概率论与数理统计复习题2及答案.docx
概率论与数理统计复习题2及答案第二章 习题 1下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ 35ö23öæ1æ1÷ç(1)ç (2) ç0.50.30.2÷ç0.70.10.1÷÷ èøèø(3) ç11æ1ö1æ1ö2çç2èç÷2è3øç÷2è3øæ0122LnLönLöæ122n÷ ÷ (4)ç1111æ1öæöæöç÷Lç÷L÷÷ç2ç2÷Lç2÷L÷2è3øèøèøøèøL解 是 0.7+0.1+0.1¹1，所以它不是随机变量的分布列。 1ö1æ1ö1æ1ö31+1æç÷+ç÷+L+ç÷+L=,所以它不是随机变量的分布列。 22è3ø2è3ø2è3ø4¥1öæ1öæ为自然数，且nç÷>0,ç÷=1，所以它是随机变量的分布列。 åè2øn=1è2ø2nnn2设随机变量x的分布列为：P(x=k)=k,k=1,2,3,4,5，求(1)P(x=1或x=2); 1515(2P(<x<) ； (3) P(1£x£2)。 22121=; 解 (1) P(x=1或x=2)=+15155151(2) P(<x<)=P(x=1)+P(x=2)=; 2251(3) P(1£x£2)=P(x=1)+P(x=2)=. 52ö3 解 设随机变量x的分布列为P(x=i)=C×æç÷,i=1,2,3。求C的值。 è3ø2æ2ö解 Céê+ç÷êë3æ2ö+ç÷è3øè3ø23iù，所以Cú=1úû=27。 384 一个口袋中装有m个白球、n-m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了x个白球，求x的分布列。 解 设“x=k”表示前k次取出白球，第k+1次取出黑球，则x的分布列为： P(x=k)=m(m-1)L(m-k+1)(n-m),k=0,1,L,m. n(n-1)L(n-k)6 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0<p<1)，设x为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求x的分布列。 解P(x=k)=qk-1p+pk-1q,k=2,3,L，其中q=1-p。 ì1-(1+x)e-xx³07 设随机变数x的分布函数为F(x)=í，求相应的密度函数，x<0î0并求P(x£1)。 解：d1-(1+x)e-x=xe-x，所以相应的密度函数为 dxìxe-xp(x)=íî0x³0 x<0P(x£1)=F(1)=1-2。 e9 随机变数x的分布函数为F(x)=A+Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。 pp解：因为limF(x)=A+B(-)=0， limF(x)=A+B=1 x®-¥x®+¥22所以 A=11111,B=，因而 F(x)=+arctgx,p(x)=F¢(x)=。 2p2pp(1+x2)ìxï10 已知随机变数x的密度函数为p(x)=í2-xï0î0<x£11<x£2 其它 求相应的分布函数F(x)； 求P(x<0.5),P(x>1.3),P(0.2<x<1.2)。 x£0ì0ïx12ydy=x0<x£1ïïò02解：F(x)=í1 x12ïòydy+ò(2-y)dy=2x-x-11<x£212ï0ïx>2î118P(x>1.3)=1-P(x£1.3)=1-F(1.3)=0.245 P(0.2<x<1.2)=F(1.2)-F(0.2)=0.66P(x<0.5)=F(0.5)=12 某城市每天用电量不超过一百万度，以x表示每天的耗电率，它具有分布密度为 ì12x(1-x)20<x<1 p(x)=í0其它î若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？ 解： P(x>0.8)=ò12x(1-x)2dx=0.0272 0.81 P(x>0.9)=ò12x(1-x)2dx=0.0037 0.91因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。 13 设随机变数x服从上的均匀分布，求方程4x2+4xx+x+2=0有实根的概率。 解：当且仅当 (4x)2-16(x+2)³0 x³2或x£-1。成立时，方程4x2+4xx+x+2=0有实根。不等式的解为： 因此，该方程有实根的概率 p=P(x³2)+P(x£-1)=P(x³2)=ò5213dx=。 5514 某种电池的寿命x服从正态N(a,s2)分布，其中a=300，s=35 (1) 求电池寿命在250小时以上的概率； 求x，使寿命在a-x与a+x之间的概率不小于0.9。 x-300>-1.43) 解：P(x>250)=P(35x-300<1.43)=F(1.43)»0.9236； =P(35xx-300x< P(a-x<x<a+x)=P(-<） 353535xxx =F-F(-)=2F-1³0.9 353535xx即 F³0.95，所以 ³1.65 即 x³57.75 353516. 设F1(x)与F2(x都是分布函数，又a>0,b>0是两个常数，且a+b=1。证明 F(x)=aF1(x)+bF2(x) 也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为F1(x)与F2(x都是分布函数，当x1<x2时，F1(x1)£F1(x2)，F2(x1)£F2(x2)，于是 F(x1)=aF1(x1)+bF2(x1)£aF1(x2)+bF2(x2)=F(x2) 又 x®-¥limF(x)=limaF1(x)+bF2(x)=0 x®-¥x®¥limF(x)=limaF1(x)+bF2(x)=a+b=1 x®¥F(x-0)=aF1(x-0)+bF2(x-0)=aF1(x)+bF2(x)=F(x) 所以，F(x)也是分布函数。 取a=b=1，又令 2ì0x£0F1(x)=íî1x>0x£0ì0ïF2(x)=íx0<x£1 ï1x>1î这时 ì0ï1+xF(x)=íï2î1x£00<x£1 x>1显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。
