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概率论与数理统计知识点总结概率论与数理统计 第一章随机事件及其概率 §1.1 随机事件 一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率 古典概型公式：P=A所含样本点数W所含样本点数实用中经常采用“排列组合”的方法计算 补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=？ 所含样本点数：n×n×.×n=n 所含样本点数：n×(n-1)×(n-2)×.×1=n! P(A)=n!nnn补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？ 解：设Ai ：“信箱中信的最大封数为i”。(i =1,2,3)求：P(Ai)=？ 3所含样本点数：4×4×4=4=64 A1所含样本点数：4×3×2=24 P(A1)=2464=38 1 A2所含样本点数： C23×4×3=36 P(A2)=3664=916A3所含样本点数：C33×4=4 P(A13)=464=16注：由概率定义得出的几个性质： 1、0<P<1 2、P()=1，P() =0 §1.3 概率的加法法则 定理：设A、B是互不相容事件，则： P=P+P 推论1：设A1、 A2、 An 互不相容，则 P(A1+A2+.+ An)= P(A1) + P(A2) + P(An) 推论2：设A1、 A2、 An 构成完备事件组，则 P(A1+A2+.+ An)=1 推论3： P=1P 推论4：若BÉA，则P(BA)= P(B)P(A) 推论5： 对任意两个事件A与B，有P(AB)=P(A)+P(B)P(A B)补充对偶律： A1ÈA2È.ÈAn=A1ÇA2Ç.ÇAn2 A1ÇA2Ç.ÇAn=A1ÈA2È.ÈAn§1.4 条件概率与乘法法则 条件概率公式： P(A/B)=P(AB) P(B)P(B/A)= P(AB)P(A)P=PP= PP 有时须与P=P+PP中的P联系解题。 全概率与逆概率公式： 全概率公式： nP(B)=逆概率公式： åP(A)P(B/A) iii=1P(Ai/B)=P(AiB)P(B) (i=1,2,.,n) §1.5 独立试验概型 3 事件的独立性： A与B相互独立ÛP(AB)=P(A)P(B) 贝努里公式：课本P24 另两个解题中常用的结论 1、定理：有四对事件：A与B、A与B、A与B、A与B，如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。 2、公式：P(A1ÈA2È.ÈAn)=1-P(A1×A2×.×An) 第二章 随机变量及其分布 一、关于离散型随机变量的分布问题 1、求分布列：确定各种事件，记为x写成一行； 计算各种事件概率，记为p k写成第二行。得到的表即为所求的分布列。注意：应符合性质 1、pk³0 2、åpk=1 k补例1：将一颗骰子连掷2次，以x 表示两次所得结果之和，试写出x的概率分布。解：所含样本点数：6×6=36 所求分布列为： x pk 补例2：一袋中有5只乒乓球，编号1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以x表示取出3只球中最大号码，试写出x的概率分布。 4 234567891011121/362/363/364/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 解：所含样本点数：C5=10 所求分布列为： p k 1/10 3x 3 453/106/102、求分布函数F(x)： 分布函数 F(x)=Px£x=åxk£xpk 二、关于连续型随机变量的分布问题： "xxR，如果随机变量x的分布函数F可写成F=ò-¥f(x)dx，则x为连续型。f(x)称概率密度函数。 解题中应该知道的几个关系式： f(x)³0 ò-¥f+¥(x)dx=1 Pa£x£b=Pa<x<b=F(b)-F(a)=òf(x)dxab第三章 随机变量数字特征 一、求离散型随机变量x 的数学期望Ex =？ 数学期望Ex=åxkkpk 5 二、设x 为随机变量，f(x)是普通实函数，则=f(x)也是随机变量，求E=?x pk = f(x) x1 p1 y1 x2 p2 y2 xk pk yk 以上计算只要求这种离散型的。 补例1：设x的概率分布为： x pk 1 150 1101 1102 310523102求：h=x-1，h=x的概率分布；Eh。 解：因为 x pk =x1 =x2 1 150 1101 1102 31052310322542 1 1 0 0 1 1 4 所以，所求分布列为： =x1 pk 和： =xpk 6 2 151 1100 1101 310323102 1 150 1101 1104 310254310当=x1时，E=E =2×+(1)×+0×+1×+×5101010210 =1/4当=x时，E=E x=1×+0×+1×+4×+5101010 =27/8 三、求x 或的方差Dx =？ D=？ 22实用公式Dx=ExEx 222其中，Ex=(Ex)=(åxkpk) k22xEx =åkpk k111333221113254×310补例2：x pk 求：E x 和D x 2 0.4 0 0.3 2 0.3 解：Ex=2×0.4+0×0.3+2×0.3=0.2 Ex2=2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 Dx=Ex2Ex=2.82=2.76 2第四章 几种重要的分布 常用分布的均值与方差 名称 概率分布或密度 期望 方差 参数 范围 7 二项分布 Px=k=Cnpqkkn-k0<P<1 n p n p q q=1p (k=0,1,2,.,n)(x-m)2s22正态分布 f(x)=12p×s-×e,s2任意 xÎ(-¥，+¥).s，m为常数.>0 泊松不要求 分布 >0 指数不要求 分布 11ll2>0 解题中经常需要运用的E x 和D x 的性质 E x的性质 D x 的性质 E(c)=cD(c)=0 8 E(x±h)=Ex±Eh若x、h独立，则D(x±h)=Dx+Dh若x、h独立，则 E(xh)=Ex×EhE(cx)=c×ExD(cx)=c×Dx2第八章 参数估计 §8.1 估计量的优劣标准 若总体参数的估计量为q，如果对任给的>0，有 limPq-q<e=1，则称q是的一致估计； n®¥ 如果满足E(q)=q，则称q是的无偏估计； 如果q1和q2均是的无偏估计，若D(q1)<D(q2)，则称q1是比q2有效的估计量。 §8.3 区间估计： 几个术语 1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量q1(x1，.，xn)及q2(x1，.，xn)，对于给定的a满足： 9 Pq1(x1，.，xn)<q<q2(x1，.，xn)=1-a 则称随机区间是q的100的置信区间，q1和q2称为q的100的置信下、上限，百分数100称为置信度。 一、求总体期望E x 的置信区间 1、总体方差s2已知的类型 据a，得F0(Ua)1，反查表得临界值Ua； 2ax=1nnåi=1xi 求d=Ua×s 置信区间-d， 补简例：设总体XN(m,0.09)随机取4个样本其观测值为12.6，13.4，12.8，13.2，求总体均值的95%的置信区间。 解：1=0.95，=0.05 =1=0.975，反查表得：U=1.96 2aX=14å4i=1Xi=14(12.6+13.4+12.8+13.2)=13 =0.29 =0.3，n=4 d=Ua×sn=1.96´0.34所以，总体均值的=0.05的置信区间为： =即 2、总体方差s未知的类型 据a和自由度n1，查表得ta(n-1)； 2 10 确定x=1nixåni=1和s=sn2(x-xån-1i=11ni)2求d=ta(n-1)× 置信区间 注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。 二、求总体方差s2的置信区间 据和自由度n1，查表得临界值： 确定X=1nica(n-1)222和c21-a2(n-1) 2xåni=12和s=(Xån-1i=11n-xi) 2(n-1)s1-2(n-1)s2上限c2(n-1) 下限c2(n-1) aa置信区间 典型例题： 补例1：课本P166之16 已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下: 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计。 解：=0.04，又n=10，自由度n1=9 c(n-1)c2(9)a查表得，=0.02=19.7 22c21-a2(n-1)=c2(9)=2.53 0.98 11 X=2å10i=12110xi=19110(482+493+.+469)=457.5 s=1910åi=1(X-xi)=(457.5-482)2+(457.5-493)2+(457.5-469)2 =1240.28 (n-1)s22上限c2(n-1)=2=c(9)a0.981-(n-1)s229s29´1240.282.53=4412.06 下限c2(n-1)=2=c0.02(9)a9s29´1240.2819.7=566.63 所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为 第九章 假设检验 必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准 一般思路： 1、提出待检假设H0 2、选择统计量 3、据检验水平a，确定临界值 4、计算统计量的值 5、作出判断 检验类型：未知方差s2，检验总体期望(均值) 根据题设条件，提出H0:m= m0(m0已知)； 选择统计量T=X-ms/nt(n-1)； 12 据a和自由度n1，查表得ta(n-1)；由样本值算出X？和s？从而得到T0作出判断 =X-ms/n； ìï若T0<ta(n-1)，则接受H0í 若T>t(n-1)，则拒绝Hï0a0î典型例题： 对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据为：545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2 ，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？ 解：H0:m= 549 选择统计量T=X-ms/nt(n-1) a=0.05，n1=4，查表得：t0.05(4)=2.776 又X=s2=1514(545+.+545)=543 2(545-545)+.+(543-545)=57.5 2T0=X-ms/n=543-54957.5/5=1.77<2.776 接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。 检验类型：未知期望(均值)，检验总体方差s2 根据题设条件，提出H0:s= s0(s0已知)； 13 选择统计量c2(n-1)=(n-1)×s2s2； 据a和自由度n1，查表得临界值：c21-a2(n-1)和c2a2(n-1)； 2由样本值算出X？和s？从而得到c0若c21-(n-1)=(n-1)×s2s2； a2(n-1)<c2(n-1)<c02a2(n-1)则接受假设，否则拒绝! 补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差s2=64，今从一批产品中抽10根作折断力试验，试验结果：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。 是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64？ 解： H0:s=64 选择统计量c2(n-1)=(n-1)×s2s2a=0.05，n1=9，查表得： cc21-a2(n-1)=c20.975(9)=2.7 2a2(n-1)=c20.025(9)=19 又X=s2=110(578+.+570)=575.2 2192(575.2-578)+.+(575.2-570)=75.73 2c0(n-1)=9´75.7364=10.65 14 c20.975(9)=2.7<c02(n-1)=10.65<c20.025(9)=19 接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是64。 15