n根草的情形和(1)类似得 1.13 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中。如果每一种放法都是等可能æN+n-k-2öç÷÷的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球的概率为çèn-kø，0£kæN+n-1öç÷ç÷nèø£n æNöæn-1öç÷÷ççN-m-1÷÷m(2)恰好有m个盒的概率为çèøèø，NæN+n-1öç÷ç÷nèø-n£m£N-1 (3)指定的m个盒中正好有æm+j-1öæN-m+n-j-1öç÷÷÷çç÷，1£m£n-jj个球的概率为çèm-1øèøæN+n-1öç÷ç÷nèøN,0£j£N. 解 略。 1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。 3解 所求概率为P(A)= 5n-111.15 在DABC中任取一点P，证明DABP与DABC的面积之比大于的概率为2。 nn1与DABC的面积之比大于解 截取CD¢=CD，当且仅当点P落入DCA¢B¢之内时DABPn21¢CD2DA¢B¢C有面积CD¢n-11n=，因此所求概率为P(A)=。 =22DABC的面积CD2nnCD21.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。 解 分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当11242-´232-´222220£x-y£2,0£y-x£1。因此所求概率为P(A)=»0.121 2241.17 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求： (1) x2位于x1与x3之间的概率。 (2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。 111-3´´132=1 解 (1) P(A)= (2) P(B)=3121.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c，求三角形与平行线相交的概率。 解 分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(A1)=P(A2)=0.所求概率为P(A3)。分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，则P(A3)=P(AabÈAacÈAbc).显然P(Aa)P(Aab)+P(Aac)，P(Ab)=P(Aab)+P(Abc)，P(Ac)=P(Aac)+P(Abc)。所以 P(A3)=211(a+b+c)=(a+b+c) P(Aa)+P(Ab)+P(Ac)=2pdpd21.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。 解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。 1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。 b个678解w1表示白，w2表示黑白，w3表示黑黑白，wb+1表示黑L黑白， a则样本空间W=w1，w2，wb+1，并且P(w1)=， a+bbabb-1a， P(w3)=， P(w2)=×××a+ba+b-1a+ba+b-1a+b-2P(wi)=bb-1b-(i-2)a××L×× a+ba+b-1a+b-(i-2)a+b-(i-1)b!a(a+b)(a+b-1)LaP(wb+1)=甲取胜的概率为P(w1)+P(w3)+P(w5)+ 乙取胜的概率为P(w2)+P(w4)+P(w6)+ 1.21 设事件A,B及AÈB的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB) 解 由P(AÈB)=P(A)+P(B)-P(AB)得 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AÈB)=p+q-r P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=r-q ，P(AB)=r-p P(AB)=P(AÈB)=1-P(AÈB)=1-r 1.22 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)=1-P(A1)-P(A2)+P(A1A2); (2) 1-P(A1)-P(A2)£P(A1A2)£P(A1ÈA2)£P(A1)+P(A2). 证明 (1) P(A1A2)=P(A1ÈA2)=1-P(A1ÈA2)=1-P(A1)-P(A2)+P(A1A2) (2) 由(1)和P(A1A2)³0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。 1.23 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)+P(AC)-P(BC)£P(A) 证明 P(A)³PA(BÈC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC) ³P(AB)+P(AC)-P(BC) 1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比： (1)只订甲报的； (2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。 