概率论与数理统计第7章例题.docx
概率论与数理统计第7章例题第7章例题 1.设X1,X2,X3为总体X的样本,下列统计量是总体均值的无偏估计量的是B A.X1+X2+X3B.111X1+X2+X3236111D.X1+X2+X3 248C.111X1+X2+X32222.设X1,X2为总体X的样本,下列统计量是总体均值的无偏估计量的是 D 111111X1+X2 C.X1+X2 D.X1+X2 23442223.样本X1,X2,.Xn来自总体X，E(X)=m，D(X)=s，则 B A.X1+X2nB. A. åXi是m的无偏估计 B. X是m的无偏估计 i=1 C. Xi(1£i£n)是s的无偏估计 D. X是s2的无偏估计 2224.设(X1,X2)是来自任意总体X的一个容量为2的样本，则在下列总体均值的无偏估计中，最有效的估计量是 D 2113 A. X1+X2 B. X1+X2 3344231 C. X1+X2 D. (X1+X2) 5525.从总体中抽取样本X1,X2,下面总体均值m的估计量中哪一个最有效D A. m1=X1 B. m2=X2 C. m3=6.从总体中抽取样本X1,X2,1311X1+X2 D. m4=X1+X2 4422XXX)X3统计量 m1=1+2+3, 236XXXXXX) m2=1+2+3 m3=1+2+3中更为有效的是C 244333)A. m1 B. m2 C. m3 D. 以上均不正确 7.设X1,X2是取自总体Nm，s2的样本，已知m1=0.25X1+0.75X2 和m2=0.5X1+0.5X2都是m的无偏估计量，则_更有效 8.设X1，X2， X3， X4是来自均值为l的指数分布总体的样本，其中l未知，设有估计量 T1=11(X1+X2)+(X3+X4) 63()T2=(X1+2X2+3X3+4X4)5 T3=(X1+X2+X3+X4)4 找出其中l的无偏估计量；证明T3较为有效. 解(1)由于Xi服从均值为l的指数分布，所以 11E(T1)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)=l 631E(T2)=E(X1)+2E(X2)+3E(X3)+4E(X4)=2l 51E(T3)=E(X1)+E(X2)+E(X3)+E(X4)=l 4即T1,T3是l的无偏估计量 (2)由方差的性质知 115D(T1)=D(X1)+D(X2)+D(X3)+D(X4)=l2 3691811D(T3)=D(X1)+D(X2)+D(X3)+D(X4)=l2 164D(T1)>D(T3)，所以T3较为有效。 ìle-lx,9. 设总体X的概率密度为j(x,l)=íî0,x>0x£0其中l为未知参数，如果取得样本观测值为x1,x2,L,xn ，求参数l的 极大似然估计值 . 解 L=Ple-lxi i=1nlnL=nlnl-låxi i=1nl=)nåxi=1n=i1 x10. 设总体X的概率密度为 ìqxq-1,0<x<1; f(x,q)=í0,其它î其中q>0，若取得样本观测值为x1,x2,L,xn，求参数q的极大似然估计值 解 L=Pqxii=1nq-1nlnL=nlnq+(q-1)ålnxi q=-i=1)nålnxi=1niì2e-2(x-q),x>q11.设总体X的概率密度为f(x;q)=í,其中q>0为未知参x£qî0,数. 如果取得样本观测值为x1,x2,L,xn,求参数q的最大似然估计值. ì-2(xi-q)ï2neåi=1,L(q)=í解:似然函数ï0înxi>q, 其他当xi>q, 时， L(q)>0 ,取对数 得 lnL(q)=nln2-2å(xi-q) i=1ndlnL(q)=2n>0,所以L(q)单调增加. dq由于q<xi,即q应该满足q£min(x1,x2,L,xn) q的最大似然估计值为q£min(x1,x2,L,xn) . 12.设X1,X2,L,X9为正态总体XN(m,0.42)的样本，样本均值的观测值x=5,则未知参数m的置信度为0.95的置信区间为 A 0.40.4u0.025,5+u0.025)330.40.4C.(5-t0.025(8),5+t0.025(8)33A.(5-B.(5-0.40.4u0.05,5+u0.05)330.40.4D.(5-t0.025(9),5+t0.025(9)33Ù13.设X1,X2,L,X25为正态总体XN(m,0.42)的样本，样本均值的观测值x=8，则未知参数m的置信度为0.90的置信区间为 B A.(8-0.40.4u0.1,8+u0.1)55D.(8-B.(8-0.40.4u0.05,8+u0.05)55C.(8-0.40.4t0.1(24),8+t0.1(24)550.40.4t0.05(24),8+t0.05(24) 5514.某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径如下： 14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8. 设滚珠直径XNm,s2，如果已知直径标准差s=0.15， 求在置信水平1a=0.95的置信区间.(u0.025=1.96) 解、已知s=0.15，n=9，x=14.91， æös0s0çma,X+ma÷所以m的置信度为0.95的置信区间为çX-， ÷n2n2øè()即 15. 某厂生产的滚珠直径XNm,s2，从某天的产品里随机抽取6个，测得直径如下：(单位：毫米)14.70、15.21、14.98、14.91、15.32、15.32.如果知道该天产品直径的方差是0.05，试找出置信度为0.95的直径平均值的置信区间. (u0.025=1.96) =x=15.06 解、 x=15.06，m()由置信水平1-a=0.95， 则a=0.05，ua/2=u0.025=1.96，sn´1.96=0.18 所以置信区间为：15.06-0.18,15.06+0.18即14.88,15.24 16. 随机地从一批钉子中抽取9枚，测得长度 分别为2.24 2.10 2.13 2.05 2.13 2.12 2.23 2.20 2.15 设钉子的长度 服从正态分布,试求总体均值m的90%的置信区间. (1) 若已知s=0.01(cm); (u0.05=1.645) (2) 若s未知. (t0.05(8)=1.86) 解(1)m的置信度为1-a的置信区间为 (X-其中n=9,a=0.10,s=0.01 由计算得X=2.15代入上式得 (2.145，2.155）-5分 (2)m的置信度为1-a的置信区间为(X-其中n=9，a=0.10，由计算得 Snta/2,X+Snta/2) snUa/2,X+snUa/2) X=2.15，代入得(2.111 ,2.189 ) 17.从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径(毫米)为 19.7， 20.1, 19.8, 19.9, 20.2, 20, 19.9, 20.2, 20.3, 若零件直径服从正态分布N(m,s2)，且未知s，求零件直径 的均值m的0.95的置信区间. (a=0.05,t0.025(8)=2.31) 解 X=20.01S=0.203a=0.05 Sta=0.16置信区间(19.85， 20.17) n218.某厂生产的钢丝.其抗拉强度XN(m,s2)，其中m,s2均未知，从中 任取9根钢丝，测得其强度为：578，582，574，568，596， 572，570，584，578,试在置信水平1a=0.99下求s2的置信区间. 22(c0.005(8)=22.0,c0.995(8)=1.34；） 解 ： x=578，S2=1´592=74， 8æö22÷ç(n-1)S(n-1)S,方差s2的置信区间为ç÷ 22ca÷çca1-22èø即： 19.今从一批零件中，随机抽取10个，测量其直径尺寸与标准尺寸之间的偏差分别为2，1，2，3，2，4，2，5，3，4。零件尺寸偏差随机变量XNm,s2，试在置信水平1a=0.95下求s2的置信区间.()22c0,c0.025(9)=19.975(9)=2.7 解： x=2，s2=5.778， æç(n-1)S2(n-1)S22,所以s的置信区间为ç22ö÷÷ 即： 19.26
