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核反应堆物理分析习题答案 第三章第三章 1.有两束方向相反的平行热中子束射到235U的薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度为1012cm-2×s-1。自右面入射的中子束强度为2´1012cm-2×s-1。计算： 该点的中子通量密度； 该点的中子流密度； 设åa=19.2´102m-1，求该点的吸收率。 解：由定义可知：f=I+I=3´10cms 若以向右为正方向：J=I-I=-1´10cms 可见其方向垂直于薄片表面向左。 Ra=åaf=19.2´102´3´1012´10-2=5.76´1013cm-3s-1 2.设在x处中子密度的分布函数是：n(x,E,W)=+-12-2-1+-12-2-1n0-xlaEee(1+cosm) 2p 其中：l,a为常数， m是W与x轴的夹角。求： 中子总密度n(x)； 与能量相关的中子通量密度f(x,E); 中子流密度J(x,E)。 解：由于此处中子密度只与W与x轴的夹角相关，不妨视m为视角，定义W在Y-Z平面影上与Z轴的夹角j为方向角，则有： 根据定义： n0-xlaEee(1+cosm)dW ò04p2p+¥2ppn =òdEòdjò0e-xleaE(1+cosm)sinmdm 0002p n(x)=+¥dEò =n0e-xlò+¥0edEò(1+cosm)sinmdm 0aEp 可见，上式可积的前提应保证a<0，则有： peaE+¥pô(sinmdm+cosmsinmdm) n(x)=n0e0òò00an0e-xl2n0e-xlp(-cosmô =- 0+0)=-aa2令mn为中子质量，则E=mnv/2Þv(E)=2Emn -xlf(x,E)=n(x,E)v(E)=2Emnòn(x,E,W)dW=2n0e-xleaE2Emn4p 根据定义式： J(x,E)=pòp0sinmcosmdm)=4p+0=4p òpWf(x,E,W)dW=òpWn(x,E,W)v(E)dW 44n0e-xleaE2Emn=2pò2p0djòcosm(1+cosm)sinmdm 0p=n0e-xlaEe2Emn(òcosmsinmdm+òcos2msinmdm) 00nppcosn+1x+C 利用不定积分：òcosxsinxdx=-，则： n+12n0e-xleaE2Emncos3mp-xlaE2Emn(0-ô0)= J(x,E)=n0ee 336在某球形裸堆内中子通量密度分布为 5´1017prsin(cm-2s-1) . j(r)=rR 试求： f(0); J(r)的表达式，设D=0.8´10-2m； 每秒从堆表面泄露的总中子数。 解：由中子通量密度的物理意义可知，必须满足有限、连续的条件 5´1017prsin j(0)=limj(r)=limr®0r®0rR5´1017pr× =limr®0rRR =3.14´1018 cm-2s-1 5´1017prsin cm-2s-1 中子通量密度分布：j(r)=rR Þ J(r)=-Dgradj ®¶j(r)® =-De ¶r7é-5´1107pr´5110prpù®-281´0êsin+coúse( ) Þ J(r)=-0.´ 2rRrRRëû2pé1ù®cos(2pr)úe =4´10ê2sin(2pr)-rrëû15 =5´1017×p泄漏中子量=径向中子净流量×球体表面积 ®® L= 中子流密度矢量： òJ×ds 2pé1ù® J(r)=4´10ê2sin(2pr)-cos(2pr)úe rërû J(r)仅于r有关，在给定r处各向同性 2 L=J(R)´4pR 15 =4´1015´p0.5 =1.58´10s-1 172 ´4p´0.527.设有一立方体反应堆，边长a=9m. 中子通量密度分布为： f(x,y,z)=3´1013cos(-2pxæpyöæpzö-2-1)cosçcos÷ç÷(cm×s) aèbøècø 已知D=0.84´10m,L=0.175m. 试求： J(r)的表达式； 从两端及侧面每秒泄露的中子数； 每秒被吸收的中子数。 解：有必要将坐标原点取在立方体的几何中心，以保证中子通量始终为正。为简化表达式起见，不妨设f0=3´1013cm-2s-1。 