解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。 (1) P(ABC)=P(A-(ABÈAC)=P(A)-P(ABÈAC)=30% (2) P(ABC)=P(AB-ABC)=7% (3) P(BAC)=P(B)-P(AB)+P(BC)-P(ABC)=23% P(CAB)=P(C)-P(AC)+P(BC)-P(ABC)=20% P(ABCÈ+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73% (4) P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14% (5) P(A+B+C)=90% (6) P(ABC)=1-P(A+B+C)=1-90%=10% 1.26 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？ 解 用Ai表示“第i张考签没有被抽到”， i=1,2,L,N。要求P(UAi)。 i=1NæN-1öP(Ai)=ç÷èNøNnN-2ö，æN-Nö，P(AiAj)=æP(A1LAN)=ç÷ç÷èNønnèNø=0 nnNæNöæN-1öæöN-1æö1-1÷ç÷P(Ai)=ç×=(-1)ç÷ç÷ åç1÷ç÷1i=1èøèNøèøèNøæNöæN-2ö2-1æNöæN-2ö÷ç-åP(AiAj)=-ç=(-1)ç2÷çN÷ç2÷÷çN÷， øø1£i£NèøèèøènnæN-iö所以P(UAi)=å(-1)ç÷ èNøi=1i=1i-1NNn1.27 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？ 解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1i1a2i2Lanin，当且仅当1,2,L,n的排列(i1i2Lin)中存在k使ik=k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中ik=k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则 (n-2)!(n-1)!P(Ai)=1£i£n P(AiAj)=(1£i<j£n)， n!n!ænö(n-i)!ni-11÷所以P(UAi)=å(-1)ç =(-1)åçi÷n!i!i=1i=1i=1èøNni-11.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 解 用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为： W=(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g(g,g,b)(g,g,g) 其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”， B表示“有男孩”，则 P(B|A)=P(AB)6/86= P(A)7/871.30 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件， (1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 解设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B表示“所取产品都是不合格品”，æmöæmöæM-möç÷÷+çç1÷÷çç1÷÷ 2则 P(A)=çèøèøèøP(B)=æMöçç2÷÷èøæmöçç2÷÷èø æMöçç2÷÷èøP(B|A)=P(AB)P(B)m-1= P(A)P(A)2M-m-1(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则 æmöæM-möæM-möçç1÷÷çç1÷÷+çç2÷÷ èøèøèøP(C)=P(D)=æMöçç2÷÷èøæmöæM-möç÷ç1÷÷çç÷èøè1ø æMöçç2÷÷èøP(D|C)=P(CD)P(D)2m= P(C)P(C)M+m-11.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前k-1(k£n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率； (2)第k(k£n)个人摸到的概率。 解 设Ai表示“第i个人摸到”， i=1,2,L,n。 (1) P(Ak|A1LAk-1)=11= n-(k-1)n-k+1(2) P(Ak)=P(A1LAk-1Ak)=n-1n-211××L×= nn-1n-k+1n1.32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为lkk!e-l(l>0)，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p，(lp)r-lpe。 证明：一个母鸡恰有r个下一代的概率为r!