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概率论与数理统计教程 魏宗舒等编 第一章第一章 事件与概率 1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。 (2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。 解 (1)记9个合格品分别为 正1,正2，L，正9，记不合格为次，则 (正2，正4)，L，(正2，正9)，(正2，次)， W=(正1，正2)，(正1，正3)，L，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，L，(正3，正9)，(正3，次)，L，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次) A=(正1，次)，(正2，次)，L，(正9，次) (2)记2个白球分别为w1，w2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则W=w1，w2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4 () A=w1，w2 () B=r1，r2，r3，r4 1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。 (1) 叙述ABC的意义。 (2)在什么条件下ABC=C成立？ (3)什么时候关系式CÌB是正确的？ (4) 什么时候A=B成立？ 解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2) ABC=C 等价于CÌAB，表示全系运动员都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。 1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品。用Ai表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1) Ai(IAj); IA; (2) IAi=UAi; (3) Ui=1j=1ii=1nnnnni=1i=1j¹i(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为UAAii,j=1i¹jnj； 1.4 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。 解 样本点总数为A82=8´7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以211事件A“所得分数为既约分数”包含A3+2A3´A5=2´3´6个样本点。于是 P(A)=2´3´69=。 8´7141.5 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的，问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？ 解 显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!2!48= 13!13!1.6 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。 解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所3!2!2!2!个样本点。所以P(A)=以样本点总数为97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于7“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含A9个样本点，于是7A9P(A)=7。 91.7 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？ 94æ9ö解 用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)=ç÷，所以 10000è10ø94æ9öP(A)=1-P(A)=1-=1-ç÷ 10000è10ø1.9 441.10 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1； (3)该数的立方的最后两位数字都是1； 1解 (1) 答案为。 5(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答42案为= 105(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a=7，因此A所包1含的样本点只有71这一点，于是P(A)=。 100n-11.13 在DABC中任取一点P，证明DABP与DABC的面积之比大于的概n1率为2。 n1解 截取CD¢=CD，当且仅当点P落入DCA¢B¢之内时DABP与DABC的面n21¢CD22n-11n¢¢¢DABC有面积CD=积之比大于，因此所求概率为P(A)=。 =222nnDABC的面积CDCD1.14 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求： (1) x2位于x1与x3之间的概率。 (2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。 111-3´´132=1 解 (1) P(A)= (2) P(B)=3121.15 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。 解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。 1.16 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)=1-P(A1)-P(A2)+P(A1A2); (2) 1-P(A1)-P(A2)£P(A1A2)£P(A1ÈA2)£P(A1)+P(A2). 证明 (1) P(A1A2)=P(A1ÈA2)=1-P(A1ÈA2)=1-P(A1)-P(A2)+P(A1A2) (2) 由(1)和P(A1A2)³0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。 1.18 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)+P(AC)-P(BC)£P(A) 证明 P(A)³PA(BÈC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC) ³P(AB)+P(AC)-P(BC) 1.19 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比： (1)只订甲报的； (2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种报纸的； (6)不订任何报纸的。 解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。 (1) P(ABC)=P(A-(ABÈAC)=P(A)-P(ABÈAC)=30% (2) P(ABC)=P(AB-ABC)=7% (3) P(BAC)=P(B)-P(AB)+P(BC)-P(ABC)=23% P(CAB)=P(C)-P(AC)+P(BC)-P(ABC)=20% P(ABCÈ+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73% (4) P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14% (5) P(A+B+C)=90% (6) P(ABC)=1-P(A+B+C)=1-90%=10% 1.21 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？ 