利用斐克定律： J(r)=J(x,y,z)=-Dgradf(x,y,z)=-D(=Df0¶f¶f¶fi+j+k) ¶x¶y¶ypépxpypzpypxpzpzpxpyùsincoscosi+sincoscosj+sincoscoskúaêabcbaccabëûpxpypzc J(r)=J(r) aab 先计算上端面的泄漏率： =Df0psin2cos2cos2+sin2(pyb)cos2(pxa)cos2(pzc)+sin2(pzc)cos2(pxa)cos2(pyb)aò-a/2péapxùa/2éa) =Df0êsin(úç-a/ê2aëpaûëpS(z=a/2)LçZ=a2=òJ(r)kdS=Df0pa/2dxòppxpysincoscosdy -a/22abpyùa/2psin(úç)=Df40 -a/2aûaa/2 同理可得，六个面上的总的泄漏率为： 93´10=a3.1416-1 其中，两端面的泄漏率为：L3=5.8´10s; L=6´4Df0p=2´40.´84-2´10´13´1-71.s7 110 侧面的泄漏率为：L-L3=1.2´10s 22由L=D/åa，可得：åa=D/L 由于外推距离可忽略，只考虑堆体积内的吸收反应率： 17-1òVRadV=òåafdV=D/LV2òa/2-a/2dxòa/2-a/2dyòa-a/2cos(/2pxD2a3æpyöæpzö)cosçcosdz=f0÷ç÷aL2pèbøècø0.84´10-22´931320-1´3´10´=1.24´10s =20.1753.148.圆柱体裸堆内中子通量密度分布为 j(r,z)=1016cosçæpzöæ2.405rö-2-1÷J0ç÷(cm·s) èHøèRø 其中，H,R为反应堆的高度和半径。试求： 径向和轴向的平均中子通量密度和最大中子通量密度之比； 每秒从堆侧表面和两个端面泄露的中子数； 设H=7m,R=3m,反应堆功率为10MW,sf=410b，求反应堆内235U的装载量。 解： 59.试计算E=0.0253eV时的铍和石墨的扩散系数。 解：查附录3可得，对于E=0.0253eV的中子： ås/m-1 1-m0 0.9259 0.9444 Be C 对于Be： 8.65 3.85 1=0.0416m 33(1-m0)3ås(1-m0) 同理可得，对于C： D=0.0917m D=10.设某石墨介质内，热中子的微观吸收和散射截面分别为a=4.5×10靶和s=4.8靶。试计算石墨的热中子扩散长度L和吸收自由程a，比较两者数值大小，并说明其差异的原因。 -2ltrls： 12.计算T=235K,r=802kg/m时水的热中子扩散长度和扩散系数。 解： 查79页表3-2可得，293K时：D=0.0016m，由定义可知： 3D(T)D(293K) 所以: =1/ås(T)N(293K)sa(293K)r(293K) =×ltr(293K)/31/ås(293K)N(T)ss(T)r(T)=ltr(T)/3D(T)=r(293K)D(293K)/r=0.00195m 中子温度利用56页式计算： éé2Aåa(kTM)ù2Asa(kTM)ùTn=TMê1+0.46=T1+0.46úMêú åsssëûëû21 其中，介质吸收截面在中子能量等于kTM=7.28´10J=0.0461eV 再利用“1/v”律： sa(kTM)=sa(0.0253)0.02530.0461=0.4920b Tn=535´(1+0.46´36´0.4920/103)=577K 利用57页的式 sa=sa(0.0253)2931.128592=0.414´10-28m-2 åa=Nsa=1.1m-1 åsNssNr= ås(293K)N(293K)ss(293K)N(293K)r(293K)ås= Þ rås(293K)r=802/(3´1000´0.0016´0.676)=247m-1r(293K)3r(293K)D(293K)(1-m0)L=11=0.0424m 3´1.11´247´0.6763åaås(1-m0)13.如图3-15所示，在无限介质内有两个源强为Ss-1，试求P1和P2点的中子通量密度和中子流密度。 16.设有一强度为I(m×s)的平行中子束入射到厚度为a的无限平板层上。求： 中子不遭受碰撞而穿过平板的概率; 平板内中子通量密度的分布; 中子最终扩散穿过平板的概率。 解： I(a)/I0=exp(-åta) 此情况相当于一侧有强度为I的源，建立以该侧所在横坐标为x原点的一维坐标系，则扩散方程为： -2-1d2f(x)f(x)-2=0,x>0 2dxL边界条件：. limJ(x)=I x®0 . limJx(a)=0 x®a-方程的普遍解为：f(x)=Ae由边界条件可得： -x/L+Cex/L limJ(x)=lim(-Dx®0x®0dfìé-11ùüD)=flimí-DêAe-x/L+Cex/Lúý=(A-C)=Ix®0dxLûþLîëLILÞA=+C D由边界条件可得： 1df(x)Ae-a/L+Cea/L-Ae-a/L+Cea/LlimJ(a)=+ç+=0x=a=x®a46åtrdx46Låtr2+3Låtr2a/LL+2D2a/LÞA=Ce=-Ce 2-3LåtrL-2D-xf(a)所以： L+2D2a/LILIL1 