概率论与数理统计习题二答案.docx

概率论与数理统计习题二答案概率论与数理统计习题二参考答案 1、将一颗骰子抛掷两次，以X1表示两次所得点数之和，以X2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X1和X2的分布律。 解：X1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 111 P(X1=2)=P(1,1)=´= 663611112 P(X1=3)=P("1,2"È"2,1")=´+´= 6666361111113 P(X1=4)=P("1,3"È"2,2"È"3,1")=´+´+´= 66666636所以X1的分布律为 X1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pk 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X2可取的数有1、2、3、4、5、6 11P=P= 36所以X2的分布律为 X2 1 2 3 4 5 6 Pk 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X表示取出次品的只数，求X的分布律。 解：X可取0、1、2 37C8PX=0=3= C101512C2C7PX=1=38= C101521C2C1PX=2=38= C10153、进行重复独立试验。设每次试验成功的概率为p(0<p<1) 将试验进行到出现一次成功实验为止，以X表示所需试验的次数，此时称X服从参数为p的几何分布。求X的分布律。 将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需试验的次数，此时称Y服从参数为r、p的巴斯卡分布。求Y的分布律。 解：PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,. -1rk-rp(1-p),k=r,r+1,. PX=k=Ckr-14、下列表中列出的是否是某随机变量的分布律？ X 1 2 3 X -1 0 1 Pk 0.4 0.5 0.1 Pk 0.2 0.3 0.4 解：是 不是，因概率之和不为1 a5、设随机变量X的分布律为PX=k=,k=1,2.,N N 试确定常数a æ2ö 设随机变量X的分布律为PX=k=b×ç÷,k=1,2. è3ø 试确定常数b 设随机变量X的分布律为PX=k=c× 试确定常数c 解：åPX=k=åk=1Nklkk!,k=0,1,2.l>0为常数， a=a=1， a=1 k=1NkN2b¥¥1æ2öåPX=k=åb×ç÷=3=2b=1， b= 22è3øk=1k=11-3åPX=k=åc×k=0k=0¥¥lkk!=cel=1， c=e-l 6、设随机变量X的分布律为PX=k= 其分布函数为F(x)，试求： k,k=1,2,3,4,5 155üì1æ1ö1£X£2， Fç÷ Pí<X<ý， P2þî2è5ø5ü121ì1+= 解：Pí<X<ý=PX=1+PX=2=2215155îþ1£X£2=PX=1+PX=2= P1üìæ1ö Fç÷=PíX£ý=0 5þîè5ø121+= 151557、一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻 恰有两个设备被使用的概率； 至少有1个设备被使用的概率； 至多有3个设备被使用的概率。 解：设X表示设备被使用的个数 则Xb(5,0.1) 2 PX=2=C5(0.1)(0.9)=0.0729 23 pX³1=1-PX=0=1-0.95=0.4095 4 pX£3=1-PX=4-PX=5=1-C5(0.1)(0.9)-C55(0.1)=0.99954 4158、甲、乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。从中挑4杯便能将甲种酒全部挑出，算是试验成功.(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率是多少？ (2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次，问此人是否 确有品尝区分的能力？(设各次实验相互独立) 解:(1)所求概率为:11= 4C870(2)令试验10次中成功次数为X，则Xb(10,3PX=3=C10´(1)，7013697)´»3.16´10-4显然X=3是一小概率事 7070根据小概率事件实际不可能发生原理,可以认为此人有一定品尝区分能力. 9、某商场每月销售某商品的数量服从参数为3的泊松分布。