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概率论与数理统计重点第1章 随机事件及其概率 nPm=排列组合公式 nCm=m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 (m-n)!m! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n!(m-n)!加法和乘法原理 加法原理：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列 对立事件 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用w来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用W表示。 一个事件就是由W中的部分点组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是W的子集。 W为必然事件，Ø为不可能事件。 不可能事件的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，：一些常见排列 随机试验和随机事件 基本事件、样本空间和事件 AÌB 事件的关系与运算 如果同时有AÌB，BÉA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AUB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：AIB，或者AB。AIB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 1 W-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率：i=1IA=UAii=1¥¥iAUB=AIB，AIB=AUB 概率的公理化定义 设W为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0P(A)1， 2° P() =1 3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，有 æ¥ö¥PççUAi÷÷=åP(Ai)èi=1øi=1 常称为可列可加性。 则称P(A)为事件A的概率。 w1,w2Lwn， 1° W=2° P(w1)=P(w2)=LP(wn)=古典概型 1。 n设任一事件A，它是由w1,w2Lwm组成的，则有 P(A)=(w1)U(w2)ULU(wm) =P(w1)+P(w2)+L+P(wm) =mA所包含的基本事件数= 基本事件总数n几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， P(A)=加法公式 减法公式 L(A)。其中L为几何度量。 L(W)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BÌA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=时，P(B)=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称P(AB)为事件A发生条件下，事P(A)条件P(AB)概率 件B发生的条件概率，记为P(B/A)=。 P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 1 乘法公式 例如P(/B)=1ÞP(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A) 更一般地，对事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)>0，则有 P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)。 两个事件的独立性 设事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且P(A)>0，则有 P(B|A)=P(AB)P(A)P(B)=P(B)P(A)P(A) 独立性 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。 必然事件W和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。 Ø与任何事件都互斥。 多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件B1,B2,L,Bn满足 1°B1,B2,L,Bn两两互不相容，P(Bi)>0(i=1,2,L,n)， 全概公式 2°则有 AÌUBii=1n， P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+L+P(Bn)P(A|Bn)。 设事件B1，B2，Bn及A满足 1° B1，B2，Bn两两互不相容，P(Bi)>0，i=1，2，n， 2° 则 贝叶斯公式 nAÌUBii=1，P(A)>0， P(Bi/A)=P(Bi)P(A/Bi)åP(Bj=1n，i=1，2，n。 j)P(A/Bj)此公式即为贝叶斯公式。 n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了伯努利概型 “由果朔因”的推断。 我们作了n次试验，且满足 u 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； u n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； P(Bi)，通常叫先验概率。P(Bi/A)，离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： Xx1,x2,L,xk,L|P(X=xk)p1,p2,L,pk,L。 显然分布律应满足下列条件： pk³0，k=1,2,L， k=1连续型随机变量的分布密度 åp¥k=1。 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有 F(x)=òf(x)dx-¥x， 则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1° f(x)³0。 2° +¥ò-¥f(x)dx=1。 