核反应堆物理分析习题答案 第四章.docx

核反应堆物理分析习题答案 第四章第四章 1.试求边长为a,b,c的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。设有一边长a=b=0.5m,c=0.6m的长方体裸堆，L=0.043m, -1求达到临界时所必须的k¥；如果功率为5000kW,åf=4.01m，t=6´10-4m2。求中子通量密度分布。 解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为： ¶2f¶2f¶2fD(2+2+2)-åaf+k¥åaf=0 ¶x¶y¶z 边界条件： f(a/2,y,z)=f(x,b/2,z)=f(x,y,c/2)=0 因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法： f(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) k-1Ñ2XÑ2YÑ2Z+=-¥2 将方程化为：XYZL22Ñ2X2ÑY2ÑZ=-Bx,=-By,=-Bz2 设：XYZ 想考虑X方向，利用通解：X(x)=AcosBxx+CsinBxx anpp 代入边界条件：Acos(Bx)=0ÞBnx=,n=1,3.5,.ÞB1x= 2aa 同理可得：f(x,y,z)=f0cos( 其中f0是待定常数。 2 其几何曲率：Bg=2+2+2=106.4m-2 pax)cos(py)cos(z) aappppabc应用修正单群理论，临界条件变为：其中：M2=L2+t=0.00248m2 Þk¥=1.264 只须求出通量表达式中的常系数f0 k¥-12 =Bg2MP=EfòåffdV=EfåffVa2a0-2òp2cos(x)dxòcos(y)dyòc2cos(z)dz=Efåff0abc3-abcp2pb2b-2pc2P3Þf0=pEfåfabc2-1=1.007´1018m-s 2-22-222.设一重水铀反应堆的堆芯k¥=1.28,L=1.8´10m,t=1.20´10m。试按单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄露几率。 解：对于单群理论： 在临界条件下：L=11=0.7813 22221+BgL1+BmL 对于单群修正理论：M2=L2+t=0.03m2 k¥-1-2 =9.33m2L11=0.7813 在临界条件下：L=221+BgM21+BmM22BM=24. 设有圆柱形铀-水栅装置，R=0.50米，水位高度H=1.0米，设栅格参数为：k=1.19，L=6.6-42-22×10米，=0.50×10米。试求该装置的有效增殖系数k；当该装置恰好达临界时，水位高度H等于多少？设某压水堆以该铀-水栅格作为芯部，堆芯的尺寸为R=1.66米，H=3.50米，若反射层节省估算为r=0.07米，H=0.1米。试求反应堆的初始反应性以及快中子不泄漏几率和热中子不泄漏几率。 5.一个球壳形反应堆，内半径为R1,外半径为R2，如果球的内、外均为真空，求证单群理论的临界条件为： tanBR2=tanBR1-BR11+BR1tanBR1 解答：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程： ¶2f2¶f2+=-Bf 2¶rr¶r 边界条件：i. limJ=0; x®R1 ii. f(R2)=0 球域内方程通解：f(r)=A 由条件i可得： cosBrsinBr +CrrcosBR1sinBR1sinBR1cosBR1-A-CB-C=0 r®R1R1R12R1R12BR1cosBR1-sinBR1tanBR1-BR1=-A ÞC=A BR1sinBR1+cosBR1BR1tanBR1+1 limJ=-DÑfçr=R1=AB 由条件ii可得： 由此可见，tanBR2=3tanBR1-BR1，证毕。 BR1tanBR1+137.一由纯235U金属(r=18.7´10kg/m)组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的纯 238U(r=19.0´103kg/m3)，试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下： 235U:sf=1.5b,sa=1.78b,åtr=35.4m-1,v=2.51;238U:sf=0,sa=0.18b,åtr=35.4m-1。 