问在月初进货时要 进多少此种商品，才能保证此商品当月不脱销的概率为0.999? 解：设X表示当月销售量，则要使 e-33k=0.999 åk!k=0xe-33k=0.000292<1-0.999=0.001 查表得åk!k=11+¥所以在月初进货时要进此种商品10件，才能保证此商品当月不脱销的概率为0.999。 10、每年袭击某地的台风次数近似服从参数为4的泊松分布。求一年中该地区受台风袭击次数为35的概率。 解：设X表示每年袭击某地的台风次数 P3£X£5=PX£5-PX£2 =1-PX³6-(1-PX³3) =(PX³3)-PX³6 e-44k- =åk!k=3+¥e-44k=0.76189-0.21487=0.547027 åk!k=6+¥所以一年中该地区受台风袭击次数为35的概率为0.547027 11、有10台机床，每台发生故障的概率为0.08, 而10台机床工作独立，每台故障只需一个维修工人排除。问至少要配备几个维修工人，才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%。 解：随机变量X示发生故障的机床的台数则 XB(10,0.08) 设配备n个维修工人(0£n<10) 则“有故障而不能及时排除”事件为X>nPX>n=k=n+1åC10k10(0.08)(0.92)k10-k»k=n+1å+¥lke-lk!(l=0.8)查表 n+1=3,n=2时 PX>2=0.0474<0.05 n=1时 PX>1=0.551>0.05所以至少要配备2个维修工人 12、有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车通过。设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001。在某天的该时间内有3000辆汽车，问出事故的次数不小于2的概率为多少？ 解：设出事故的次数为X，所求为PX³3 l=np=3000´0.0001=0.3 0.3ke-0.3=0.0036 PX³3=åk!k=3+¥所以出事故的次数不小于2的概率为0.0036 kk(1)设X服从二项分布，其分布律为PX=k=Cnp(1-p)n-k K=0，1，2，n，问K取何值时PX=k最大？ 设X服从泊松分布，其分布率为pX=k=问K取何值时PX=k最大？ kkCnP(1-p)PX=k=k-1k-1 解：M= n-k+1PX=k-1CnP(1-P)n-klke-lk!，k=0，1，2 =(n-1+k)P=kqkq+(n-1+k)P-kqkq=1+(n+1)P-(p+q)k kqM>1 M=1，此时PX=k=PX=k-1 M<1 k<(n+1)p时,k=(n+1)p时,k>(n+1)p时,ì(n+1)p-1,(n+1)p,若(n+1)p为整数所以当k=í p，若p为非整数î对于泊松分布P(l)，由 P(k;l)l=,k=2,3. P(k-1;l)k可知 当k<l时，P(k-1;l)<P(k;l) 当k>l时，P(k-1;l)>P(k,l) 当k=l时，P(l,l)=P(l-1;l) 故可得：泊松分布的通项P(k;l)当k由0变到l时，单调上升，并且在k=l时，达到最大值P(l;l)；当k超过l继续变动时，P(k;l)单调下降，即 ìl,l-1,若l为整数k=í15、写出泊松分布和二项分布的分布函数16、设l,若l为非整数îì0ï连续型随机变量X的分布函数为 F(x)=íAx2ï1îx<00£x<1x³1求 (1)常数A (2)概率密度函数 (3)PX<1/2 ；PX>3/2；P0£X£2。 解法一：由于连续型随机变量X的分布函数是连续的 ì0ïx<01=F=limF(x)=limAx2=Af(x)=F'(x)=x¾¾®1x¾¾®1í2x0£x<1ïî0x³11/21/2PX<1/2=-òf(x)dx=¥ò2xdx=1/4或PX<1/2=F(1/2)=1/4 0¥¥PX>3/2=f(x)dx=3ò/23ò0dx=0 或/2PX>3/2=1-PX£3/2=1-F(3/2)=1-1=0 212P0£X£2=òf(x)dx=ò2xdx+ò0dx=1或001P0£X£2=F(2)-F(0)=1-0=1 ì0x<0解法二：f(x)=F'(x)=ïí2Ax0£x<1 ïî0x³1由1=ò+¥1-¥f(x)dx=ò02Axdx=AA=1其它同解法一 ì0<x£117、已知随机变量X的概率密度为: f(x)=ïxí2-x1<x£2 ïî0其它求 (1)分布函数F(X) (2) PX<0.5,PX>1.3,P0.2<X<1.2 解: (1) F(x)=PX£x=òx-¥f(x)dx ìï0x£0xïxïò0xdx=220<x£1=í1ïxdx+x(2-x)dx=2x-21<x£2ïò0ò11x/2-1ïîò0xdx+ò21(1-x)dx+òx20dx=1x>22)解法一PX<0.5=F(0.5)=1/8 PX>1.3=1-F(1.3)=1-æçç1.32öè2´1.3-2-1÷÷ø=0。