概率论与数理统计习题及答案第6章习题详解.docx
概率论与数理统计习题及答案第6章习题详解习题六 1.设总体XN，从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. =60,2=152,n=100 Z=X-mN(0,1) s/nX-60N(0,1) 15/10即 Z=P(|X-60|>3)=P(|Z|>30/15)=1-P(|Z|<2) =21-F(2)=2(1-0.9772)=0.0456. 2.从正态总体N中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值位于区间内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大？ Z=X-4N(0,1) 5/n2.2-4.26.2-4.2n<Z<n) 55P(2.2<X<6.2)=P( =2F(0.4n)-1=0.95, 则(0.4n)=0.975，故0.4n>1.96, 即n>24.01，所以n至少应取25 3.设某厂生产的灯泡的使用寿命XN，随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S2=1002，试求P. =1000,n=9，S2=1002 t=X-mX-1000=t(8) 100/3S/nP(X>1062)=P(t>1062-1000)=P(t>1.86)=0.05 100/34.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. Bocker - 1 - Z= X-mN(0,1)，由P(|X-|>4)=0.02得 s/nP|Z|>4(/n)=0.02, éæ410öùæ410ö故2ê1-Fççs÷÷=0.99. çs÷÷ú=0.02,即Fçêèøèøúëû查表得 410s=2.33, 所以 s=410=5.43. 2.335.设总体XN，X1，X2，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S2为其样本方差，且P=0.1，求a之值. 9S29aöæc=c2(9),P(S2>a)=Pçc2>÷=0.1. 1616øè29a=14.684, 1614.684´16=26.105. 所以 a=9查表得 6.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量 5n2(-1)åXi5i=1Y=åXi=6n，n5 2i服从何种分布？ ci=22åXi=152ic(5),c2=åXi2X2(n-5) 22i=1n且c1与c2相互独立. 所以 2X12/5Y=2F(5,n-5) X2/n-57.求总体XN的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率. 令X的容量为10的样本均值，Y为容量为15的样本均值,则XN(20,310), Bocker - 2 - YN(20,3)，且X与Y相互独立. 15则X-YNç0,æ33ö+÷=N(0,0.5), è1015ø那么Z=所以 X-YN(0,1), 0.50.3öæP(|X-Y|>0.3)=Pç|Z|>÷=21-F(0.424) 0.5øè =2(1-0.6628)=0.6744. X1+X2+L+X108.设总体XN,X1,X10,X15为总体的一个样本.则Y= 2222X11+X12+L+X15222()服从 分布,参数为 . XisN(0,1),i=1,2,15. 102215æXiöæXiö2222那么c1=åçc(10),c=2å÷ç÷c(5) i=1èsøi=11èsø且c1与c2相互独立, 所以 2X12+L+X10X12/10Y=2F(10,5) 222(X11+L+X15)X2/522所以YF分布，参数为. 9.设总体XN,总体YN(2,2),X1,X2,Xn1和Y1，Y2，Xn2分别来自总体X和Y的简单随机样本，则 n2én122ù(X-X)+(Y-Y)åjêåiúi=1j=1ú= . Eêêún1+n2-2êúëû1n11n222令 S=(Yi-Y), å(Xi-X),S2=n-1ån1-1i=1j=1221则 å(Xi=1n122-X)=(n-1)S,(y-y)=(n-1)Såi1j22, 221j=1n2Bocker - 3 - 又c=那么 21(n1-1)S12s2c(n1-1),c=2222(n2-1)S2s2c2(n2-1), n2én122ù(X-X)+(Y-Y)åjêåiú1j=12ú=Eêi=1gE(s2c12+s2c2) êún1+n2-2n1+n2-2êúëû=s2n1+n2-22E(c12)+E(c2)=2s2n1+n2-2(n1-1)+(n2-1)=s212n10.设总体XN，X1，X2，X2n是总体X的一个样本，X=Xi，令å2ni=1Y=å(Xi=1ni+Xn+i-2X)2，求EY. 令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,n.则 ZiN(2,22)(1in),且Z1,Z2,Zn相互独立. nZi22令 Z=å, S=å(Zi-Z)/n-1, i=1ni=1nXi1n1则 X=å=Z=Z, åi2n2n2i=1i=1故 Z=2X 那么 2nY=å(Xi+Xn+i-2X)=å(Zi-Z)2=(n-1)S2, 2i=1i=1nn所以 E(Y)=(n-1)ES2=2(n-1)s2. 11. 设总体X的概率密度为f(x)=e本，其样本方差为S2，求E(S2). 解： 由题意，得 12-x (-<x<+),X1，X2，Xn为总体X的简单随机样Bocker - 4 - ì1xe, x<0,ïï2f(x)=í ï1e-x,x³0,ïî2E(S2)=D(X)=E(X2)-E2(X)+¥1+¥-x于是 E(X)=òxf(x)dx=òxedx=0 所以 -¥2-¥E(X2)=ò+¥x2f(x)dx=12ò+¥-¥x2e-xdx=ò+¥0x2e-x-¥dx=2,E(S2)=2. Bocker - 5 -