解 用Ak表示“母鸡生k个蛋”， B表示“母鸡恰有r个下一代”，则 P(B)=åP(Ak)P(B|Ak)=åk=r¥¥lke-lækök=r÷×ç×pr(1-p)k-r ç÷k!èrø(lp)r-l¥l(1-p)k-r(lp)r-ll(1-p)=e×e =eår!r!(k-r)!k=r(lp)r-lp=e r! 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。 解 用Ak表示“任选一名射手为k级”， k=1,2,3,4，B表示“任选一名射手能进入决赛”，则P(B)=åP(Ak)P(B|Ak)=4´0.9+8´0.7+7´0.5+1´0.2=0.645 k=14202020201.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？ 解 用A1表示“任取一只产品是甲台机器生产” A2表示“任取一只产品是乙台机器生产” A3表示“任取一只产品是丙台机器生产” 。 B表示“任取一只产品恰是不合格品”则由贝叶斯公式： P(A|B)=P(A1)P(B|A1)=25 P(A|B)=P(A2)P(B|A2)=28 1233åP(A)P(B|A)kkk=169åP(Ak)P(B|Ak)k=169P(A3|B)=P(A3)P(B|A3)åP(A)P(B|A)kkk=13=16 691.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？ 9321解 则 P(A1)=， P(A2)= ，P(A3)=，P(A4)= 151515151231P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=，P(B|A4)= 7777由贝时叶斯公式得 P(A|B)=P(A1)P(B|A1)=9 1åP(A)P(B|A)kkk=14221.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 111、，而乘飞机不会迟到。4312解 用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示“朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。 则 P(A|B)=P(A1)P(B|A1)=1 1åP(A)P(B|A)kkk=1421.37 证明：若三个事件A、B、C独立，则AÈB、AB及A-B都与C独立。 证明 P(AÈB)C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC) =P(AÈB)P(C) PABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C) P(A-B)C)=P(A-AB)C)=P(AC-ABC)=P(A-B)P(C) 1.38 试举例说明由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)=P(A)P(B)一定成立。 解 设W=w1,w2,w3,w4,w5，P(w1)=P(w2)= P(w3)=P(w4)=P(A)=P(B)=P(C)=118，P(w5)=， 646415，A=w1,w2，A=w1,w3，A=w1,w4 则 641151+=， 646441 P(ABC)=P(w1)=P(A)P(B)P(C) 641但是P(AB)=P(w1)=¹P(A)P(B) 641.39 设A1,A2,L,An为n个相互独立的事件，且P(Ak)=pk(1£k£n)，求下列事件的概率： (1) n个事件全不发生； (2) n个事件中至少发生一件； (3) n个事件中恰好发生一件。 解 (1) P(IAk)=ÕP(Ak)=Õ(1-pk) k=1k=1k=1nnn(2) P(UAk)=1-P(IAk)=1-Õ(1-pk) k=1k=1k=1nnn(3) PU(AkIAj)=å(AkIAj)=åpkC(1-pj). k=1j=1j¹kk=1j=1j¹kk=1j=1j¹knnnnnn1.40 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B)。 解 一方面P(A),P(B)³0，另一方面P(A)P(B)=P(AB)=0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以min(P(A),P(B)=0. 1.41 一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率 (1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为O型，两个人为A型； (3)没有一人为AB。 æ5ö解 (1)从5个人任选2人为O型，共有çç2÷÷种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三èø种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一人为AB型，顺此所求概率为：æ5ö2ç÷´3´2´0.46´0.40´0.11´0.13»0.0168 ç2÷èøæ5ö22÷(2) ç´0.46´0.40»0.1557 ç3÷èø(3) (1-0.03)5»0.8587 1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。 