离散与连续型随机变量的关系 P(X=x)»P(x<X£x+dx)»f(x)dx 积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X=xk)=pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 1 分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 F(x)=P(X£x) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 P(a<X£b)=F(b)-F(a) 可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间八大分布 0-1分布 二项分布 -¥òf(x)dx 。 P(X=1)=p, P(X=0)=q 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,L,n。 kP(X=k)=Pn(k)=Cnpkqn-k， 其中q=1-p,0<p<1,k=0,1,2,L,n， 则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为XB(n,p)。 当n=1时，P(X=k)=pqk1-k，k=0.1，这就是分布，所以分布是二项分布的特例。 1 泊松分布 设随机变量X的分布律为 P(X=k)=lkk!e-l，l>0，k=0,1,2L， 则称随机变量X服从参数为l的泊松分布，记为Xp(l)或者P(l)。 泊松分布为二项分布的极限分布。 超几何分布 kn-kk=0,1,2L,lCM·CN-MP(X=k)=, nl=min(M,n)CN随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布 P(X=k)=qk-1p,k=1,2,3,L，其中p0，q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数f(x)在a，b上为常数 均匀分布 1，即 b-aì1axb ,ïf(x)=íb-a 其他， ï0,î则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为XU(a，b)。 分布函数为 0， x<a， x-a, b-a axb F(x)=òf(x)dx=-¥x1， x>b。 当ax1<x2b时，X落在区间内的概率为 P(x1<X<x2)=x2-x1。 b-a1 指数分布 f(x)= le-lx, x³0, 0, x<0, 其中l>0，则称随机变量X服从参数为l的指数分布。 X的分布函数为 -lx1-e, x³0, F(x)=0, x<0。 记住积分公式： +¥òx0ne-xdx=n! 正态分布 设随机变量X的密度函数为 2pss>0为常数，s其中m、则称随机变量X服从参数为m、2XN(m,s)。 的正态分布或高斯分布，记为f(x)=1e-(x-m)22s2， -¥<x<+¥， f(x)具有如下性质： 1° f(x)的图形是关于x=m对称的； 2° 当x=m时，f(m)=12ps22(t-m)XN(m,s)X的分布函数为 -若x，则12s2F(x)=edtò-¥2ps。 为最大值； 参数m=0、s=1时的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0,1)，其密度函数记为x2 1-2j(x)=e2p，-¥<x<+¥， 分布函数为 F(x)=1x2p-¥F(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 òe-t22dt。 1。 2X-m2如果XN(m,s)，则N(0,1)。 sæx2-möæx-möP(x1<X£x2)=Fç÷-Fç1÷。 èsøèsø(-x)1-(x)且(0)1 分位数 函数分布 下分位表：P(X£ma)a； 上分位表：P(X>ma)a。 离散型 已知X的分布列为 x1,x2,L,xn,LX ， P(X=xi)p1,p2,L,pn,LY=g(X)的分布列如下： g(x1),g(x2),L,g(xn),LYP(Y=yi)p1,p2,L,pn,L若有某些g(xi)相等，则应将对应的pi相加作为g(xi)的概率。 连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。 ， 第三章 二维随机变量及其分布 联合分布 离散型 如果二维随机向量x的所有可能取值为至多可列个有序对，则称x为离散型随机量。 设x=的所有可能取值为(xi,yj)(i,j=1,2,L)，且事件x=(xi,yj)的概率为pij,称 P(X,Y)=(xi,yj)=pij(i,j=1,2,L) 为x=的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 p11 p21 y2 p12 p22 yj p1j p2j x1 x2 M xi M pi1 M M pij M M M M M M 这里pij具有下面两个性质： pij0； ååijpij=1. 1 连续型 对于二维随机向量x=(X,Y)，如果存在非负函数f(x,y)(-¥<x<+¥,-¥<y<+¥)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有 P(X,Y)ÎD=òòf(x,y)dxdy, D则称x为连续型随机向量；并称f(x,y)为x=的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质： f(x,y)0; 二维随机变量的本质 联合分布函数 òò+¥+¥-¥-¥f(x,y)dxdy=1. x(X=x,Y=y)=x(X=xIY=y) 设为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数 F(x,y)=PX£x,Y£y 称为二维随机向量的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件(w1,w2)|-¥<X(w1)£x,-¥<Y(w2)£y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质： 0£F(x,y)£1; F分别对x和y是非减的，即 当x2>x1时，有FF(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) F(x,y1); F分别对x和y是右连续的，即 F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0); F(-¥,-¥)=F(-¥,y)=F(x,-¥)=0,F(+¥,+¥)=1. 