概率统计2同步练习.docx

概率统计2同步练习第一部分 同步练习 (加*号的工科学生选作, 题前加*较难选作) 题中需要的数据：F(x)=normsdist(x)： x F(x) 1 0.841 1.5 0.9332 1.645 0.95 1.96 0.975 2 0.977 2.5 0.9938 2ta(n)=tinv(2a,n),ca(n)=chiinv(a,n),Fa(n1,n2)=finv(a,n1,n2): 2t0.025(5)=2.57 , t0.025(9)=2.262, t0.005(18)=2.878, c0.025(8)=17.535, 222c0.975(8)=2.18, c0.05(9)=16.9, c0.95(9)=3.33, F0.005(9,9)=6.54, F0.05(1,6)=5.987,F0.05(1,8)=5.32 第一章 随机变量 一、计算 1A,B是两个随机事件，且P(A)=0.4,P(AUB)=0.7, (1) 若A,B互不相容，求P(B),P(AIB)； (2) 若A,B相互独立，求P(B)； (3) 若P(A|B)=0.5，求P(B),P(B|A). 210件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求：另一件也是不合格品的概率。 3一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件为不合格品的概1 (i=1,2,3)，求：3个零件中恰有2个合格的概率。 1+i11114四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，5436率为pi=求：密码能被译出的概率。 5已知10件产品中有3件次品，从中有放回抽取3次，求：(1) 所取到的3件产品中合格品数X的概率分布; (2) P(X=2)。 6设随机变量X服从参数为l的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2) 求: (1) l; (2)P(X³1)。 7. 随机变量X的概率分布为 X P -1 0.1 0 1 0.2 2 0.4 a 2求：(1)常数a；(2)Y=X的概率分布；(3)求P(Y³1). 8设随机变量X服从-1,2的均匀分布，求：(1) P(X<0); (2) 若Y表示对X进行三次独立重复观察中“X<0”出现的次数，求 P(Y=)。 x2-4x+4-9设随机变量XN(m,s2)，其密度函数f(x)=1e，求：(1)m；s2；88p(2) 若已知ò-¥f(x)dx=còc+¥f(x)dx,求：c；(3)P(0<X<4)。 10设随机变量X的分布函数 x<-1;ì0,ï0.4,-1£x<1; F(x)=ï，求：X的分布列。 íï0.8,1£x<3;ïx³3.î1,11设随机变量X的概率密度函数为f(x)=íìïkx,0£x£1;ï0,其它.î(1) 求常数k；求X的分布函数F(x)；求P(X>1)。 412设随机变量X:N(m,1), 且P(X<2)=0.8413 求：m；Y=X-m服从什么分布；P(|Y|<1)。 ì1+Be-x,x>0;13设随机变量X的分布函数F(x)=í 0,其它.î求：B的值；概率P(-2<X<1)。 14. 随机变量X服从0,4上的均匀分布，Y=X-1,求：Y的密度函数. 2 二、应用题 1. 袋中有大小相同的红球4只，黑球4只，现从中任意取2只，求：此两球颜色不同的概率. 2从1,2,L,10中任取3个号码。求：最大号码是5的概率；最小号码是5的概率(3)最小号码不小于5的概率。 3甲、乙、丙三机床独立工作由一名工人照看，某段时间内它们不需要工人照看的概率依次为321、，求在这段时间内有一台机床需要工人照看的概率及恰243有1台机床需要工人照看概率。 4某人下午5点下班，他所积累的资料如下： 到家时间 乘地铁到家的概率 乘汽车到家的概率 5:355:39 5:405:44 0.10 0.30 0.25 0.35 5:455:49 0.45 0.20 5:505:54 迟于5:54 0.15 0.10 0.05 0.05 某天他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。 5. 某保险公司的条件表明，新保险的汽车司机中可划为两类：第一类人易出事故，在一年内出事故的概率为0.4，第二类的人为谨慎的人，在一年内出事故的概率为0.2。假设第一类人占新保险司机的30%，那么一个新保险户在买保险单后一年内出事故的概率是多少？ 6一袋中有10个球，其中3个白球，7个红球。现采用不放回方式从中取球两次，每次1个。求：第二次才取到白球的概率；第二次取到白球的概率。 