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椭圆函数椭圆函数 椭圆函数和相关函数 二次式的平方根的有理函数能根据反三角函数进行积分. 因此，三角函数能 被定义为从这些积分获得的函数的反函数. 类似地，椭圆函数被定义为从椭圆积分获得的函数的反函数. 雅可比椭圆函数的振幅 JacobiAmplitudeu, m 是第一类椭圆积分的反函数， 如果 ，那么 . . .雅可比椭圆函数 JacobiSNu, m, JacobiCNu, m. 此外 JacobiDNu, m 给出. 总共有 12 个雅可比椭圆函数 JacobiPQu, m 中选取. 每个雅可比椭圆函数 JacobiPQu, m . 雅可比椭圆函数之间有许多关系，在某种程度上类似于三角函数之间的关系. 事实上，在极限情形，雅可比椭圆函数化为三角函数. 例如 , , , , , . 符号 常用于积分 . 这些积分能用上面定义的雅可比 函数来表示. 这里显示了雅可比椭圆函数数 的绝对值在每个方向上的两个完全周 In1:= Out1= Mathematica 还建立了反雅可比椭圆函数 InverseJacobiSNv, m,InverseJacobiCNv, m 等. 反函数反雅可比椭圆函数与椭圆积分有关. 从 EllipticThetaa, u, q中分别取 a 为 1，2，3，4 得到四个 函数. 其定义为： ,关于 u 的解. ,明显写出，而写为 . 有时也写为 . 函数的参数 q 常常不，其中 m 与 q 有关系 ：. 所有 . 另外 q 有时用 代替， 与 q 的关系为 函数满足扩散类微分方程 示为 函数的比. 函数的另一种记号是 ,. ,其中 . 雅可比椭圆函数可以表Neville 函数可以由 函数来定义： ,其中 外尔斯特拉斯椭圆函数 WeierstrassPrimeu, 的反函数. 外尔斯特拉斯函数 解. 函数 WeierstrassPPrimeu, , 给出 由 , 可以认为是椭圆积分关于 x 的给出. 来表示， 和 和 中获得. ,. 雅可比椭圆函数可以被表示为 Neville 函数的比. 外尔斯特拉斯椭圆函数的导数有时根据其基本半周期 和 可以通过使用 WeierstrassHalfPrimeu, 函数 InverseWeierstrassPp, , , 从不变量 给出 关于 u 的两个解中的一个. 该值总是位于由半周期 和 InverseWeierstrassPp, q, , 定义的平行四边形之内. 给出 和 . 的唯一解 u. 要使这样的u值存在， p 和 q 必须满足 外尔斯特拉斯 函数 WeierstrassZetau, WeierstrassSigmau, , , 和外尔斯特拉斯 函数 与外尔斯特拉斯椭圆函数的关系是： . 外尔斯特拉斯 和 函数不是严格的椭圆函数，因为它们不是周期的 椭圆模函数 椭圆模函数 模函数 ModularLambda相联系. 克莱因不变模函数 KleinInvariantJ 与戴德金函数 DedekindEta. 模椭圆函数被定义为在自变量的某种分式线性变换下的不变量. 例如， 的组合下 的不变量.