解：以球心为左边原点建立球左边系，对于U-235和U-238分别列单群稳态扩散方程，设其分界面在半径为R处： U-235:Ñf5=- U-238:Ñf8=r®022k¥-1f5 方程1 L251f8 方程2 L28 边界条件：i. limf5<¥ ii. f5(R)=f8(R) iii. D5令B=2¶f5¶f8ç=Dçr=R8r=R iv. limf8=0 r®¥¶r¶rk¥-1，球域内L25cosBrsinBr方程1通解：f5(r)=A5 +C5rrsinBr 由条件i可知A5=0，所以：f5(r)=C rexp(-r/L8)exp(r/L8) 球域内方程2通解：f8(r)=A8 +C8rrexp(-r/L8) 由条件iv可知,所以：f8(r)=A8 rexp(-R/L8)exp(-R/L8)sinBR 由条件ii可得：C =AÞC=ARRsinBR 由条件iii可得： RR+1)exp(-)DLL8cosBRsinBR11RD5C(B-)=D8A(-2)exp(-)ÞC=8A8RRL8RRL8D5sinBR-BRcosBR11=D8） 所以书上图4-8所示的柱坐标系下，单群稳态扩散方程可写为： ¶2f1¶f1¶2f¶2f2+=-Bgf,(0£r£R,0£q£p,-H/2£Z£H/2) 2222¶rr¶rr¶q¶z 边界条件：i. fçr=R=fçr=0=0 II. III. fçq=0=fçq=p=0 fçz=H/2=fçz=-H/2=0 (注意,这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理： 如果a/i(t)(i=1,2,×××,n),f(t)都是区间a,b上的连续函数，则对于任(0)(1)(2)(n-1)一t0Î(a,b)及任意的x0,x0,x0,×××x0,方程： x(n)+a1x(n)+×××+an-1x¢+anx=f(t) 存在唯一解 x=j(t) 定义于区间a,b上，且满足初值条件x 而此扩散方程并非线性微分方程。） 对于表达式：f(r,z,q)=AJ1(k)(k)(t0)=x0(k=0,×××,n-1), x1rpz)sinqcos,x1=3.89 RH 不难证明其满足上述全部三个边界条件。(J1(0)=J1(3.89)=0) 将表达式代入方程，其中，已知如下条件： ¢=-nJ¢0=x-nJJ- 1J xJnn+1,¢= 可推得：J1-J1+xJ0 x-J1+xJ01+-J¢1+xJ¢0+J0=2xxxrJ1(1)xrxrR+x1JJ1¢(1)=J¢1(1)¢=-RRrRJ1¢¢=-2J0-J+1xJ02JJ1J0-J+-=(-1)J-11x2xxx2x2x0(0xr1) Rìéx1rüù2Jï0úx1rx1rùïx1rx1öé2x1r2ùx1rx1rx1rïê2éæRJ1¢¢=J1¢¢ê¢ú=íê-1úJ1-=-J-Jý0ç÷ê2ú1Rx1rïèRRRøërRûRRëRûïê(x1r)2úïûRþîëR所以： é2æx1ö2ù¶fê2-ç÷úJ1(x1r)-x1rJ0(x1r)rèRøúRRR2êëû¶r =x1rfJ1R1¶fxrxxr-J1(1)+1J0(1)r¶r=RRrR xrfJ1(1)R1¶2fx1r1Jr2¶q2=-r21R xrfJ1(1)R2所以： ¶f1¶f1¶f+¶r2r¶rr2¶q2=22fx12ùx1rx1rx1ré2-J-J-102êúrRRRRëûxrJ1(1)R2J1(x1rxr)J1(1)R+x1rJ(x1r)-R022rRRr=-(x1r2)R¶f-æpöcos(pz)ç÷2pFH¶z=èø=-2 再有：pzfHcosH2æxöæpö2所以方程为：-ç1÷-ç÷=-Bg èRøèHø可知该表达式为方程的解。证毕。 设：，dz=-Bz2； QZd2j1dj+22n2dj2222dj22drrdr-2=-Bg+Bz=-BrÞr+r+(B-n)j=0 r2jrdrdrd2jdj22+x+(x-n)j=0 变量替换：x=Brr,Brj¢(x)=j¢(r),x2dxdx 此为nBessel阶方程，通解为 ìJn(x)ìJn(Brr) j(r)=í=íY(x)Y(Bx)înînr 由边界条件i可得,n须取使Jn(0)=0的值，在其中，我们只去基波，即n=1，相2应的BrR=x1： j(r)=J1(x1r/R) 相应的： Q(q)=Aqsinq+Cqsinq 由边界条件ii可得： Cq=0,Q(q)=Aqsinq 对于z有： Z(z)=Azsin(Bzz)+Czcos(Bzz) 由边界条件ii可得， Az=0,Bz=p/H,Z(z)=Czcos(pz/H) 所以: f=AJ1(x1r/R)sinqcos(pz/H) 10.