解 用Ai表示“第i张考签没有被抽到”， i=1,2,L,N。要求P(UAi)。 i=1NæN-1öP(Ai)=ç÷èNøNnN-2ö，æN-Nö，P(AiAj)=æP(A1LAN)=ç÷ç÷èNønnnèNø=0 æNöæN-1ö1-1æNöæN-1öç÷çP(A)=×=(-1)åiç1÷çN÷ç1÷÷çN÷ øøi=1èøèèøèæNöæN-2ö2-1æNöæN-2ö÷-åP(AiAj)=-ç÷ç÷， ç2÷çN÷=(-1)çç÷2Nø1£i£NøèøèèøènnnæN-iö所以P(UAi)=å(-1)i-1ç÷ Nèøi=1i=11.22 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？ 解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1i1a2i2Lanin，当且仅当1,2,L,n的排列(i1i2Lin)中存在k使ik=k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中ik=k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则 P(Ai)=NNNn(n-2)!(n-1)!(1£i<j£n)， 1£i£n P(AiAj)=n!n!ni-1ænö(n-i)!ni-11÷所以P(UAi)=å(-1)ç =(-1)åçi÷n!i!i=1i=1i=1èø1.23 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。 解 用b,g分别表示男孩和女孩。则样本空间为： W=(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(b,g,g)g,b,g(g,g,b)(g,g,g) 其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”， B表示“有男孩”，则 P(B|A)=P(AB)6/86= P(A)7/871.24 设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件， (1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 (2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。 解设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”， B表示“所取产æmöæmöæM-möçç2÷÷+çç1÷÷çç1÷÷ 品都是不合格品”，则 èøèøèøP(A)=P(B)=æMöçç2÷÷èøæmöçç2÷÷èø æMöçç2÷÷èøP(B|A)=m-1P(AB)P(B)= P(A)P(A)2M-m-1(2)设C表示“所取产品中至少有一件合格品”， D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则 æmöæM-möæM-möçç1÷÷çç1÷÷+çç2÷÷ èøèøèøP(C)=P(D)=æMöçç2÷÷èøæmöæM-möç÷ç1÷÷çç÷èøè1øæMöçç2÷÷èøP(D|C)=2mP(CD)P(D)= P(C)P(C)M+m-11.28 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前k-1(k£n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率； (2)第k(k£n)个人摸到的概率。 解 设Ai表示“第i个人摸到”， i=1,2,L,n。 (1) P(Ak|A1LAk-1)=11= n-(k-1)n-k+1n-1n-211××L×= nn-1n-k+1n1.32 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？ (2) P(Ak)=P(A1LAk-1Ak)=9321， P(A2)= ，P(A3)=，P(A4)= 151515151231P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=，P(B|A4)= 7777由贝时叶斯公式得 P(A|B)=P(A1)P(B|A1)=9 解 则 P(A1)=1åP(Ak=14k)P(B|Ak)221.35 证明：若三个事件A、B、C独立，则AÈB、AB及A-B都与C独立。 证明 P(AÈB)C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC) =P(AÈB)P(C) PABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C) P(A-B)C)=P(A-AB)C)=P(AC-ABC)=P(A-B)P(C) 1.37 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B)。 解 一方面P(A),P(B)³0，另一方面P(A)P(B)=P(AB)=0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以min(P(A),P(B)=0. 1.38 试举例说明由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)=P(A)P(B)一定成立。 解 设W=w1,w2,w3,w4,w5，P(w1)=118，P(w5)=， 646415，A=w1,w2，A=w1,w3，A=w1,w4 641151则 P(A)=P(B)=P(C)=+=， 646441 P(ABC)=P(w1)=P(A)P(B)P(C) 641¹P(A)P(B) 但是P(AB)=P(w1)=64P(w2)= P(w3)=P(w4)=1.40 一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率 (1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为O型，两个人为A型； (3)没有一人为AB。 æ5ö解 (1)从5个人任选2人为O型，共有çç2÷÷种可能，在其余3人中任选一人èø为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一æ5ö2÷人为AB型，顺此所求概率为：ç´3´2´0.46´0.40´0.11´0.13»0.0168 ç2÷èøæ5ö22÷(2) ç´0.46´0.40»0.1557 ç3÷èø(3) (1-0.03)5»0.8587 1.58 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴的概率。 解 用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”， 用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”， C,D分别表示“第2n-r次在甲盒取”，“第2n-r次在乙盒取”， A0BrC表示取了2n-r次火柴，且第2n-r次是从甲盒中取的，即在前2n-r-1在甲盒中取了æ2n-r-1öæ1ön-1，其余在乙盒中取。所以 P(A0BrC)=ççn-1÷÷ç2÷èøèø由对称性知P(ArB0C)=P(A0BrD)，所求概率为： n-1æ1ö×ç÷è2øn-r×1 2æ2n-r-1öæ1öP(A0BrCÈArB0D)=2P(A0BrC)=ççn-1÷÷ç2÷èøèø2n-r-1