245 ( P0.2<X<1.2=F(1.2)-F(0.2)=0.66 :分别求积分 P(X>1.3)=ò+¥1.3f(x)dx,PX<0.5=ò0.5-¥f(x)dx,P0.2<X<1.2=òf(x)dx, 0.21.218、设随机变量X服从参数为的q指数分布,确定常数c,使PX>C=1 2ìqe-qx,x>0解：指数分布的密度函数为f(x)=í î0,x£0 PX>c=1-PX£c=1-ò=1-ò0c-¥00c-¥f(x)dx f(x)dx-òf(x)dx c0=1-ò0dx-òqe-qxdx=e-cq=-¥1 2c=ln2q19、某种电子元件的寿命X(以小时计)具有以下概率密度 ì1000ï,x>1000f(x)=íx2 ï其他î0,现有一大批此种电子元件(是否损坏相互独立),从中任取5只,求至少取得2只其寿命大于1500小时的概率. 解；此相当于5重贝努利试验，用X表示寿命大于1500小时的只数 PX>1500=1-PX£1500=1-ò =1-ò1000-¥1500-¥f(x)dx f(x)dx-ò15001000f(x)dx =1-ò =1000-¥0dx-ò1000dx 1000x215002 3则PX³2=1-PX=0-PX=1 æ2ö =1-Cç÷è3ø050232æ1ö1æ2öæ1ö ç÷-C5ç÷ç÷=è3øè3øè3ø24351420、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布, 其概率密度为 ì1-x/5ïe f(x)=í5ïî0x>0其它某顾客的习惯是,等待时间超过10分钟便离开,现知他一个月要到银行5次,求他受到服务的次数不少于1的概率. 分析: 顾客一个月到银行5次，每去一次只有两种结果：受到服务和没受到服务，所以相当于5重贝努利试验 等待10分钟受到服务的事件记为A=X£10 P(A)=PX£10=ò10-¥f(x)dx=ò1001-x/5edx=1-e-2 5设顾客一个月内受到服务的次数为Y 要求的是PY³1 Yb(5,1-e-2)PY³1=1-PY=0=1-(e(-2)5»0.998 21、设XN(3,22)，求 (1).P2<X£5;P-4<X£10;PX>2,PX>3 (2)确定c使PX>c=PX£c. æ5-3öæ2-3öæ1ö解：P2<X£5=Fç÷-Fç÷=F(1)-Fç-÷ è2øè2øè2ø =0.8413-1+0.6915=0.5328 æ10-3öæ-4-3ö P-4<X£10=Fç÷-Fç÷ 22èøèø=F(3.5)-F(-3.5)=2F(3.5)-1=0.9996 PX>2=PX<-2ÈX>2=PX<-2+PX>2 æ-2-3öæ2-3ö =Fç÷+1-Fç÷ 22èøèø =F(-2.5)+1-F(-0.5)=0.6977 æ3-3ö PX>3=1-PX£3=1-Fç÷=1-0.5=0.5 2èø QPX>c=PX£c 1-PX£c=PX£c 1=2PX£c 1=PX£c 2c-3æc-3ö1即Fç=0Þc=3 ÷= 2è2ø2 22、由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数m=10.05,s=0.06的正态分布。规定长度在10.05±0.12内为合格品。任取一螺栓，求其不合格的概率. 解：设螺栓的长度为X 10.05-0.12<X£10.05+0.12 所求概率为1-Pæ10.05+0.12-10.05öæ10.05-0.12-10.05ö=1-Fç÷+Fç÷ 0.060.06èøèøæ0.12öæ0.12ö=1-Fç÷+Fç-÷=0.0456 è0.06øè0.06ø所以不合格率的概率为0.0456. 23、某厂生产的某种建筑材料的强度X服从参数为m=180,s=10的正态分布.一购货方在一大批材料中任取了10件,声称有多于2件的材料强度低于160便拒绝接收.问这批材料被接收的概率是多少? 解：用x表示材料的件数 æ160-180öPX³160=Fç÷=1-F(2)=0.0228 10èø则x服从参数为np=10´0.0228»0.2的泊松分布 所求为1-PX³3，查表得1-PX³3=1-0.0011=0.9989 24、求标准正态分布上a分位点。z0.01 , z0.003 解 PX>z0.01=0.01,即PX£z0.01=1-0.01=0.99F(z0.01)=0.99查表得z0.01=2.33.