7 由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3:2:1，各车间产品的不合格率依次为8%、9%和12%. 现从该厂产品中任意抽取一件，求：取到不合格产品的概率；若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。 8. 某人乘车或步行上班，他等车的时间X(单位:分钟)服从指数分布xì1-15ïeXf(x)=í5ï0îx>0x£0如果等车时间超过10分钟他就步行上班。若该人一周上班5次，以Y表示他一周步行上班的次数。求Y的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率。 9. 某校体检表明学生的身高服从正态分布，学生平均身高为1.70米，1.86米以上的学生占总数的2.3%，求身高在1.62到1.78米之间的学生占总数的百分之几？ 三、证明题 1设A,B是两个随机事件，0<P(B)<1，且P(A|B)=P(A|B)。证明：A与B相互独立。 2设随机变量X服从密度函数f(x)=21。证明：Y=X的密度函数为： 2p(1+x)ìï0fY(y)=íïîpy£01y(1+y)y>0。 第二章 随机向量 一、计算 1设随机向量(X,Y)的概率分布为 Y X 1 2 1 1/6 1/3 2 1/9 a 3 1/18 b 则a,b应满足什么条件；若X与Y相互独立，求a,b。 2设随机向量(X,Y)的概率密度函数 ì6x2y0£x£1,0£y£1 f(x,y)=í 其他î0(1)求X,Y的边缘分布，并判断X,Y是否相互独立；(2)求概率PX>Y。 3. 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度是 1(x+y)ì1-50ïf(x,y)=í2500eï0îx>0,y>0 其他 求：(1) (X,Y)关于X的边缘密度函数； (2) PX³50,Y³50. 4. 设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度是 ì2e-(x+2y)f(x,y)=íî0x>0,y>0其他求：(1) 求Y的边缘密度函数； (2) PX+Y£1. 5. 设随机变量X服从0,5的均匀分布，Y服从l=5的指数分布，且X与Y相互独立，求：(1)随机向量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)；(2) (X,Y)的联合分布函数*F(x,y)；(3) P(X>4,Y>5)。 6已知(X,Y):N(0,1,4,9,r)，求：X、Y的边缘分布；P(Y>1),当r=0时，计算P(X>2,Y<4)。 7设二维随机向量(X,Y)在矩形区域G=(x,y)0£x£2,0£y£1上服从均匀分布。 记U=íì0X£Yì0X£2Y 求：求(U,V)的联合概率分布；;V=íî1X>Yî1X>2Y(2)*试求边长为X和Y的矩形面积S的概率分布。 二、应用题 甲、乙二人独立地各进行两次射击，已知甲命中率为0.2，乙命中率为0.5，以X，Y分别表示甲、乙命中的次数，求(X,Y)的联合概率分布。 . 袋中有大小、重量完全相同的四个球，分别标有数字1, 2, 2, 3，现从袋中 任取一球，取后不放回，再取第二次。分别以X、Y记第一次和第二次取得球上标有的数字。求：(1) (X,Y)的联合概率分布；(2)X,Y的边缘分布；(3) 判断X与Y是否独立。 3进行打靶，设弹着点A(X,Y)的坐标X和Y相互独立，且都服从N(0,1)分布，规定A落在区域D1=(x,y)|x+y£1得22222分，点A落在区域22D2=(x,y)|1£x+y£4得1分，点A落在区域D3=(x,y)|4<x+y得0分.以Z记打靶的得分.写出(X,Y)的联合分布密度；求Z的分布列。 三、证明题 * 1随机变量X,Y互独立，他们都服从标准正态分布N(0,1)。证明：(1)Z=X+Y22服从l=12的指数分布；(2)W=X+Y服从正态分布。 N(0,2) 第三章 数字特征 一、计算 ìx0<x<1ï1. 设随机变量X的概率密度函数为f(x)=í11£x£1.5，求： ï0其他î (1) EX； (2) DX. ì-1,ï2随机变量X:U(-1,2)，随机变量Y=í0,ïî1,X<0;X=0;，求：Y的方差。 X>0.3已知随机变量X的数学期望EX与方差DX都存在，且DX¹0，随机变量Y=X-EXDX，求：E(Y)，D(Y)；若X:N(m,s)，Y服从什么分布。 24若XB(n,p)，且EX=6,DX=3.6，求： (1) n,p；D(1-2X)。 5设随机变量X服从参数为l的泊松分布，且已知E(X-1)(X-2)=1，求：l。 ìe-x6.