对于x1<x2，y1<y2， F(x2，y2)-F(x2，y1)-F(x1，y2)+F(x1，y1)³0. 离散型与连续型的关系 P(X=x，Y=y)»P(x<X£x+dx，y<Y£y+dy)»f(x，y)dxdy 1 边缘分布 离散型 X的边缘分布为 Pi·=P(X=xi)=åpij(i,j=1,2,L)； jY的边缘分布为 P·j=P(Y=yj)=åpij(i,j=1,2,L)。 i连续型 X的边缘分布密度为 fX(x)=ò+¥-¥ f(x,y)dy；Y的边缘分布密度为 fY(y)=òf(x,y)dx. -¥+¥条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为 P(Y=yj|X=xi)=pijpi·pijp·j； 在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为 P(X=xi|Y=yj)=连续型 , 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 f(x|y)=f(x,y)； fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 f(y|x)=独立性 一般型 离散型 f(x,y)fX(x)F(X,Y)=FX(x)FY(y) pij=pi·p·j 有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形 连续型 二维正态分布 f(x,y)=12ps1s21-r2-eéæx-mö22r(x-m)(y-m)æy-m1÷122êç-+ç÷ç2êçssss2(1-r)ëè1ø122è1ö÷÷ø2ùúúû, r0 随机变量的函数 若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立， h,g为连续函数，则： h和g相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h和g独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 1 二维均匀分布 设随机向量的分布密度函数为 ì1ïSïDf(x,y)=íï0,ïî(x,y)ÎD其他其中SD为区域D的面积，则称服从D上的均匀分布，记为U。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 图3.1 x y 1 O 图3.2 1 D2 2 x y d D3 c O a b x 图3.3 1 二维正态分布 设随机向量的分布密度函数为 f(x,y)=12ps1s21-r2-eéæx-mö22r(x-m)(y-m)æy-m1÷122êç-+ç÷ç2êçssss2(1-r)ëè1ø122è1ö÷÷ø2ùúúû, 其中m1,m2,s1>0,s2>0,|r|<1是5个参数，则称服从二维正态分布， 记为N函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：FZ(z)=P(Z£z)=P(X+Y£z) +¥222222对于连续型，fZ(z)-¥òf(x,z-x)dx 22两个独立的正态分布的和仍为正态分布。 n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 m=åCimi， s2=åCi2si2 iiZ=max,min(X1,X2,Xn) 若X1,X2LXn相互独立，其分布函数分别为Fx1(x)，Fx2(x)LFxn(x)，则Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为： Fmax(x)=Fx1(x)·Fx2(x)LFxn(x) Fmin(x)=1-1-Fx1(x)·1-Fx2(x)L1-Fxn(x) 1 c2分布 设n个随机变量X1,X2,L,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 W=åXi2 i=1n的分布密度为 nu-1-ì1u2e2ïnïnöf(u)=í22Gæç÷ïè2øïî0,2u³0,u<0.2我们称随机变量W服从自由度为n的c分布，记为Wc(n)，其中 ænö+¥2-1-xGç÷=òxedx. è2ø0所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 nc2分布满足可加性：设 Yi-c2(ni), 则 Z=åYic2(n1+n2+L+nk). i=1kt分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 XN(0,1),Yc2(n), 可以证明函数 T=的概率密度为 XY/næn+1ön+1Gç÷2-2töè2øæç÷f(t)=1+ ç÷nøænönpGç÷èè2ø(-¥<t<+¥). 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。 t1-a(n)=-ta(n) 1 F分布 设Xc(n1),Yc(n2)，且X与Y独立，可以证明22F=X/n1的概率密度函数为 Y/n2ìæn1+n2ö÷ïGçn1è2øæïçïf(y)=íæn1öæn2öçèn2GGç÷ç÷ïïè2øè2øïîö÷÷yøn12n1-12æn1öç1+y÷çn2÷èø-n1+n22,y³00,y<0我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(n1, n2). F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1)第四章 随机变量的数字特征 一维随机变量的数字特征 期望 期望就是平均值 离散型 设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=xk)pk，k=1,2,n， 连续型 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)， +¥E(X)=E(X)=åxkpk k=1n-¥òxf(x)dx 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X) n+¥E(Y)=åg(xk)pk k=1E(Y)=-¥òg(x)f(x)dx +¥方差 2D(X)=EX-E(X)， 标准差 D(X)=åxk-E(X)2pk kD(X)=òx-E(X)2f(x)dx -¥s(X)=D(X)， 1 矩 对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 k=E(X)= k对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即 k=E(X)=kåxikipi, ò+¥-¥xkf(x)dx, k=1,2, . 