设有均匀圆柱形裸堆，其材料曲率等于，试求： 使临界体积为最小的R/H的值； 2 最小临界体积V与Bm的关系。 2 解：对于均匀圆柱体裸堆，其几何曲率：Bg=(pH)2+(2.4052) R 可得，在临界条件下：R=22.40522Bg-(pH2.4052pH32 临界体积：V=pRH=22 2BgH-pdV 其取最小值时: =0,即： dH2.4052p´3H22.4052pH33p222222 -´2BH=0Þ3(BH-p)=2BHÞH=ggg22BgH2-p2(BgH2-p2)2BgÞR=2g2)22.4052B-p223p2/Bg2.4052´32.4053 =ÞR=22BgBg2 所以：ÞR=22.405=0.5412 2p22.405233p2.405233p2p= 由上可得临界最小体积：V=pRH= 23Bg2BgBg2223 由于临界条件下：Bg=Bm，所以：V=148.4/Bm 11.设有意纯239Pu(r=14.4´10kg/m)组成的球形快中子临界裸堆，试用下列单群常数： 33s,f= v=2.191.b8s5,r=b0s.2=,计算其临界半径与临界质量。b tr6103rNA=3.64´1028m-3 解：由已知条件可得：N=Mvåfvsf k¥=1.92 åasf+srD112=1.77´10-3m2 L=åa3åaåtr3NstrN(sf+sr) 设临界半径为R，则临界条件：Bg=Bm，可得： 22k¥-1p2L2æpöÞR=0.138m ç÷=2Lk¥-1èHø 对于这一实际问题，需要考虑外推距离：d=0.7104ltr=20.7104=0.0288m Nstr4p(R-d)3=5.40´10-3m3 3 临界质量：m=rV=77.8kg 所以实际临界体积为：V=12.试求下列等效裸堆内热中子通量密度的最大值与平均值，即热中子通量密度的不均匀系数: 半径为R的球形堆，反射层节省为dT； 半径为R，高度为H的圆柱形堆，反射层节省分别为dr和dH； 边长为a,b,c的长方形堆，反射层节省分别为dx,dy,dz。 解：可利用裸堆的结论，球： KH,bare=4pR3/3sin(r)4pr2dr0Rp2R3ÞKH= 3R+dTòRp=3.27 圆柱：KH,bare=pR2H2/H2.405cos(z)dzJ(ò-2/HHò00Rr)2prdrR2HÞKH=3.62 R+drH+2dHRp=3.62 立方体： KH,bare=abccos(x)dxòcos(y)dyòcos(z)dz-a/2-b/2-c/2abcp3aaa ÞKH= 8a+2dxa+2dya+2dz 详细推导：据97页4-1裸堆的通解形式可得： òa/2pb/2pc/2p=p38=3.88 球：f(r)=Asin(1rpR+dTr) péùcos(r)êé1ùR+dTúpppú=A fmax=limêAsin( r)ú=limêAr®0r®0R+dTû1R+dTêR+dTúërêúëûV=4pR3/3 2ppR+dTpfdV=Adjsinqdqrsin(r)dr òVò0ò0ò0R+dT =A2p(-cosq)|0 R+dTR+déR+dTéùppR+dTùT=4pAê-rcos(r)|0+d-cos(r)úò0êúpR+dTpR+dTûëûëpòR+dT0rsin(éùpr)dê-cos(r)ú R+dTR+dTûëppR+dé(R+dT)2ùT2 =4pAê+0+òcos(x)dxú=4A(R+dT)2 0ppëûp4pR3AfmaxR+dT3p2R3 KH= 214A(R+dT)3R+dTfdVòVV2.405pr)cos(z) 圆柱：f(r,z)=AJ0(R+dTH+2dz2.405p fmax=limAJ0(r)cos(z)=A r®0R+dH+2dTzz®0 V=pR2H òVfdV=Aòdqò02pR+dr0rJ0(2/H2.405pr)dròcos(z)dz -2/HR+dTH+2dzéR+dTù2/H2.405ùR+drH+2dzép)rJ1(r)ú|0sin(z)êú|-2/H