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概率论大作业概率论大作业 数学期望定义：设离散型随机变量X的分布律为 PX=xk=pk,k=1,2,×××. 若级数 åxk=1¥kpk 绝对收敛，则称级数åxk=1¥kpk的和为随机变量X的数学期望，记为E(X),即 E(X)=åxkpkk=1¥设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 ò¥-¥xf(x)dx 绝对收敛，则称¥ò¥-¥xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即 E(X)=òxf(x)dx. -¥问题：请解释定义数学期望为何需要绝对收敛。 答：由定义可以看出，当离散型随机变量X的分布律PX=xk=pk,k=1,2,×××.一旦确定，而且它的期望存在的话，åxk=1¥kpk就是一个固定值，该值不因式子中各项积的顺序更改而改变。故定义数学期望时要求级数 åxk=1¥kpk绝对收敛而不是收敛。 附一：绝对收敛和条件收敛定义： 如果级数åun=1¥n各项的绝对值所构成的正项级数åun=1¥n收敛，则称级数åun=1¥n绝对收敛；如果级数åun=1¥n收敛，而级数åun=1¥n发散，则称级数åun=1¥n条件收敛. 附二：绝对收敛性质一： 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和. 证明过程如下： 先证定理对于收敛的正项级数是正确的. 设级数 u1+u2+×××+un+××× 为收敛的正项级数，其部分和为sn，和为s.并设级数 *u1+u2+×××+un+××× *为改变项的位置后构成的级数，其部分和为sn. *对于任何n，当它固定后，取m足够大，使u1，u2，···，un各项都出现在sm=u1+u2+×××+um中，于是得 *sn£sm£s， *所以，单调增加的数列sn不超过定数s，根据单调有界数列必有极限的准则，可知limsn*n*n®¥存在，即级数*limsn=s*£s， n®¥åun=1¥收敛，且 另一方面。如果把原来级数åun=1¥n看成是级数åun=1¥*n改变项的位置以后所成的级数，则应用刚才证得的结论，又有 s£s*. 要使得上面两个不等式同时成立，必定有 s*=s. 再证定理对于一般的绝对收敛级数是正确的. 设级数åun=1¥n收敛.已知 un=2vn-un， 而åvn=1¥n是收敛的正项级数.故有 åu=å(2vnn=1n=1¥¥n-un)=å2vn-åun. n=1n=1¥¥若级数åun=1¥¥n，改变项的位置后的级数为åun=1¥*n，则相应的åvn=1¥n改变为åv，åu*nn=1n=1¥¥n改变为åun=1*n，由结论可知 åv=åvnn=1n=1¥¥*n，åu=åunn=1n=1¥*n¥¥¥*n. 所以 åu=å2v-åu*n*nn=1n=1n=1¥¥=å2vn-åun=åun. n=1n=1n=1¥¥证毕.附三： 对于条件收敛的级数，如果更改级数各项位置所得到的新级数的和可能会发生变化。 证明略。 附四：连续型随机变量同理 综上所述，在数学期望定义中要求绝对收敛，就是因为随机变量中的数学期望是一个确定的数值，不会因为改变级数各项顺序而发生变化，绝对收敛有这样的性质，而条件收敛则无法保证这一性质成立。