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概率论与数理统计期末考试复习题概率论与数理统计复习题 一、 填空题 1 事件A、B、C中至少有一个发生可用A、B、C表示为AÈBÈC 2 若事件A、B满足P(B|A)=P(B)，则称A、B_相互独立 3 若随机变量X的分布律为 X 1 0.3 0 0.2 1 0.1 2 0.4 pk 则E(X)=0.6 1.已知P(A)=0.8,P(A-B)=0.5,且A与B独立，则P(B)= 3/8 ; 2.设A,B是两个随机事件，P(A)=0.8,P(AB)=0.4,则P(A-B)= 0.4 ; 3. 设事件A与B相互独立，P(A)=0.4,P(B)=0.5,则P(AB)= 0.7 ; 4. 事件A与B满足P(A)=0.5,P(B)=0.6, P(B|A)=0.8,则P(AB)= 0.7 ; 5.袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，则此两球颜色不同的概率为 4/7 ； 6.某射手每次击中目标的概率为0.28，今连续射击10次，其最可能击中的次数为 3 ; 8. 设随机变量X服从1，5上的均匀分布，当x1<1<x2<5时，P(x1<X<x2)= 10. 设随机变量X的概率分布为 则P(X2x2-1 4X P -1 0 1 2 0.1 0.3 0.2 0.4 ³1)= 0.7 ； 11.设随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(X)=15,D(X)=10,则n= 45 ; ,f(1.5)=0.9332,则P(X>2)=0.3753 ； 14.设随机变量XN(1,4),f(0.5)=0.691515.已知总体XN(0，1)，X1,X2,L,Xn是来自总体X的样本，则åXi=1n2ic2(n) 216. 已知总体XN(m,s2),X1,X2,LXn是来自总体X的样本，要检验H0:s2=s0,则采用的统计量为(n-1)S22s0； 17.设T服从自由度为n的t分布，若P(T>l)=a,则P(T<l)=1-a 218.若q是参数q的无偏估计量，则有E(q)= q ; ,q均为参数q的无偏估计量，若D(q 更有效 . )<D(q)，则q比q19. 若q12121220.在假设检验中，显著性水平a是用来控制犯第一类错误的概率；第一类错误是指 弃真错误 ； 21. 在假设检验中，把符合H0的总体判为不符合H0加以拒绝，这类错误称为 弃真错误 ； 22. 在假设检验中，把不符合H0的总体当成符合H0的总体加以接受，这类错误称为 第二类取伪错误 ； 25.若随机变量X和Y的数学期望分别为E(X)=0.5,E(Y)=0.7，则E(2X+3Y)=3.1 二、 单项选择题. 1.已知P(A)=p,P(B)=q,且A与B互斥，则A与B恰有一个发生的概率为 A. p+q B. 1-p+q C. 1+P+q D. P+q-2pq 2.设A,B是两个随即变量，若当B发生时A必发生，则定有 A. P(AB)=P(A) B. P=P(A) C. P(B|A)=1 D. P(B|A)=P(A) 3.若A,B之积为不可能事件，即AB=f，则A与B A. 独立 B. 互不相容 C. 对立 D. 相等 4.设P(AB)=P(A)P(B),则A与B( A ) A. 独立 B. 互不相容 C. 对立 D. 相等 5.设随机变量X服从二项分布B(n,p),则D(X)= E(X)1 1-p A. n B. 1-p C. P D. 6.设随即变量X服从正态分布N(m,s2),其概率密度的最大值为 A. 0 B. 1 C. 7. 设随机变量X的概率分布为 12p2 D. (2ps)-12 P 1 a 1 b 64 则a,b分别等于 1115 A. a=,b= B. a=,b= 641212X 1 2 3 4 C. a=1211,b= D. a=,b= 1215438. 已知总体XN(m,s2),X1,X2,LXn是来自总体X的样本，则样本均值X所服从的分布为 A. N(0,1) B. N(m,s2n) C. N(m,s2) D. N(nm,ns2) 9.在总体中抽取容量为5的样本，其样本观察值为2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，则其样本均值为 A. 2.2 B. 2.3 C. 2.4 D. 0.001 10.设总体XN(m,s2),s2已知，先从总体中抽取容量为n的样本，X及S2分别为样本均值和样本方差，则m的置信度为1-a的置信区间为 求该数是奇数的概率；求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有5´5´4=100个。该数是奇数的可能个数为4´4´3=48个，所以出现奇数的概率为 48=0.48 100该数大于330的可能个数为2´4+5´4+5´4=48，所以该数大于330的概率为 48=0.48 100ìlx1. 设随机变量X的概率密度函数为 j(x)=íî0+¥2(0<x<2)其它 ，求常数l E(X) (3) P(1<X<3) 解：根据1=-¥òf(x)dx=òlxdx=2l，得到l=01； 2E(X)=124xdx=； ò2302P1<X<3=13； xdx=ò2412ìlx42. 设随机变量X的概率密度函数为 j(x)=íî0求常数l P(X>+¥1(0<x<1)其它， 1) 2解：根据1=-¥òf(x)dx=òlx4dx=0l5，得到l=5； 1314PX>=ò5xdx= 232121ìax+b3. 设随机变量X的概率密度函数为 j(x)=íî0求常数a,b +¥1(0£x£1)其它且E(X)=7/12, ，解：由 -¥+¥òj(x)dx=ò(ax+b)dx=010a+b=1 2E(X)=òxj(x)dx=òx(ax+b)dx=-¥ab7+= 3212解得 a=1,b=1. 