柯西不等式各种形式的证明及其应用.docx

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式各种形式的证明及其应用 2nn柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分næöak2bk2³çakbk÷析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等k=1k=1èk=1ø式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式 ååå在一般形式中，令n=2,a1=a,a2=b,b1=c,b2=d，得二维形式 (a2+b2c2+d2³(ac+bd) 2)()等号成立条件：ad=bc(a/b=c/d) 扩展：a1+a2+a3+×××+an(2222)(b12+b22+b32+×××+bn2)³(a1b1+a2b2+a3b3+×××+anbn) 2æ当ai=0或bi=0时，ai和bi都等于0，ö等号成立条件：a1:b1=a2:b2=×××=an:bnç÷ 不考虑a:b,i=1,2,3,×××,niièø二维形式的证明： (a2+b2)(c2+d2)(a,b,c,dÎR)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2-2abcd+b2c2=(ac+bd)+(ad-bc)³(ac+bd)222等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立三角形式 a2+b2+c2+d2³三角形式的证明： (a-c)+(b-d)22等号成立条件：ad=bcéa2+b2+c2+d2ù=a2+b2+c2+d2+2a2+b2c2+d2ëû³a2+b2+c2+d2+2ac+bd 注：表示绝对值³a2-2ac+c2+b2-2bd+d2=(a-c)+(b-d)222两边开根号，得a2+b2+c2+d2³向量形式 (a-c)+(b-d)22ab³a×b，a=(a1,a2,a3×××,an),b=(b1,b2,b3×××,bn)(nÎN,n³2)等号成立条件：b为零向量，或a=lb(lÎR)向量形式的证明： 令m=(a1,a2,a3,an),n=(b1,b2,b3,bn)m×n=a1b1+a2b2+a3b3+22=a12+a2+a3+anbn=mncosm,n2+bncosm,n22+anb12+b2+b32+cosm,n£1a1b1+a2b2+a3b3+一般形式 nn22+anbn£a12+a2+a3+22+anb12+b2+b32+2+bnænö22ab³abçååkåkkk÷ k=1k=1èk=1ø等号成立条件：a1:b1=a2:b2=×××=an:bn，或 ai、bi均为零。 一般形式的证明： 22ænö22ab³abçååkåkkk÷ k=1k=1èk=1ø证明： 22不等式左边=(ai2b2j+ajbi)+nn+共n2/2项+不等式右边=(aibi)×(ajbj)+(ajbj)×(aibi)+共n2/2项用均值不等式容易证明，不等式左边³不等式右边，得证。推广形式(卡尔松不等式)： 卡尔松不等式表述为：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。 m(x12+x12+m1mx1n)(x21+x21+m1mmx2n)1m(xm1+xm1+æö+çÕxin÷èi=1øm1mxmn)æöæöæö³çÕxi1÷+çÕxi2÷+çÕxi3÷+èi=1øèi=1øèi=1ø其中，m,nÎN+或者： 1m1méæöùæöêÕçåxij÷ú³åçÕxij÷ i=1èi=1øêëj=1èj=1øúû其中，m,nÎN+，xijÎR+mnnm或者 (x1+y1+)(x2+y2+)(xn+yn+)11éù³ê(Õx)n+(Õy)n+ú ëû注：Õx表示x1，y1，xn的乘积，其余同理n推广形式的证明： 推广形式证法一： 记A1=x1+y1+,A2=x2+y2+,An=xn+yn+由平均不等式得xx1x211+nA1A2Anæx1x2xnönæÕxön³ç÷=ççAAA÷÷nAAAnønøè12è12yy1y21+nA1A2Anæy1y2ynönæÕy同理可得³ç÷=ççAAAnAAAnønè12è12上述n个不等式叠加，得æÕxöæÕy1³ç+çAAA÷÷ççAAAnønè12è12³(Õx)+(Õy)+11éùnn即(A1A2An)ê(Õx)+(Õy)+úëû即(x1+y1+)(x2+y2+)(xn+yn+1n11én³ê(Õx)+(Õy)n+ën1n1n1nö÷÷ø1nö+÷÷ø1n)ùú，证毕ûn或者 推广形式证法二： 事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证， 这个不等式并不难，可以简单证明如下： 