Ce=+CÞ2D+LL-2DDDe2a/L-12D-L2D+L2a/LeIL1IL2D-L ÞA=(1+)=2D+L2D+LDDe2a/L-1e2a/L-12D-L2D-L2D+L2a/LeIL2D-L1f(x)=(e-x/L+ex/L) 2D+L2a/LD2D+Le2a/L-1e-12D-L2D-L(a-x)/L+(2D-L)e-(a-x)/LùILé(L+2D)e=êú Dë(L+2D)ea/L-(2D-L)e-a/Lû- 此问相当于求X=a处单位面积的泄漏率与源强之比： 11+(L-2D)JçJ(a)-J(a)J(a)-Ddf(x)LL=çx=a=-La/L-a/LIIIIdx(L+2D)e+(L-2D)e4D = (L+2D)ea/L+(L-2D)e-a/L+xx=a-x-(L+2D) 17.设有如图3-16所示的单位平板“燃料栅元”，燃料厚度为2a,栅元厚度为2b，假定热中子在慢化剂内据黁分布源出现。在栅元边界上的中子流为零。试求： 屏蔽因子Q，其定义为燃料表面上的中子通量密度与燃料内的平均中子通量密度之比； 中子被燃料吸收的份额。 解：以栅元几何中线对应的横坐标为原点，建立一维坐标系。在这样的对称的几 何条件喜爱，对于所要解决的问题，我们只需要对x>0的区域进行讨论。 d2f(x)f(x)-2=0,0<x<a 燃料内的单能中子扩散方程：dx2L 边界条件：. limJ(x)=0 x®0x®0 . limf(x)=S 通解形式为： f(x)=Acoshx(L+/)C Lsixnh(df(x)xCxùéA=-Dêsinh+coshú 利用斐克定律：J(x)=-DdxLLLûëLxCxCéAùDh(is)hoc(s)+0ú=-0=ÞC= 代入边界条件：-DênLLLûLëL 代入边界条件： aaaSAcosh+Csinh=Acosh=SÞA= LLLcos(a/L) 所以： fFò=òFfdVdVFfdx1Sò=acosh(a/L)òdxò0a0aa0x1SLsinh(a/L)SLacoshdx=tanLacosh(a/L)aLScosh(a/L)f(a)cosh(a/L)aaQ=cot SLLfFtan(a/L)La 把该问题理解为“燃料内中子吸收率/燃料和慢化剂内总的中子吸收率”，设燃FM料和慢化剂的宏观吸收截面分别为åa和åa，则有： FFåaafFåaLtan(a/L)=a=F=FaMMFMòFåafdV+òMåafdVòåaFfdV+òåaMfdVåaLtanh(a/L)+åa(b-a)SåaLtan(a/L)+åa(b-a)F000òFåafdVòaFåafdV2FF回顾扩散长度的定义，可知：L=D/åaÞåaL=D/L，所以上式化为： FåaLtan(a/L)Dtan(a/L) =FMMåaLtan(a/L)+åa(b-a)Dtan(a/L)+Låa(b-a)21.在一无限均匀非增值介质内，每秒每单位体积均匀地产生S个中子，试求： 介质内的中子通量密度分布； ¢ 如果x=0处插入一片无限大的薄吸收片，证明 这时中子通量密度分布为 -xLéùå¢ate1-êú ¢ëåat+(2D/L)û¢Sf(x)=åax®0 解： 建立以无限介质内任一点为原点的坐标系，建立扩散方程： -DÑ2f+åaf=S 即：Ñ2f- 边界条件：1. 0<f<+¥, 2. J(r)=0,0<r<+¥ 设存在连续函数j(r)满足： Ñf=Ñj 22åaSf=- DDåaS1f-=2j DDL1可见，函数j(r)满足方程Ñ2j=2j，其通解形式： Lexp(-r/L)exp(r/L) j(r)=A+Crr由条件可知：C=0, 由方程可得：f(r)=j(r)+S/åa=Aexp(-r/L)+S/åa 再有条件2可知：A=0，所以： f=S/åa 此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，想考虑正半轴，建立扩散方程： åaSf=-,x>0 DD¢ 边界条件：i. 0<f<+¥, ii. limJ(x)=-åatf(0)/2, 2 -DÑf+åaf=S 即：Ñ2f-x®0 iii. limJ(x)=0 x®¥ 对于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度内通量的畸变。 参考上一问中间过程，可得通解形式：f(x)=Aexp(-x/L)+Cexp(x/L)+S/åa J(x)=-D 由于条件ii可得： dfAD-x/LCDx/L=e-e dxLLlimJ(x)=x®0ADCDtStLS-=-å¢a(A+C+)ÞC-A=å¢a(A+C+)LL2åa2Dåa¢ 由条件iii可得：C=0 所以：-A=åatLSS(A+)ÞA= 2Dåaæ2Dö-1ç÷åa¢ètLåaøå¢ate-x/LùSSSé-x/Lf(x)=e+=ê1-ú åaåaëå¢at+(2D/L)ûæ2Dö-1÷åaç-¢ètLåaø对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。 