同理得z0.003=2.7525、28、31、盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数. (1)求X、Y的联合分布律 (2)求(X、Y)的边缘分布律 (3)X、Y是否相互独立 解： X p 0 1 2 3 1/35 12/35 18/35 4/35 (3)PX=1,Y=2=12/35,PX=2=18/35，PY=1=4/7 721284 ¹=24535245所以X与Y不相互独立. 26、设随机变量的概率密度为 PX=2PY=1=ìke-3x-4yf(x,y)=íî0,x>0,y>0其他求常数k；P0<X<1,0<Y<2;(3)分布函数。设随机变量的概率密度为 ìx2+xy/3,0£x£1,0£y£2，求pX+Y³1。设二维随机变量f(x,y)=í0,其他î的概率密度为 ìe-y0<x<y，求边缘概率密度。 f(x,y)=í0,其他î30、33、如右图，设二维随机变量(X、Y)的概率 密度为 ì3ïxf(x,y)=í2ïî0+¥0<x<1,-x<y<x其它(1)求边缘概率密度 (2) X、Y是否相互独立. fX(x)=ò-¥f(x,y)dy 当0<x<1时fX(x)=òf(x,y)dy=ò-x+x3xdy=3x2 -x2+xì3x2fX(x)=íî0+¥-¥0<x<1其它 同理 fY(y)=òf(x,y)dx当 -1<y<1时ì333ï(1-y2)2fY(y)=òxdx=(1-y)fY(y)=í4|y|24ïî010<x<1其它ì92ïx(1-y2)(2)fX(x)fY(y)=í4ï0î0<x<1且-1<y<1其它 显然 fX(X)fY(Y)¹f(X,Y) X与Y不是相互独立的. 32、设分布规律为 X Y 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a b 问a、b取何值时，X，Y相互独立？ 解：先求边缘分布律即得： 12，b=时X与Y相互独立 9934、设X、Y是相互独立的随机变量，且都服从上的均匀分布。试求方a=程x2+Xx+Y=0有实根的概率. 分析: x2+Xx+Y=0有实根ÛX2-4Y2³0 所以,所求为PX2-4Y2³0 这样,该题可看作二维随机变量 (X、Y)的概率计算,先求(X、Y)的联合概率密度. 由已知 ì1fY(y)=íî00<y<1其它ì1fX(x)=íî00<x<1其它X与Y相互独立 ì1f(x,y)=fX(x)fY(y)=íî0G0<x<1且0<y<1其它PX2-4Y³0=òòf(x,y)dxdy =òòdxdy=òdxòG101x2/40dy=1 1235、设X、Y是两个相互 独立的随机变量， X在上的均匀分布，Y的概率密度为 e-y/2ìïy>0 fY(y)=í 2ïy<=0î0(1)求X和Y的联合概率密度； 求关于s的二次方程s2+2Xs+Y=0有实根的概率。 解：XU(0,1) ì1,0<x<1 fX(x)=í î0,其它 QX、Y相互独立 X、Y的联合概率密度为： yì1-2ï，0<x<1,y>0 =fX(x)fY(y)=í2e fïî0,其它当D=4(X2-Y)³0时，方程有实根 P4X2-Y³0=PX2³Y (10)Y=òdXòX201-2edY=0.1445 238、设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度为 fX(x)=íìle-lxx>0x<=0î0y>0y<=0 fY(y)=íìme-myî0其中l>0,m>0,为常数。引入随机变量Z=í条件概率密度 求Z的分布规律。 ì1,î0,X£YX>Y解：解法一 QX、Y相互独立 ìle-lx,x>0fXY(xy)=fX(x)=í î0,x£0ìle-lx,x>0f(x,y)fX(x)fY(y)独立 =fX(x)=í解法二 fXY(xy)= fY(y)fY(y)0,x£0îPZ=0=PX>Y， PZ=1=PX£Y ìlme-(lx+my),x>0,y>0 Qf(x,y)=í 0,îPX>Y=ò+¥0dxòlme-(lx+my)dy 0x=ò+¥0l(1-e-mx)e-lxdx=mm+l又PX£Y=1-PX>Y=分布律为 Z P lm+l0 1 mm+llm+l39、某类电子管的寿命X的概率密度为 ì100ï f(x)=íx2ïî0x>100 x£100求一架无线电在最初使用的150个小时中，所装的3个这样的电子管都不需要替换的概率是多少 ？3个管子全需替换的概率是多少？ 解：PX>150=ò1002 dx=150x23三个电子管的寿命相互独立，此实验相当于3重贝努利实验， 以Y表示使用150小时不需要换的电子管的个数 +¥3æ2öPY=3=C3ç÷è3ø38æ1ö ç÷=327èø301æ2öæ1ö PY=0=Cç÷ç÷=27è3øè3ø03040、设随机变量X分布规律为 X Pk 求Y=2X+1的分布律。 