概率论与数理统计总复习计算题.docx
概率论与数理统计总复习计算题概率论与数理统计计算题 习题一 1(15分)设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 ì1ï(x+y),j(x,y)=í8ïî0,0£x£2,0£y£2其它 求X与Y的边缘密度函数jX(x),jY(y)； 判断X与Y是否独立？为什么？ 求Z=X+Y的密度函数jZ(z)。 ì1ï(x+1),jX(x)=í4ïî0,不独立 xÎ0,2xÏ0,2,ì1ï(y+1),jY(y)=í4ïî0,yÎ0,2yÏ0,2ì12ï8z,ïï1 jZ(z)=íz(4-z),ï8ï0,ïî0£z£22£z£4 其它三、应用题与证明题(28分) 1(12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后， 求从乙箱中任取一件产品为次品的概率； 已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。 解：设Ai表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i件次品”， 设B表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件； 31123111C3C32C3C3C3C2C3C3C11P(B)=åP(Ai)P(B|Ai)=3×0+3×1+3×1+3×1= C6C6C6C6C6C6C64i=1nFrom the beginning to the end , just stick at it! Atoz微博： 概率论与数理统计计算题 P(A2|B)= P(A2B)=0.6 P(B)3(8分)设0<P(A)<1，证明：A与B相互独立ÛP(B|A)=P(B|A)。 证明：因为P(B|A)=P(B|A)ÛP(AB)P(A)=P(AB)P(A) ÛP(AB)1-P(A)=P(B)-P(AB)P(A) ÛP(AB)=P(B)P(A) ÛA与B相互独立 附表： u0.95=1.65,u0.975=1.96,t0.95(35)=1.6896,t0.95(36)=1.6883, t0.975(35)=2.0301,t0.975(36)=2.0281, 习题二 二、设连续型随机变量X的密度为： ìce-x,x>0 j(x)=í0,x£0î 求常数c； 求分布函数F(x)； 求Y=2X+1的密度jY(y) +¥+¥-xceòdx=c=1 0解：òj(x)dx=1Þ-¥xx£0ì0,ïF(x)=òj(t)dt=íx-t -xedt=1-e,x>0-¥ïòî0y-1 Y的分布函数FY(y)=P2X+1<y=PX<2From the beginning to the end , just stick at it! Atoz微博： 概率论与数理统计计算题 -1ìy2ïòe-xdx,=í0ïî0,y-1-ìy>1=ï1-e2,íï0,y£1îy>1 y£1-1ì1-y2ïe,jY(y)=í2ï0,îy>1y£1三、设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为 j(x,y)=íìc,0<x<1,0<y<x其它î0,求常数c； 求X与Y的边缘密度jX(x),jY(y)； 问X与Y是否独立？为什么？ 求Z=X+Y的密度jZ(z)； 求D(2X-3Y)。 解：1=ò+¥-¥ò+¥-¥j(x,y)dxdy=ò+¥100òxcdydx=c， c=2 2xìï2dy=2x,0<x<1 jX(x)=òj(x,y)dy=íò0 -¥ï其它î0,ì12dy=2(1-y),0<y<1ïjY(y)=òj(x,y)dx=íòy -¥ï其它î0,+¥X与Y不独立； ìz2dy=z,0<z<1ïòz/2+¥ï1jX+Y(z)=òj(x,z-x)dx=íò2dy=2-z,1<z<2 -¥z/2ï其它ï0,î1121EX2=ò2x3dx= EX=ò2x2dx=,00321111EY=ò2y(1-y)dy=,EY2=ò2y2(1-y)dx= 0036121111DX=-2=,DY=-2= 231863181x11211EXY=òò2xydydx=,cov(X,Y)=EXY-EX×EY=-×= 00443336From the beginning to the end , just stick at it! Atoz微博： 概率论与数理统计计算题 D(2X-3Y)=4DX+9DY-2cov(2X,3Y)=7 18五、某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。 解：设A1=某机床为车床，P(A1)=9； 151A2=某机床为钻床，P(A2)=； 52A3=某机床为磨床，P(A3)=； 151A4=某机床为刨床，P(A4)=； 151231B =需要修理，P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=，P(B|A4)= 77774 则P(B)=åP(Ai)P(B|Ai)=i=122 105P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)9。 =P(B)22习题三 二、计算题 1、 设连续型随机变量(X，Y)的密度函数为 j(x,y)=ïíìx+y,ïî0,0£x£1,0£y£1其他 求边缘密度函数jX(x),jY(y)； 判断X与Y的独立性； 计算cov(X,Y)；求Z=max(X,Y)的密度函数jZ(z) ìx+1/2,0£x£1 jX(x)=jY(x)=í 0,其他îFrom the beginning to the end , just stick at it! Atoz微博： 概率论与数理统计计算题 不独立。 ì3z2,0£z£1jZ(z)=í 0,其他î2、设随机变量X与Y相互独立，且同分布于B(1,p)(0<p<1)。令ì1,若X+Y为偶数Z=í。 î0，若X+Y为奇数求Z的分布律； 求(X，Z)的联合分布律； 问p取何值时X与Z独立？为什么？ 解求Z的分布律； P(Z=0)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=2pq P(Z=1)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=p2+q2 (X，Z)的联合分布律： ZX 10 pqq2 pqp2 q p 0 1 2pqp2+q2 当 p=0.5时，X与Z独立。 三、应用题 1、假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障则可获10万元；若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。 解：设X表示一周5个工作日机器发生故障的天数，则XB(5,0.2)，分布律为： From the beginning to the end , just stick at it! Atoz微博： 概率论与数理统计计算题 kP(X=k)=C50.2k0.85-k,k=0,1,.,5 设Y表示一周5个工作日的利润，根据题意，Y的分布律 ì10,X=0,P(X=0)=0.328ï5,X=1,P(X=1)=0.410ï Y=f(X)=íï0,X=2,P(X=2)=0.205ïî-2,X³3,P(X³3)=0.057则EY=5.216。 2、将A、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为CCCCBBBB，0.8，而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母AAAA，CCCC的概率分别为0.5，之一输入信道，输入AAAA，BBBB，0.4，0.1。已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？。 解：设A1,A2,A3分别表示输入AAAA，BBBB，CCCC的事件，B表示输出为P(A1)P(BA1)ABCA的随机事件。由贝叶斯公式得：P(A1B)=3 P(A)P(BAi)åii=1P(A1)=0.5,P(A2)=0.4,P(A3)=0.1P(BA1)=0.8´0.1´0.1´0.8=0.0064P(BA2)=0.1´0.8´0.1´0.1=0.0008P(BA3)=0.1´0.1´0.8´0.1=0.0008%)=P(A1B0.5´0.00648= 0.5´0.0064+0.0008´0.4+0.0008´0.19From the beginning to the end , just stick at it! Atoz微博：