22.假设源强为S(cm×s)的无限平面源放置在无限平板介质内，源强两侧平板距离分别为a和b，试求介质内的中子通量密度分布 中子通量密度连续； lim(J(x)çx=0+e-J(x)çx=0-e)=S e®0-2-1 解：以源平面任一一点味原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程： Ñ2f1(x)=1f(x),x³0 21L1Ñ2f2(x)=2f2(x),x£0 LùJ(x)ç边界条件： i. limf1(x)=limf2(x); ii. liméx=0+e-J(x)çx=0-eû=S; e®0ëx®0x®0 iii. f1(a)=0; iv. f1(-b)=0; 通解形式： f1=A1sinh(x/L)+C1cosh(x/L),f2=A2sinh(x/L)+C2cosh(x/L) 由条件i：C1=C2 由条件ii: df1dfDéxxxxù+D2)=limê-A1cosh-C1sinh+A2cosh+C2sinhú=Sx®0x®0LdxdxLLLLûëSLSL Þ =A2-A1ÞA1=A2-DDlim(-D由条件iii，iv: A1sinh(a/L)+C1cosh(a/L)=0ÞC1cosh(a/L)=-A1sinh(a/L) (3) A2sinh(-b/L)+C2cosh(-b/L)=0ÞC2cosh(b/L)=A2sinh(b/L)(4) 联系可得：A1=-A2tanh(b/L)/tan(a/L) 结合可得： SLSL/D=-A2tanh(b/L)/tan(a/L)ÞA2= D1+tanh(b/L)/tan(a/L)-SL/DÞA1= 1+tanh(a/L)/tan(b/L)SLtanh(a/L)tanh(b/L)/DÞC1=C2=-A1tanh(a/L)= tanh(a/L)+tanh(b/L)A2-所以： ìSLé-tanh(b/L)sin(x/L)+tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)ùf(x)=íêú,x³0Dtanh(b/L)+tanh(a/L)ûîëf(x)=SLétanh(a/L)sin(x/L)+tanh(a/L)tanh(b/L)cosh(x/L)ù,x£0êúDëtanh(b/L)+tanh(a/L)û23.在厚度为2a的无限平板介质内有一均匀体积源，源强为S(m·s)，试证明其中子通量密度分布为 -3-1éùSêcosh(x/L)úf(x)=ê1-ú a+dåaêcoshúëLû 证明：以平板中线上任一点位原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程：-DÑ2f+åaf=S åaSf=-,x>0 DD 边界条件：i. 0<f<+¥, ii. limJ(x)=0, iii. f(a+d)=0 即：Ñ2f-x®0 参考题21，可得通解形式：f(x)=Asinh(x/L)+Ccosh(x/L)+S/åa J(x)=-D 由条件ii可得： dfADxCDx=-cosh-sinh dxLLLLAD=0ÞA=0 LlimJ(x)=-x®0 再由条件iii可得：a+dSS )+=0ÞC=-a+dLåaåacoshLéùSxSSêcos(x/L)úcosh+=1- 所以：f(x)=-êú a+da+dLååaaêåacoshcoshúLëLûf(a+d)=Ccosh( 由于反曲余弦为偶函数，该解的形式对于整个坐标轴都是适用的。证毕。 24. 设半径为R的均匀球体内，每秒每单位体积均匀产生S个中子，试求球体内的中子通量 密度分布。 解：以球心为原点建立球坐标系吗，建立扩散方程： åaSf=- DD2 边界条件：i. 0<f<+¥, ii. f(R+d)=0 iii. lim4prJ(r)=0 2 -DÑf+åaf=S 即：Ñ2f-x®0 通解： 由条件iii: éæröùærölim4pr2J(r)=lim4pDêAç+1÷e-rL-Cç+1÷erLú=0ÞA=C x®0x®0èLøëèLøû 再由条件ii： f(R+d)=AR+dCR+dSexp(-)+exp(R)+=0 R+dLR+dLåa(R+d)S ÞA=-R+dR+déùåaêexp(-)+expúLLûë 所以：éù(R+d)Sexp(-r/L)+exp(r/L)1SSê(R+d)cosh(r/L)úÞf(r)=-+=ê1-úR+dR+dR+déùråaåaêrcoshúåaêexp(-)+expúëLûLLûër®0