第四章随机变量的数字特征课件.ppt
Probability Theory and Mathematical Statistics,概率论与数理统计,第4章,随机变量的数字特征,2023年3月14日星期二,3,第四章 随机变量的数字特征,本章主要内容 1 数学期望 2 方 差 3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,4,在第二、三章我们讨论了随机变量的分布，这是关于随机变量的一种完整性描述但在实际问题中，要确定一个随机变量的分布往往是比较困难的另一方面，在某些实际问题中，未必一定需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数例如，气象分析中常常考察某一时段的雨量、湿度和日照等气象要素的平均值和极端值以判定气象情况，而不必掌握每一个气象变量的分布函数在这些用来作为显示随机变量分布特征的数字中，最重要的就是随机变量的数学期望、方差以及各阶矩本章主要讨论随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数和矩,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,5,4.1 数学期望,一、数学期望的概念,从分布律并不能直观地看出答案，这说明分布律虽然完整地描述了随机变量，但却不够“集中”地反映出它的变化情况因此我们有必要找出一些量来更集中、更概括地描述随机变量，这些量常是某种平均值,2023年3月14日星期二,6,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,7,定义1.1,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,8,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,9,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,10,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,11,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,12,例1-5(一种验血新技术)在一个很多人的团体中普查某种疾病，为此要抽验N个人的血，可以用两种方法进行：(1)将每个人的血分别去验，这就需验N次；(2)按k个人一组进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这个混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验这样这k个人的血总共要化验k+1次假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的试说明当p较小时，选取适当的k，按第二种方法可以减少化验次数，并说明k取什么值最适宜,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,13,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,14,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,15,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,16,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,17,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,18,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,19,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,20,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,21,二、随机变量函数的数学期望,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,22,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,23,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,24,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,25,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,26,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,27,例1-12 假设市场上对某种产品每年的需求量为X(吨)，它服从2000，4000上的均匀分布己知每出售1吨产品可赚3万元；若售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元试问每年应进该产品多少吨，才能使销售商获得的平均收益最大？并求最大平均收益,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,28,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,29,三、数学期望的性质,(1)设C是常数，则有E(C)=C,(2)设X是随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X),(3)设X，Y是随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y),这一性质可推广到有限个随机变量之和的情况结合(2)和(3)，我们有,对于任意的常数a,b，随机变量X,Y，则 E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),(4)设X，Y是相互独立的随机变量，则有 E(XY)=E(X)E(Y),这一性质可推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,30,我们来证明(3)和(4)我们仅就连续型情形给出证明，离散型情形类似可证,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,31,性质(4)得证,例1-13 设随机变量XB(n,p)，试利用性质求E(X),4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,32,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,33,将随机变量分解为有限个简单随机变量之和，然后利用性质(3)来求E(X)，这种方法有着普遍的意义,例1-14 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有旅客下车就不停车以X表示停车的次数，求平均停车次数E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立),4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,34,4.1 数学期望,2023年3月14日星期二,35,4.1 数学期望,返回,2023年3月14日星期二,36,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,37,一、方差的概念,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,38,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,39,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,40,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,41,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,42,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,43,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,44,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,45,二、方差的性质,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,46,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,47,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,48,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,49,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,50,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,51,定义,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,52,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,53,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,54,返回,4.2 方 差,2023年3月14日星期二,55,4.3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,56,一、协方差及相关系数的定义,定义3.1 设二维随机变量(X,Y)，如果EX-E(X)Y-E(Y)存在，则称EX-E(X)Y-E(Y)为随机变量X与Y的协方差记为Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y),4.3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,57,4.3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,58,二、协方差与相关系数的性质,4.3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,59,4.3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,60,4.3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,61,4.3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,62,4.3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,63,注意：,4.3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,64,4.3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,65,4.3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,66,4.3 协方差与相关系数,2023年3月14日星期二,67,三、矩,4.3 协方差与相关系数,