解 用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， k=1,2,L，B表示“击中飞机”。则P(Ak)=0.6，k=1,2,L。 (1) P(A1ÈA2)=1-P(A1A2)=1-0.42=0.84 (2) P(A1ÈLAn)=1-P(IAk)=1-0.4n>0.99 , n>k=1nlg0.01»5.026 lg0.4取n=6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。 1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。 解 用A表示“在成功n次之前已失败了m次”， B表示“在前n+m-1次试验中失败了m次”， C表示“第n+m次试验成功” æn+m-1ön-1m÷则 P(A)=P(BC)=P(B)P(C)=ççm÷p(1-p)×p èøæn+m-1önm÷ =çp(1-p)çm÷èø1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴的概率。 解 用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”， 用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”， C,D分别表示“第2n-r次在甲盒取”，“第2n-r次在乙盒取”， A0BrC表示取了2n-r次火柴，且第2n-r次是从甲盒中取的，即在前2n-r-1在甲盒中取了n-1，其余在乙盒中取。所以 æ2n-r-1öæ1öP(A0BrC)=ççn-1÷÷ç2÷èøèøn-1æ1ö×ç÷è2øn-r1× 2由对称性知P(ArB0C)=P(A0BrD)，所求概率为： æ2n-r-1öæ1öP(A0BrCÈArB0D)=2P(A0BrC)=ççn-1÷÷ç2÷èøèø2n-r-1第二章 离散型随机变量 2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ 35ö23öæ1æ1÷ç(1)ç (2) ç0.50.30.2÷ç0.70.10.1÷÷ èøèø(3) ç11æ1ö1æ1ö2çç2èç÷2è3øç÷2è3øæ0122LnLönLöæ122n÷ ÷ (4)ç1111æ1öæöæöç÷Lç÷L÷÷ç2ç2÷Lç2÷L÷2è3øèøèøøèøL解 是 0.7+0.1+0.1¹1，所以它不是随机变量的分布列。 1ö1æ1ö1æ1ö31+1æç÷+ç÷+L+ç÷+L=,所以它不是随机变量的分布列。 22è3ø2è3ø2è3ø4¥1öæ1önæ为自然数，且ç÷>0,ç÷=1，所以它是随机变量的分布列。 åè2øn=1è2ø2nnn2.2 设随机变量x的分布列为：P(x=k)=k,k=1,2,3,4,5，求(1)P(x=1或x=2); 1515(2P(<x<) ； (3) P(1£x£2)。 22121解 (1) P(x=1或x=2)=+=; 15155151(2) P(<x<)=P(x=1)+P(x=2)=; 2251(3) P(1£x£2)=P(x=1)+P(x=2)=. 52ö2.3 解 设随机变量x的分布列为P(x=i)=C×æç÷,i=1,2,3。求C的值。 è3ø2æ2ö解 Céê+ç÷ê3ë3æ2öù，所以C+ç÷ú=1è3øè3øûú2i=27。 382.4 随机变量x只取正整数N，且P(x=N)与N2成反比，求x的分布列。 解 根据题意知P(x=N)=C2N分布列为P(x=N)=6pN222Cp，其中常数C待定。由于å2=C×所以C=62，即x的=1，6pN=1N¥，N取正整数。 2.5 一个口袋中装有m个白球、n-m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了x个白球，求x的分布列。 解 设“x=k”表示前k次取出白球，第k+1次取出黑球，则x的分布列为： P(x=k)=m(m-1)L(m-k+1)(n-m),k=0,1,L,m. n(n-1)L(n-k)2.6 设某批电子管的合格品率为31，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第x44次为首次测到合格品，求x的分布列。 1ö解 P(x=k)=æç÷è4øk-13,k=1,2,L. 42.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以x表示取出球的取大号码，求x的分布列。 æk-1öçç2÷÷ø解 P(x=k)=è,k=3,4,5. æ5öçç3÷÷èø2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0<p<1)，设x为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求x的分布列。 解P(x=k)=qk-1p+pk-1q,k=2,3,L，其中q=1-p。 2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。 解 设x，h表示第二名队员的投篮次数，则 P(x=k)=0.6k-10.4k-10.4+0.6k0.4k-10.6=0.76×0.24k-1,k=1,2,L； P(h=k)=0.6k0.4k-10.6+0.6k0.4k0.4=0.76×0.6k0.4k-1,k=1,2,L。 