设随机变量X的密度函数为f(x)=íî07设随机变量X1服从l=x>0-2X，求E(e). x£01的指数分布，X2的概率密度函数 2ìcxe-x/2,x>0; f(x)=í 0,其它.î求：EX1,DX1；由求c及EX2。 8. 利用正态分布的结论，计算：ò+¥-¥(x-2)-12(x-4x+3)e2dx。 2p22ìx-x22a1ï,x>0;，9已知随机变量X的概率密度函数为f(x)=ía2e求随机变量Y=Xï0,其它.î的数学期望。 ì3xy20£x£2,0£y£1ï10.设随机向量(X,Y)的联合密度函数f(x,y)=í2，求：EX。 ï其它î011设(X,Y)服从区间 0,a´0,a上的均匀分布，求：EX-Y。 ()12已知X,Y具有相同的概率分布，XB(8,0.5),rXY=0.5 求D(X-Y)；用切比谢夫不等式估算概率P(|X-Y|³10)的最大值。 13(X,Y)是二维随机向量，且D(X)=25,D(Y)=36，rXY=0.6，求：D(X-2Y)和D(X+Y)。 214设二维随机向量(X,Y)Nm1,m2,s12,s2Cov(X,Y)；若X,r，求：()2与Y独立，且m1=m2=0，s12=s2=1，求E(X2+Y2) 。 15. 设随机向量(X,Y)的联合概率分布如下： Y X 0 1 0 0.1 0.3 1 0.3 0.3 求： (1) X与Y的边缘分布； (2) X与Y的相关系数rXY. 16写出下列条件之间的关系：(1) 随即变量X与Y独立，(2) E(XY)=E(X)×E(Y), (3) D(X+Y)=D(X-Y)=D(X)+D(Y),(4) COV(X,Y)=0,(5)rXY=0。 二、应用题 1假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元，发生一次故障仍可获得利润5万元，发生二次故障获利0元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内的期望利润。 2一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等，以X表示该汽车首次停车前已通过的路口数。求：X的概率分布；E(1 ) 。1+X3设某种商品的每周需求量X是服从10，30上均匀分布的随机变量，而经销商店的进货数量为区间10，30上的某一整数，商店每销售一单位可获利500元；若供大于求则处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元。为使商店所获利润的数学期望不小于9280元，试确定最小进货量。为使期望利润最大，最佳进货量是多少？ 4设某经销商正在与某出版社联系订购下一年的挂历问题，根据该经销商以往多年的经销经验，他得出需求数量分别为150本、160本、170本、180本的概率分别为0.1、0.4、0.3、0.2，各种订购方案的获利Xi(i=1,2,3,4)(百元)是随机变量，经计算各种订购方案在不同需求情况下的获利如下表： 需求150本 需求160本 需求数量 订购方案 订购150本获利X1 订购160本获利X 2需求170本 需求180本 45 42 39 36 45 48 45 42 45 48 51 48 45 48 51 54 订购170本获利X 3订购180本获利X4 该经销商应订购多少本挂历，可使期望利润最大？在期望利润相等的情况下，应该选择方差最小的方案，为使期望利润最大且风险最小，经销商应订购多少本挂历？ 5一商店经销某种商品，每周进货数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从10,20上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求超过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元。求此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。 6.某箱装有100件产品，其中一，二，三等品分别为80,10,10件。现从中随机地抽取一件，记 Xi=íì1若抽到第i等品(i=1,2)。 其他î0求(X1,X2)的联合分布；求X1与X2的相关系数。 7一家经营农产品的公司在某城市开了5个连锁店，它们每周售出农产品的数量分别为X1,X2,L,X5，已知X1N(200,215)，X2N(240,240)，X3N(180,225),X4N(260,265),X5N(320,280),X1,X2,L,X5相互独立。 求5个连锁店每周的总销售量的均值和方差； 公司每周进货一次，为了使新的供货到达前不会脱销的概率大于97.7%，问公司的仓库应至少储存多少千克该产品？ 8. 