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概率知识点概率知识要点 1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是么事件A的概率P(A)=m. n1，如果某个事件A包含的结果有m个，那n3. 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：P(A1+A2+L+An)=P(A1)+P(A2)+L+P(An). 对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从152张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为互斥其中一个必发生. 对立注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)+P(A)=P(A+A)=1. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. 相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件. 推广：若事件A1,A2,L,An相互独立，则P(A1×A2LAn)=P(A1)×P(A2)LP(An). 注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与B,A与B，A与B也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. 独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复kn-k试验中这个事件恰好发生k次的概率：Pn(k)=Ck. nP(1-P)4. 对任何两个事件都有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A×B) 概率知识要点 一、随机变量. 1、随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： 试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2、离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若是一个随机变量，a，b是常数.则h=ax+b也是一个随机变量.一般地，若是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f(x)也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 1 设离散型随机变量可能取的值为：x1,x2,L,xi,L 取每一个值x1(i=1,2,L)的概率P(x=xi)=pi，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列. x x1 x2 xi p1 p2 pi P 有性质p1³0,i=1,2,L； p1+p2+L+pi+L=1. 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：xÎ0,5即x可以取05之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3、二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个kn-k事件恰好发生k次的概率是：P(=k)=Ck其中k=0,1,L,n,q=1-p npq于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作xBkn-k，其中n，p为参数，并记Ck=b(k;n×p). npq4.、几何分布：“x=k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(Ak)=q，那么P(=k)=P(A1A2LAk-1Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式：P(=k)=P(A1)P(A2)LP(Ak-1)P(Ak)=qk-1p(k=1,2,3,L)于是得到随机变量的概率分布列. x 1 2 P q qp 3 q2p k qk-1p 我们称服从几何分布，并记g(k,p)=qk-1p，其中q=1-p.k=1,2,3L 5、超几何分布：一批产品共有N件，其中有M件次品，今抽取n(1£n£N)件，则其中的次品数P(=k)=kkCM×CNn-MnCN是一离散型随机变量，分布列为×(0£k£M,0£n-k£N-M).分子是从M件次品中取k件，从N-M件正r品中取n-k件的取法数，如果规定mr时Cm=0，则k的范围可以写为k=0，1，n. 超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件，则次品数的分布列为P(=k)=n-kCka×CbCna+bk=0,1,L,n. 二、数学期望与方差. 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为 x x1 x2 xi P p1 p2 pi 则称Ex=x1p1+x2p2+L+xnpn+L为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. 随机变量h=ax+b的数学期望：Eh=E(ax+b)=aEx+b 当a=0时，E(b)=b，即常数的数学期望就是这个常数本身. 当a=1时，E(x+b)=Ex+b，即随机变量与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和. 2 当b=0时，E(ax)=aEx，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. 单点分布：Ex=c´1=c其分布列为：P(x=1)=c. 两点分布：Ex=0´q+1´p=p，其分布列为： 二项分布：Ex= P 0 q 1 p åk×k!(n-k)!pn!k×qn-k=np 其分布列为xB(n,p). 几何分布：Ex=1 其分布列为xq(k,p). p3.方差、标准差的定义：当已知随机变量的分布列为P(x=xk)=pk(k=1,2,L)时，则称Dx=(x1-Ex)2p1+(x2-Ex)2p2+L+(xn-Ex)2pn+L为的方差. 显然Dx³0，故sx=Dx.sx为的根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.Dx越小，稳定性越高，波动越小. 4.方差的性质. 随机变量h=ax+b的方差D(h)=D(ax+b)=a2Dx. 单点分布：Dx=0 其分布列为P(x=1)=p 两点分布：Dx=pq 其分布列为： 二项分布：Dx=npq 几何分布：Dx=三、正态分布. 1、正态分布与正态曲线：如果随机变量的概率密度为：f(x)=12pse-(x-m)22s2 P 0 q 1 p qp2. ，称服从参数为m,s的正态分布，用xN(m,s2)表示.f(x)的表达式可简记为N(m,s2)，它的密度曲线简称为正态曲线. 正态分布的期望与方差：若xN(m,s2)，则的期望与方差分别为：Ex=m,Dx=s2. 正态曲线的性质. 曲线在x轴上方，与x轴不相交. 曲线关于直线x=m对称. 当x=m时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. 当xm时，曲线上升；当xm时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. 当m一定时，曲线的形状由s确定，s越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；s越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3 2、 标准正态分布：如果随机变量的概率函数为j(x)=12pe-x22(-¥pxp+¥)，则称服从标准正态分布. 即xN(0,1)有j(x)=P(x£x)，j(x)=1-j(-x)求出，而P的计算则是P(apx£b)=j(b)-j(a). 注意：当标准正态分布的F(x)的X取0时，有F(x)=0.5当F(x)的X取大于0的数时，有F(x)f0.5.比如F(0.5-ms)=0.0793p0.5则0.5-ms必然小于0，如图. yS正态分布与标准正态分布间的关系：若xN(m,s2)则的分布函数通 常用F(x)表示，且有P(£x)=F(x)=j(x-). 4 xa标准正态分布曲线S阴=0.5Sa=0.5+S