对于正整数k，称随机变量X与E差的k次幂的数学期 k=1,2, . 对于正整数k，称随机变量X与E差的k次幂的数学期望为X望为X的k阶中心矩，记为mk，的k阶中心矩，记为mk，即 即 mk=E(X-E(X)k.=mk=E(X-E(X)k， .=å(xii-E(X)kpiò+¥-¥(x-E(X)kf(x)dx, k=1,2, . 2k=1,2, . 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E=，方差D=，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式 s2P(X-m³e)£2 e切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 P(X-m³e) 的一种估计，它在理论上有重要意义。 期望的性质 E(C)=C E(CX)=CE(X) E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(åCXii=1ni)=åCiE(Xi) i=1n E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 方差的性质 D(C)=0；E(C)=C 2 D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X) 2 D(aX+b)= aD(X)； E(aX+b)=aE(X)+b 22 D(X)=E(X)-E(X) D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 0-1分布B(1,p) 期望 方差 常见分布1 p p(1-p) 的期望和方差 二项分布B(n,p) 泊松分布P(l) np np(1-p) l 1 pl 1-p 2pnMæMöæN-nöç1-÷ç÷ NèNøèN-1ø几何分布G(p) 超几何分布H(n,M,N) nM Na+b 2均匀分布U(a,b) (b-a)2 12指数分布e(l) 正态分布N(m,s) 21 l1l2m n 0 s2 2n c2分布 t分布 二维随机变量的数字特征 期望 nn(n>2) n-2+¥E(X)=åxipi· i=1E(X)=-¥+¥òxfX(x)dx E(Y)=åyjp·j j=1nE(Y)=-¥òyfY(y)dy 函数的期望 EG(X,Y) EG(X,Y) ååG(x,yiijj)pij +¥+¥¥¥òòG(x,y)f(x,y)dxdy +¥方差 D(X)=åijxi-E(X)pi· 2D(X)=òx-E(X)2fX(x)dx -¥+¥D(Y)=åxj-E(Y)2p·j D(Y)=òy-E(Y)2fY(y)dy -¥1 协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩m11为X与Y的协方差或相关矩，记为sXY或cov(X,Y)，即 sXY=m11=E(X-E(X)(Y-E(Y). 与记号sXY相对应，X与Y的方差D与D也可分别记为sXX与sYY。 相关系数 对于随机变量X与Y，如果D>0, D(Y)>0，则称 sXYD(X)D(Y)为X与Y的相关系数，记作rXY。 |r|1，当|r|=1时，称X与Y完全相关：P(X=aY+b)=1 完全相关íì正相关，当r=1时(a>0)，î负相关，当r=-1时(a<0)，而当r=0时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： rXY=0； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 æsXXççsèYXsXYsYYö÷÷ økl混合矩 对于随机变量X与Y，如果有E(XY)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为nkl；k+l阶混合中心矩记为： ukl=E(X-E(X)k(Y-E(Y)l. 协方差的性质 (i) (ii) (iii) (iv) cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 1 独立和不相关 若随机变量X与Y相互独立，则rXY=0；反之不真。 若N， 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 22第五章 大数定律和中心极限定理 大数定律 X®m 切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D<C(i=1,2,),则对于任意的正数，有 æ1nö1nçlimPXi-åE(Xi)<e÷å÷=1. n®¥çnni=1èi=1ø 特殊情形：若X1，X2，具有相同的数学期望E=，则上式成为 æ1nö÷limPçX-m<eåi÷=1. n®¥çnèi=1ø伯努利大数定律 设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有 æmö÷limPç-p<e÷=1. n®¥çnèø 伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 æmö÷limPç-p³e÷=0. n®¥çnèø这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大设X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且E数定律 =，则对于任意的正数有 æ1nö÷limPçX-m<eåi÷=1. n®¥çnèi=1ø1 中心极限定理 X®N(m,s2n) 列维设随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有林德伯相同的数学期望和方差：格定理 E(Xk)=m,D(Xk)=s2¹0(k=1,2,L)，则随机变量 Yn=åXk=1nk-nmns的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 ìnüX-nmåkïï1ïk=1ïlimFn(x)=limPí£xý=n®¥n®¥ns2pïïïïîþ此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗拉普拉斯定理 òx-¥e-t22dt. 