2-1 0.3 0 0.4 1 0.3 解： X 1 0 1 Y 3 1 3 P 0.3 0.4 0.3 所以Y的分布律为 Y 1 3 P 0.4 0.6 41、设随机变量X的分布规律为 0 1 -2 -1 X Pk 1/5 1/6 1/3 1/15 求Y=2X2的分布律。 3 11/30 解:Y的分布律为 Y P 0 1 4 9 11711 55303042 、 设XY=X ，并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为 ì1000ï,x>1000 f(x)=íx2 ï其他î0,X的概率密度解： Y解：设X表示电子管的寿命，Y表示寿命小于180的电子管数 求Z=æ180-160ö PX<180=Fç÷=F(1)=0.8413 20èø 则YB(4,08413) 0(1-0.8413)=0.00063 PY=0=C44 所以0.00063 51、设X、Y为相互独立的随机变量,它们都服从N(0,s2)分布.证明ìz-z2/2s2ïeX2+Y2的概率密度为. fZ(z)=ís2ïî0z³0其它Z= 解: (X、Y)的联合概率密度函数1-(x2+y2)/2s2f(x,y)=fX(x)fY(y)=e22psz<0时FZ(z)=0 FZ(z)=PX2+Y2£zz³0时FZ(z)=òòf(x,y)dxdy W=ò201-r2/22dòerdr 0.22z=1s2´(-s)ez2-r2/2s2|=1-e z0-z2/2s2fZ(z)=s-ze22/2s2ìz-z2/2s2ïefZ(z)=ís2ïî0z³0其它25、28、31、盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只数,以Y表示取到红球的只数. (1)求X、Y的联合分布律 (2)求(X、Y)的边缘分布律 (3)X、Y是否相互独立 解：X、Y的联合分布律为： Y X 0 1 2 3 0 0 0 23C32C2C3C2 44C7C71 0 22C2C2 4C7112C3C2C2 4C7121C3C2C2 4C711C32C2C2 4C72C32C2 4C731C3C2 4C72 0 (X、Y)的边缘分布律为： 0 1 X Y 0 0 0 1 0 6/35 2 1/35 6/35 1/35 12/35 Pi· 2 3/35 12/35 3/35 18/35 3 2/35 2/35 0 4/35 P·j 5/35 20/35 10/35 (3) PX=1,Y=2=12/35,PX=2=18/35，PY=1=4/7 721284¹= 24535245所以X、Y不相互独立 45、设X、Y的分布律为 PX=2PY=1=X 0 Pk 1/2 1 3/8 2 1/8 Y Pk 0 1/3 1 2/3 且X、Y相互独立，求X+Y的分布律。 解：设Z=X+Y，Z的可能取值为0、1、2、3 PZ=0=PX=0,Y=0=PX=0PY=0=111´= 236分布律为： 0 1 111 P 62447、X、Y独立同分布，概率密度函数为 X+Y 2 7 243 1 12ìe-x,x>0 f(x)=íî0,x£0求X+Y及X-Y的概率密度。 解：令Z=X+Y 代公式fZ(z)=ò+¥-¥f(x,z-x)dx +¥ =òfX(x)fY(z-x)dx -¥ìx>0ìx>0当í时，即í时fX(x)fY(z-x)不为0 z-x>0z>xîî所以当x<0时，fZ(z)=0 当x³0时，fZ(z)=òz0e-x×e-(z-x)dx=ze-z ìxe-x,x³0fZ(z)=í 0,x<0î令Z=X-Y 代公式fZ(z)=ò+¥-¥f(x,x-z)dx =òfX(x)fY(x-z)dx -¥+¥ìx>0ìx>0当í时，即í时fX(x)fY(x-z)不为0 îx-z>0îx>z所以当z>0时，fZ(z)=当z£0时，fZ(z)=ò+¥ze-xe-x+zdx=1-ze 2ò+¥0e-xe-x+zdx=1ze 2ì1zï2e,z£01-z fZ(z)=í=e 1-zïe,z>02î249、解：代公式fZ(z)=ò+¥-¥yf(yz,y)dy ìx>0ï 非零域为íy>1000 ïyz>1000î当z<0时，fZ(z)=0 当0<z<1时 fZ(z)=ò1000yf(yz)f(y)dy=ò1000yzz+¥+¥100010001dy= 2222yzy+¥当z>1，fZ(z)= ò+¥1000yf(yz)f(y)dy=ò1000y100010001dy= y2z2y22z2