20£x£1， 确其他4. 一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，ìkx2以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为f(x)=íî0定k；求PX£；求P+¥113112£X£；求PX>。 423k，得到k=3； 3解：根据1=-¥òf(x)dx=òkx2dx=01PX£=31/31æ1ö23xdx=； ç÷ò327èø03117æ1öæ1ö2P£X£=ò3xdx=ç÷-ç÷=； 421/42464èøèø219æ2ö2PX>=ò3xdx=1-ç÷=。 327è3ø2/35. 一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。 解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A，“另一只也是红球”记为事件B。则事件A的概率为 131/23322215P(A)=2´´+´= 43436所求概率为 21´P(AB)431P(B|A)= 5P(A)566. 一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。 解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有 P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=10%´85%+90%´4%=12.1%， 所以，根据条件概率得到所要求的概率为 P(B|A)=P(BA)P(B)P(A|B)10%(1-85%)=17.06% P(A)1-P(A)1-12.1%即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%. 7. 在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。 解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A，“一讯息是可信的”记为事件B。根据Bayes公式，所要求的概率为 P(B|A)=P(AB)P(B)P(A|B)95%´1=99.9947%P(A)P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)95%´1+5%´0.1%8. 计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？ 解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件M，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件N1,N2,N3。则根据全概率公式有 P(M)=åP(N)P(M|N)=0.6´0.01+0.3´0.05+0.1´0.04=0.025， iii=13根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为 P(N1|M)=P(N1)P(M|N1)0.6´0.01=0.24， P(M)0.025P(N2)P(M|N2)0.3´0.05=0.60， P(M)0.025P(N3)P(M|N3)0.1´0.04=0.16。 P(M)0.025P(N2|M)=P(N3|M)=9. 在一批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。 解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为 31221C10C2C10C2C10691， 。 p0=3=， p1=p=2332222C1211C12C12所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为 E=6911´0+´1+´2=(台)。 112222210. 在美国，致命的汽车事故所占的比例X的概率密度为 ì42x(1-x)5,0<x<1f(x)=í， 其他î0,求X的数学期望。 +¥1251解：E(X)=-¥26 xf(x)dx=42x(1-x)dx=-7xd(1-x)òòò00=-7x(1-x)=1/4。 261+ò14x(1-x)dx=ò-2xd(1-x)=-2x(1-x)67000117101+ò2(1-x)7dx0)，今取得一11. 以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命，设XN(m,1296容量为n=27的样本，测得其样本均值为x=1478，求m的置信水平为0.95的置信区间，m的置信水平为0.90的置信区间。 解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的结论，m的置信水平为1-a的置信区间为ççx±æèsöZa/2÷÷。 nøm的置信水平为0.95的置信区间为 æö1296ç1478±÷Z48´1.96=(1478±13.58)=(1464.42,1491.58)。 0.025÷=1478±ç27èøm的置信水平为0.90的置信区间为 ()æö1296ç1478±Z0.05÷=1478±48´1.645=(1478±11.40)=(1466.60,1489.40)。 ç÷27èø()12. 以X表示某种小包装糖果的重量，设XN(m,4)，今取得样本： 55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93, 58.30, 52.57, 58.46 求m的置信水平为0.95的置信区间。 