2.10 设随机变量x服从普哇松分布，且P(x=1)=P(x=2)，求P(x=4)。 解P(x=k)=lkk!e(l>0)k=0,1,2,L。由于le-l-l=l22e-l,得l1=2,l2=0。24-22-2e=e。 所以P(x=4)=4!32.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。 解 设x为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P(x£x)³0.999。查普哇松分布的数值表，得x³16。 2.12 如果在时间t内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。 解 设x为时间t内通过交叉路口的汽车数，则 (lt)k-lt P(x=k)=e(l>0),k=0,1,2,L k!t=1时，P(x=0)=e-l=0.2，所以l=ln5；t=2时，lt=2ln5，因而 P(x>1)=1-P(x=0)-P(x=1)=(24-ln25)/25»0.83。 2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。 1解 在指定的一页上出现某一个错误的概率p=，因而，至少出现三个错误的概率为 500æ500öæ1öæ499ö åççk÷÷ç500÷ç500÷øèøk=3èøè500k500-kæ500öæ1öæ499ö=1-åççk÷÷ç500÷ç500÷øèøk=0èøè2k500-k利用普哇松定理求近似值，取l=np=500´151-åe-1=1-»0.080301 2ek=0k!21=1，于是上式右端等于 500214 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？ 解 设每箱至少装100+x个产品，其中有k个次品，则要求x,使 æ100+xök100+x-kç÷0.9£0.030.97 ， åçk÷k=0èøx3k-3利用普哇松分布定理求近似值，取l=(100+x)´0.03»3，于是上式相当于0.9£åe，查普k=0k!x哇松分布数值表，得x=5。 2.15 设二维随机变量(x,h)的联合分布列为： P(x=n,h=m)=lnpm(1-p)n-mm!(n-m!)e-l(l>0,0<p<1) m=0,1,L,nn=0,1,2,L 求边际分布列。 lne-lP(x=n)=P(x=n,h=m)解 =åm=0nn!n!pm(1-p)n-m åm=0m!(n-m)!n=lne-ln!n=0,1,2,L pme-lP(h=m)=P(x=n,h=m)=m!n=0å¥n!pm(1-p)n-m ån=mm!(n-m)!¥(lp)me-lp=m!m=0,1,2,L。 2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为x、h、z，求(x,h,z)的联合分布列与各自的边际分布列。 解 P(x=m,h=n,z=k)=4!0.5m0.3n0.2k ，m,n,k=0,1,2,3,4m+n+k=4. m!n!k!æ4öm4-m ，m=0,1,2,3,4； P(x=m)=ççm÷÷0.50.5èøæ4ön4-nP(h=n)=ççn÷÷0.30.7 ，n=0,1,2,3,4； èøæ4ök4-kP(z=k)=ççk÷÷0.20.8 ，k=0,1,2,3,4。 èø2.18 抛掷三次均匀的硬币，以x表示出现正面的次数，以h表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(x,h)的联合分布列及边际分布列。 2.21 设随机变量x与h独立，且P(x=1)=P(h=1)=p>0， 1若x+h为偶数，问取什么值时x与z独立？ 又P(x=0)=P(h=0)=1-p>0，定义z=ìpíî0若x+h为奇数解P(z=1)=P(x=0)P(h=0)+P(x=1)P(h=1)=(1-p)2+p2 P(z=0)=P(x=0)P(h=1)+P(x=0)P(h=1)=2p(1-p) 而P(x=1,z=1)=P(x=1,h=1)=p2，由P(x=1,z=1)=P(x=1)P(z=1)得p=1 2 2.22 设随机变量x与h独立，且P(x=±1)=P(h=±1)=独立，但不相互独立。 证明P(z=1)=P(x=1)P(h=1)+P(x=-1)P(h=-1)=P(z=-1)=P(x=1)P(h=-1)+P(x=-1)P(h=1)=1 21，定义z=xh，证明z,x,h两两21 2因为P(x=1,z=1)=P(x=1,h=1)=1=P(x=1)Pz=1) 41P(x=1,z=-1)=P(x=1,h=-1)=P(x=1)Pz=-1) 41P(x=-1,z=1)=P(x=-1,h=-1)=P(x=-1)P(z=1) 41P(x=-1,z=-1)=P(x=-1,h=1)=P(x=-1)P(z=-1) 4所以z,x相互独立。同理h与z相互独立。 但是P(x=1,h=1,z=1)¹P(x=1)P(h=1)P(z=1)，因而z,x,h不相互独立。 2.23设随机变量x与h独立，且只取值1、2、3、4、5、6，证明x+h不服从均匀分 11证明 设P(x=k)=pk,P(h=k)=qk,k=1,2,L,6。 若P(x+h=k)=1,k=2,3,L,12，则 111P(x+h=2)=p1q1= (1) 111P(x+h=7)=p1q6+p2q5+L+p6q1= (