R+dTûpH+2dzûë2.405ë(R+dT)2H+2dz´0.5191´´2=0.863337A(R+dT)2(H+2dz) =A2p2.405p =A2pê( KH=fmax1VòVApR2HR2H=3.64 2R+dTH+2dzfdV0.863337A(R+dT)(H+2dz) 立方体：f(x,y,z)=Acos( fmax=limêAcos(x®0y®0z®0pa+2dxx)cos(pa+2dyy)cos(pa+2dzz) éêëpa+2dxx)cos(pa+2dyy)cos(ùz)ú=A a+2dzúûpV=abc òVfdV=Aòcos(xdx)ò-a/2-dx-a+2dxa/2+dxpb/+d2b/-d2yycos(ydyò)-b+2dypc+d/2zc-d/2zcos(zdz c+d2yp)a+2dxb+2dyc+2dz2)=A3(a+2dx)(b+2dy)(c+2dz) =A´2´(ppppKH=fmax1V=Aabc2A3(a+2dx)(b+2dy)(c+2dz)=p3òVfdVpabc) 8a+2dxb+2dyc+2dz(I=1，厚度2b为已知，16.设有如图4-9所示的 一维无限平板反应堆。中间区域的k¥II>1，试用单群理论导出确定临界尺寸a的公式及临界时中子通量两侧区域的k¥密度的分布。说明尺寸b对临界尺寸有无影响及其理由。 解：以平板厚度方向上的几何中心为原点建立坐标系，对两区分别建立单群稳态扩散方程： I¶fIk¥-1 =-fI,0£x£b 方程1 ¶x2L2III¶fIIk¥-1 =-fII,b£x£b+a 方程2 22¶xLII 边界条件：i. fI(b)=fII(b); ii. fII(b+a)=0 22 由表3-1查得方程1的通解：fI(x)=AIcosBIx+CIsinBIx 其中第二项明显有悖于对称性条件，故CI=0，同理有：fII(x)=AIIcosBIIx 有条件ii可得：AIIcosBII(b+a)=0ÞBII2p2(a+b)整个系统的临界条件为： keff=中子率/=1 即： keff=òòbx=a+bIvIRIfdV+òvIIRIIfdVIIIIaIIIIaÑJdS+òRdV+òvIIRdVbIab+aIIa=IIIIk¥åfdx+kaI¥òò0bb+abIIåafIIdxb+a-òb+abÑfIIdx+òåfIdx+ò02bIabåfIIdxIIa=1Þ-òb+aÑfIIdx+òåfIdx+ò02båfIIdx=kbI¥0òåfIdx+kIab+aII¥bòIIåafIIdx2ÞDIIBIIòb+a2II ÞBII=(k-1)åa/DII bII¥IIIIfIIdx=(k¥-1)òåafIdx+(k¥-1)ò0bb+abIIIIåafIIdx=(k¥-1)òb+abIIåafIIdxpÞ=DII-2bIIII(k¥-1)åa2可见，临界尺寸a与b负相关，从物理上的理解：由于I区增值性质弱于II区，故存在由II区向I区的净流动，相当于II区的泄露。I区尺寸越小，则这一泄露越弱，此时的临界尺a最小。但不要认为ab之和为固定常数！这里用几何曲率只是考虑基波，求出的a+b相当于同一材料曲率下最小的临界尺寸，而实际对于任意n平方倍的几何曲率，临界条件都可以满足。 由条件i可得：üïæpböA=AcosBb=AcosýIIIIIIIç÷ IIè2a+2bøk¥=1ÞBI=k¥-1/LI=0ïþ中子通量密度分布为：AIcosBIb=AIIcosBIIbfII(x)=AIIcosçæpxöæpbö,f(x)=AcosII÷Iç÷， è2a+2bøè2a+2bø其中AII由临界时的功率条件确定。 17. 设有高度为H径向为双区的圆柱形反应堆，中心为通量密度展平区，要求中子通量密度等于常数，假定单群理论可以适用。试求： 中心区的k¥应等于多少？ 临界判别式及中子通量密度分布。 解：自己设定材料有关参数，以几何中心为原点建立坐标系： I¶2fI1¶fI¶2fIk¥ +=-2fI,0£r£b 方程1 ¶r2r¶r¶z2LIII¶2fII1¶fII¶2fIIk¥ +2=-2fII,0£r£b 方程2 2¶rr¶r¶zLIIIII 由于I区进行了通量展平，即fI=f0为常数，易知k¥=1，而k¥必须大于1. ¶fI¶f 边界条件： i. fII|r=b=f0; ii. DI|x=b=DIIII|x=b ¶x¶x iii. fII|r=a=0 iv. fII|x=±H/2=0