解：计算得：x=56.8。 m的置信水平为0.95的置信区间为 æö4ç56.8±÷Z0.4´1.96=(56.8±1.24)=(55.56,58.04)。 0.025÷=56.8±ç10èø()13. 一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从30车葡萄中采样测得的糖含量 16.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.1 15.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.4 15.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8 设样本来自正态总体N(m,s)，m,s均未知。求m的置信水平为90%的置信区间。 解：m,s的无偏估计值为 2221n=x=14.72， s=m(xi-x)2=1.9072。 ån-1i=12m的置信水平为90%的置信区间为 æöæös1.38075çx±t(n-1)÷=ç14.72±´1.6991÷0.05ç÷ç÷=(14.72±0.428)=(14.292,15.148)n30èøèø14. 一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。在面积相同的12块内墙上做试验，记录干燥时间，得样本均值x=66.3分，样本标准差s=9.4分。设样本来自正态总体N(m,s)，m,s均未知。求干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间。 解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间为 22æöæs9.4öçx±t(n-1)÷=66.3±´2.2010ç÷=(66.3±5.97)=(60.33,72.27)。 0.025ç÷n12øèøè16. 设X是春天捕到的某种鱼的长度，设XN(m,s2)，m,s2均未知。下面是X的一个容量为n=13的样本： 13.1, 5.1, 18.0, 8.7, 16.5, 9.8, 6.8, 12.0, 17.8, 25.4, 19.2, 15.8, 23.0 求s的置信水平为0.95的置信区间。 解：根据题中数据计算可得s=37.75。 2s2的置信水平为0.95的置信区间为 æ(n-1)s2ççc2(n-1),è0.025æ(n-1)s2ç,2çc0.025(n-1)è(n-1)s2öæ12´37.7512´37.75ö÷=ç,÷=(19.41,102.86)， 2÷4.404øc0.975(n-1)øè23.337(n-1)s2ö÷=2c0.975(n-1)÷ø所以s的置信水平为0.95的置信区间为 (19.41,102.86=(4.406,10.142)。 )17. 美国公共健康杂志描述涉及20143个个体的一项大规模研究。文章说从脂肪中摄取热量的平均百分比是38.4%，在某一大学医院进行一项研究以判定在该医院中病人的平均摄取量是否不同于38.4%，抽取了15个病人测得平均摄取量为40.5%，样本标准差为7.5%。设样本来自正态总体N(m,s2)，m,s2均未知。试取显著性水平a=0.05检验假设：H0:m=38.4,H1:m¹38.4。 解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题， 检验统计量为 t=40.5-38.47.5/15x-38.4s/n。 代入本题具体数据，得到t=1.0844。 检验的临界值为t0.025(14)=2.1448。 因为t=1.0844<2.1448，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设H0，即认为平均摄取量显著地为38.4%。 19. 一制造商声称他的工厂生产的某种牌号的电池的寿命的方差为5000，为了检验这一主张，随机地取26只电池测得样本方差为7200小时2，有理由认为样本来自正态总体。现需取a=0.02检验假设H0:s2=5000,H1:s2¹5000。 解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验。 检验统计量为 (n-1)s2c=。 500022代入本题中的具体数据得到c=(26-1)´7200=36。 50002检验的临界值为c0)=44.313。 .01(25 因为c2=36<44.313，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设H0，即认为电池寿命的方差为5000小时2。 20. 某种标准类型电池的容量的标准差s=1.66，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下 146，141，135，142，140，143，138，137，142，136 设样本来自正态总体N(m,s2)，m,s2均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设：H0:s2=1.662,H1:s2¹1.662。 解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。 检验统计量为 (n-1)s2c=。 21.6622代入本题中的具体数据得到c=(10-1)´12=39.193。 21.662检验的临界值为c0.025(9)=19.022。 因为c=39.193>19.022，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设H0，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为1.66。 2