袋装食盐每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，用中心极限定理求一箱食盐净重超过50250克的概率。 9. 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中因被盗索赔的占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔中因被盗向保险公司索赔的户数。试求 (1) X的概率分布； (2) 用中心极限定理计算P14£X£30。 第四章 统计估值 一、简答题 1(1) 已知X:N(0,1) 且P(X>a)=0.05，求：a.； (2) 已知Y:(3) 令T=2c2(5)且P(Y>11.07)=0.05，求：c0.05(5)； X,则T服从什么分布？且P(T>2.57)=0.025，求：t0.025(5)； Y/52 (4) 令F=T,则F服从什么分布？且若P(F<6.6)=0.95，求F0.05(1,5)。 2XN(m,s)，X,X212,L,Xn是来自总体X的简单随机样本，X,S2分别为 nX-m2C2样本均值与样本方差，则根据抽样基本定理C1X ，C3å(Xi-X) ，Si=1中C1,C2,C3分别取何值及服从什么分布？ 3给定一组样本观察值x1,x2,L,x9，经计算得均值X和样本方差S。 4设X1,X2,X3,X4,X5是来自总体N0,22的样本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2+cX52， 则当 a,b,c为何值时，统计量 X服从 2åxi=19i=45,åxi2=285，求样本i=19()c2分布，自由度是几。 5设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N0,3，X1,X2,L,X9 ，和(2)Y1,Y2,L,Y9 分别来自总体X和Y的随机样本，则统计量U=服从什么分布。 6何时称统计量q为参数q的无偏估计量，若总体XNX1+X2+L+X9Y+Y+L+Y212229(m,s)，X,X212,L,Xn是来自总体X的一个样本，m的无偏估计量唯一吗？这些无偏估计中那个最有效? 131=åXi 7X1，X2，×××X10是来自总体X的样本，在m=EX的三个估计量m3i=1110110153=åXi中，哪个估计最有效；m4=åXi相对前面三个2=åXi， mm10i=112i=15i=1估计量更有效？为什么？ ）8若Dåxi=192i=230，求：2的置信度为0.95的置信区间。 4假设0.5，1.25，0.8，2是来自总体X的简单随机样本，已知Y=lnX服从正态分布N。 求X的数学期望EX(记EX=b)； 求m的置信度95%的置信区间；利用上述结果求b的置信度0.95的置信区间。 5设总体X服从参数为l的泊松分布，X1，X2，×××，Xn是来自总体X的样本，求：l的最大似然估计； 验证此估计是不是l的无偏估计。 6总体X服从参数l=1q的指数分布，X1，X2，×××Xn是来自总体X的样本，求： q的最大似然估计量； 证明q的最大似然估计量也是q的无偏估计量。 7设总体X的概率密度函数 ìlaxa-1exp-lxa f(x)=íî02x>0x£0其中a>0是常数，l>0是未知参数。求l的最大似然估计量。 8在均值为m，方差为s的正态总体中分别抽取容量为n1和n2的两个独立的样 本，X1，X2分别为两个样本均值。求：常数a，b满足什么条件，Y=aX1+bX2是m的无偏估计量；并确定a，b的值，使Y的方差达到最小。 9设X1,X2,L,X9是来自总体XNm,s2的样本，Y1=()1(X1+L+X6), 611922Y2=(X7+X8+X9),S=å(Xi-Y2) 32i=7则：Y1-Y2服从什么分布，把它修正成一个标准正态分布；2S2s2服从什么分布？令Z=2(Y1-Y2)/S，那么Z又服从什么分布？ 三、证明 1设x1,x2,L,xn是一组样本观察值，对任意常数a,c0 ，记yi=xi-a22,i=1,2,L,n。x,y,Sx分别为对应的样本均值与样本方差。 ,Syc222证明x=cy+a;Sx=cSy 。 给定一组样本值：2550(2个)，2850，3150，3450(5个),3750利用的结论，求样本均值与样本方差。 1n2X1，X2，×××Xn是来自总体X的一个样本(EX=m,DX=s),X=åXi。ni=121n1n2222证明：(1) S=(2) S0=å(Xi-m)也(Xi-X)是s的无偏估计量；ån-1i=1ni=12是s的无偏估计量。 3设总体X服从区间q,2q上的均匀分布，其中q>0是未知参数。又22X1，X2，×××Xn是来自总体X的样本，X为样本均值。证明：q=X是参数q的3 无偏估计量。 不是q的无偏估计量。 )>0。