设随机变量Xn为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数x,有 2二项定理 tìü1x-2ïXn-npï=limPí£xý=edt. ò-¥n®¥2pïïînp(1-p)þM若当N®¥时,®p(n,k不变)，则 Nkn-kCMCNkkn-k-M®Cp(1-p) nnCN(N®¥). 超几何分布的极限分布为二项分布。 泊松定理 若当n®¥时,np®l>0，则 Cp(1-p)knkn-k®lkk!e-l (n®¥). 其中k=0，1，2，n，。 二项分布的极限分布为泊松分布。 第六章 样本及抽样分布 数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个指标的全体称为总体。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量。 总体中的每一个单元称为样品。 个体 1 样本 我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2,L,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，x1,x2,L,xn表示n个随机变量；在具体的一次抽取之后，x1,x2,L,xn表示n个具体的数值。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设x1,x2,L,xn为总体的一个样本，称 j=j 为样本函数，其中j为一个连续函数。如果j中不包含任何未知参数，则称j为一个统计量。 常见统计量及其性质 样本均值 样本方差 1nx=åxi. ni=1n1S2=(xi-x)2. ån-1i=1样本标准差 S=1n(xi-x)2. ån-1i=1样本k阶原点矩 1nkMk=åxi,k=1,2,L. ni=1样本k阶中心矩 1n¢=å(xi-x)k,k=2,3,L. Mkni=1E(X)=m，D(X)=s2n， E(S2)=s2，E(S*2)=2n-12s, n1n2其中S*=å(Xi-X)，为二阶中心矩。 ni=11 正态总体下的四大分布 正态分布 设x1,x2,L,xn为来自正态总体N(m,s)的一个样本，则样本函数 2ut分布 defx-ms/nN(0,1). 2设x1,x2,L,xn为来自正态总体N(m,s)的一个样本，则样本函数 tdefx-ms/nt(n-1), 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 c2分布 设x1,x2,L,xn为来自正态总体N(m,s)的一个样本，则样本函数 2w2def(n-1)S2s2c2(n-1), 2其中c(n-1)表示自由度为n-1的c分布。 F分布 设x1,x2,L,xn为来自正态总体N(m,s1)的一个样本，而2y1,y2,L,yn为来自正态总体N(m,s2)的一个样本，则样本2函数 F其中 defS12/s12S/s2222F(n1-1,n2-1), 1n1S=(xi-x)2, ån1-1i=1211n2S=(yi-y)2; ån2-1i=122F(n1-1,n2-1)表示第一自由度为n1-1，第二自由度为n2-1的F分布。 正态总体下分布的性质 X与S2独立。 第七章 参数估计 1 点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数q1,q2,L,qm，则其分布函数可以表成F(x;q1,q2,L,qm).它的k阶原点矩vk=E(Xk)(k=1,2,L,m)中也包含了未知参数q1,q2,L,qm，即vk=vk(q1,q2,L,qm)。又设x1,x2,L,xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 1nkxi (k=1,2,L,m). åni=1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 Ù1nìÙÙïv1(q1,q2,L,qm)=nåxi,i=1ïïÙÙÙ1n2ïv2(q1,q2,L,qm)=åxi,ïni=1ï íïïLLLLLLLLLïïnÙÙÙïv(q,q,L,q)=1xim.åm12mïni=1î由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(q1,q2,L,qm)即为参数的矩估计量。 ÙÙÙ)为g(q)的矩估计。 若q为q的矩估计，g(x)为连续函数，则g(qÙ1 极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(x;q1,q2,L,qm)，其中q1,q2,L,qm为未知参数。又设x1,x2,L,xn为总体的一个样本，称 L(q1,q2,L,qm)=Õf(xi;q1,q2,L,qm) i=1n为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体X为离型随机变量时，设其分布律为PX=x=p(x;q1,q2,L,qm)，则称 L(x1,x2,L,xn;q1,q2,L,qm)=Õp(xi;q1,q2,L,qm) i=1n为样本的似然函数。 若似然函数L(x1,x2,L,xn;q1,q2,L,qm)在q1,q,L,qm处取2ÙÙÙ到最大值，则称q1,q,L,qm分别为q1,q2,L,qm的最大似然估计值，2ÙÙÙ相应的统计量称为最大似然估计量。 ¶lnLn¶qiÙ=0,i=1,2,L,m qi=qiÙ)为g(q)的极大若q为q的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g(q似然估计。 估计量的评选标准 无偏性 设q=q(x1,x2,L,xn)为未知参数q的估计量。若E =q，则称 ÙÙÙq为q的无偏估计量。 E=E， E=D 有效性 设q1=q1(x1,x,2,L,xn)和q2=q2(x1,x,2,L,xn)是未知参数q的两个无偏估计量。若D(q1)<D(q2)，则称q1比q2有效。 ÙÙ2ÙÙÙÙÙÙÙ1 一致性 设qn是q的一串估计量，如果对于任意的正数e，都有 n®¥ÙÙlimP(|qn-q|>e)=0, Ù则称qn为q的一致