证明：q4设q是参数q的无偏估计量，D(q22第五章 统计检验 1. 已知某铁水的含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.11)，现测定了92炉铁水，含碳量平均数为x=4.445，样本方差S=0.0169. 若总体方差没有变222化，即s=0.11, (1) 问总体均值m有无显著变化？(a=0.05)； (2) 你是根据什么统计原理得到的结果，你有可能犯哪类错误，你能给出犯此错误的最大可能性吗？ 2. 某厂生产某种零件，在正常生产情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。如果从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得x=0.138厘米,S=0.016厘米。问:该日生产的零件的平均轴长是否与往日一样？(a=0.05); (2) 你是根据什么统计原理得到的结果，你有可能犯那类错误? 3. 用包装机包装某种食品, 在正常情况下, 每袋重量为200克, 假设每袋食品的重量服从正态分布. 某天检验机器工作的情况, 从已装好的袋中随机抽取10袋, 测得其重量(单位: 克)为: 201, 206, 198, 199, 204, 199, 197, 193, 195, 208 问这天机器是否工作正常(a=0.05)? 4. 开发区的管理人员认为，某大型企业雇用外地临时工的平均工资可能低于开发区规定的500元。而如果确实低于500元要对该企业进行处罚。已知临时工工资X:N(m,s)现随机从这些外地临时工中抽选了50名职工进行调查研究，得到2x=498元，s=5元。 表述基本假设和对立假设； 若a=0.05，试进行检验。 5. 某厂生产铜丝，生产一向稳定。现从该厂产品中随机抽取10段检查其折断力，测后经计算：x=287.5，å(xi=110i-x)2=160.5，假定铜丝的折断力服从正态分 布，问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16？(a=0.1) *6. 假设人体的身高服从正态分布，今抽取甲、乙两地区1825岁女青年身高得数据如下： 甲地区抽取10名，样本均值x=1.64米，样本标准差S1=0.2米； 乙地区抽取10名，样本均值y=1.62米，样本标准差S2=0.4米. 问：(1) 甲、乙两地区1825岁女青年身高的方差有无显著差异？ (2) 甲、乙两地区1825岁女青年平均身高有无显著差异？(a=0.01) * 第七章 回归分析 * 1某市居民货币收入与购买消费品支出数据如下表(单位：亿元) 18.2 货币收入x 11.6 12.9 13.7 14.6 14.4 16.5 消费支出y 10.4 11.5 12.4 13.1 13.2 14.5 (以下三个表是在excel中通过回归函数得到的) 回归统计 Multiple R R Square 标准误差 观测值 方差分析 回归分析 残差 总计 Intercept X Variable 1 19.8 17.2 15.8 0.996935 0.99388 0.189071 8 Adjusted R Square 0.99286 df SS MS F Significance F 7.18E-08 1 34.83426 34.83426 974.4388 6 0.214488 0.035748 7 35.04875 下限 95.0% 0.74 上限 95.0% 0.87 Coeffici标准Lower Upper ents 误差 t Stat P-value 95% 95% 1.22 0.4 3.054 0.02 0.243 2.2 0.87 0.81 0.026 31.2 7.2E-08 0.745 0.24 2.2 假设在这里x,y满足一元线性回归模型Y=a+bx+e，eN(0,s2) x是是什么变量，Y是什么变量；对固定的x，Y服从什么分布；并计算s2； 的无偏估计量为s2； =a+bx求y对x的样本线性回归方程y至少使用两种方法对回归方程进行显著性检验； 平方和分解公式å(y-y)ii=1n2=-y)å(yii=1n2+)å(y-yiii=1n2，或SST=SSR+SSE，其中SST, SSR, SSE分别是什么?在这里分别等于多少?自由度呢？ 预测当货币收入x=21亿元时，购买消费品的支出。 2为了确定某种商品供应量y与价格x之间的关系，现取10对数据作为样本，算得平均价格x=8(元)，平均供应量y=50(kg)，且åxi=1102i=840，åyi2=33700，i=110åxyii=110i=5260。 ； =a+bx (1)试建立供应量y对价格x的线性回归方程y (2)对所建立的线性回归方程进行显著性检验(a=0.05)。