1mxj1由均值不等式Õn£ånmj=1mj=1xåjiåxjimi=1i=1xj11mxj2同理有Õn£ånmj=1mj=1xåjiåxjimi=1i=1xj21mxjnÕn£månmj=1j=1åxjiåxjimi=1i=1xjnænçmxjk以上各式相加得åçÕnk=1çj=1xjiåçi=1èm1mö÷÷£1÷÷ø1mæöx÷Õjknçj=1÷£1,该式整理，得：上式也即åçmnæö÷k=1çxçÕçåji÷÷ èj=1èi=1øøæmö1émænöùx£xçÕjk÷êÕçåji÷úåmk=1èj=1øëj=1èi=1øû得卡尔松不等式，证毕n1m付：柯西不等式相关证明方法： (a1b1+a2b2+L+anbn)£a1+a2+L+an222(22)(b2122+b2+L+bn)(abÎR,i=1,2Ln) 2ii等号当且仅当a1=a2=L=an=0或bi=kai时成立现将它的证明介绍如下： 证明1：构造二次函数 f(x)=(a1x+b1)+(a2x+b2)+L+(anx+bn) 222=a1+a2+2a12+a2+(22n+an)x2+2(a1b1+a2b2+2+anbn)x+(b12+b2+n+bn) n+an³0 f(x)³0恒成立 D=4(a1b1+a2b2+即(a1b1+a2b2+2+anbn)-4(a12+a2+22n+an)(b12+b22+n+bn) n+bn)£0 2+anbn)£(a12+a2+n+an)(b12+b22+当且仅当aix+bix=0(i=1,2证明数学归纳法 n) 即a1a2=b1b2=an时等号成立 bn 当n=1时 左式=(a1b1) 右式=(a1b1) 显然 左式=右式 当 2n=2时， 右式 =(a12+a2)(b12+b22)=(a1b1)+(a2b2)+a22b12+a12b22 2222³(a1b1)+(a2b2)+2a1a2b1b2=(a1b2+a2b2)=右式 仅当即 a2b1=a1b2 即222a1a2=时等号成立 b1b2故n=1,2时 不等式成立 假设n=k(kÎN,k³2)时，不等式成立 即 (a1b1+a2b2+2+akbk)£(a12+a2+2k+ak)(b12+b22+bkk) 当 bi=kai，k为常数，i=1,222设A=a1=a2=n 或a1=a2=bk2 =ak=0时等号成立 222=ak B=b1=b2=C=a1b1+a2b2+则A+ak+1+akbk 2k+12k+122+ak+1bk+1 2(2)(B+b)=AB+Ab222³C2+2Cak+1bk+1+ak+1bk+1=(C+ak+1bk+1) a1+a2+(2222+ab+k+ak+)(112b+22k+b2+k)b 21³(a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1) n 或a1=a2=ak=0时等号成立 当 bi=kai，k为常数，i=1,2即 n=k+1时不等式成立 综合可知不等式成立 二、柯西不等式的应用 1、巧拆常数证不等式 例1：设a、b、c为正数且互不相等。求证：. 222+a+bb+ca+c2a+b+ca、b、c均为正数 为证结论正确，只需证: 2(a+b+c)ç11öæ1+÷9为证结论正确，只需证： èa+bb+ca+cø而2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(a+c)9=(1+1+1)2只需证: 又11öæ12(a+b+c)ç+÷=a+bb+ca+cèø11öæ1a+b+b+c+a+c+éù()()()ëûça+bb+ca+c÷ èø³(1+1+1)=9又2a、b、c互不相等，所以不能取等 原不等式成立，证毕。 2、求某些特殊函数最值 例2：求函数y=3x-5+49-x的最大值。 函数的定义域为5，9,y0 y=3x-5+49-x£(32+42)2x-5+29-x=5*2=10函数仅在4x-5=39-x，即x=6.44时取到3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。 已知点R(x0,y0)及直线l: Ax+By+C=0 A+B¹0 22()设点p是直线l上的任意一点， 则 Ax+Bx+C=0 p1p2=(x0-x1)+(y0-y1)22点p1p2两点间的距离p1p2就是点p到直线l的距离，求式有最小值，有 A2+B2(x0-x1)+(y0-y1)22³A(x0-x1)+B(y0-y1) Ax0+By0+C-(Ax1+By1+C) 由得： A2+B2p1p2³Ax0+By0+C 即 p1p2³Ax0+By0+CA+B22当且仅当 (y0-y1):(x0-x)1= BAp1p2l 式取等号 即点到直线的距离公式 即 p1p2=Ax0+By0+CA+B224、 证明不等式 a2+b2+c2例 3已知正数a,b,c满足a+b+c=1 证明 a+b+c³ 3333证明：利用柯西不等式 (a2+b2+c22)13131æ3ö2222=çaa+bb+c2c2÷ èø2éæ3ö2æ3ö2æ3ö2ù£êça2÷+çb2÷+çc2÷úa+b+c êëèøèøèøúû=(a3+b3+c3)(a+b+c) 2222(a+b+c=1) 222+ ca又因为 a+b+c³ab+bc在此不等式两边同乘以2，再加上a+b+c得：(a+b+c)£3a+b+c222(2) (a2+b2+c2)£(a3+b3+c3)·3(a2+b2+c2) a2+b2+c2故a+b+c³ 33335、 解三角形的相关问题 例 4设p是ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆的半径，证明x+y+z£1a2+b2+c2 2R证明：由柯西不等式得， x+y+z=ax111+by+cz£ax+by+czabc111+ abc记S为ABC的面积，则 ax+by+cz=2S=2abcabc =4R2Rx+y+z£故不等式成立。 6、 求最值 1abcab+bc+ca1a2+b2+c2 =ab+bc+ca£2Rabc2R2R例5已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3， a+2b+3c+6d=5试求a的最值 解：由柯西不等式得，有 222211ö2222æ12b+3c+6d+÷³(b+c+d) ()çè236ø即2b+3c+6d³(b+c+d) 2222由条件可得， 5-a³(3-a) 22解得，1£a£2当且仅当2b3c6d 时等号成立， =12131611,d=时， amax=2 3621 b=1,c=,d=时 amin=1 33代入b=1,c=7、利用柯西不等式解方程 例6在实数集内解方程 9ì222ïx+y+z= 4íïî-8x+6y-24y=39解：由柯西不等式，得 222222é2ùx+y+z-8+6+-24³-8x+6y-24y ()()()()ëû x+y+z(222-8)éë()22+62+(-24)ù û9=´(64+36+4´144)=392 4又(-8x+6y-24y)=39 22(x2222+y2+z2)é(-8)+62+(-24)ù=(-8x+6y-24z) ëû即不等式中只有等号成立 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 xyz =-86-24它与-8x+6y-24y=39联立，可得 x=-6918 y= z=- 1326138、用柯西不等式解释样本线性相关系数 在线性回归中，有样本相关系数r=å(x-x)(y-y)iii=1nå(xi-x)2å(yi-y)i=1i=1nn，并指出r£1且r越接近2于1，相关程度越大，r越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。 现记ai=xi-x，bi=yi-y，则， r=åabi=1n2ini=1nii，由柯西不等式有，r£1 2iåaåbi=1当r=1时，å(ab)=åaåbii2ii=1i=1i=1n2nn2i此时，(yi-y)=bi(xi-x)ai=k，k为常数。点(xi,yi) i=1,2Ln均在直线 y-y=k(x-x)上，r 当r®1时，å(ab)iii=1n2inn2®åai=12in2iåbi=1n2i即å(ab)-åaåbiii=1nn2®0 2i=1ni=1n而å(aibi)-åaåbi2=-å(aibj-ajbi)22ii=1i=1i=11£i£j£n1£i£j£nå(abij-ajbi)®0Þaibj-ajbi®0 2Þbi®k,k为常数。 ai此时，此时，(yi-y)=bi(xi-x)ai=k，k为常数 点(xi,yi)均在直线y-y=k(x-x)附近，所以r越接近于1，相关程度越大 当r®0时，(ai,bi)不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k，使得点(xi,yi)都在直线y-y=k(x-x)附近。所以，r越接近于0，则相关程度越小。 9、关于不等式(a+b)(c+d)³(ac+bd)的几何背景 几何背景：如图，在三角形OPQ中，P(a,b),Q(c,d),ÐQOP=q， 则 OP=22222a2+b2,OQ=c2+d2, Q PQ=(a-c)2+(b-d)2. O P 将以上三式代入余弦定理PQ=OP+OQ-2OP×OQ×cosq，并化简，可得 222cosq=(ac+bd)2或cosq=2. 2222222(a+b)(c+d)a+b×c+dac+bd22(ac+bd)2因为0£cosq£1，所以，2£1， 222(a+b)(c+d)于是 (a+b)(c+d)³(ac+bd). 柯西不等式的相关内容简介 赫尔德(Holder)不等式 (a1+a2+L+an)(b1+b2+L+bn)³a1b1+a2b2+L+anbn(ppp1pqqq1q2222211+=1) pq 当p=q=2时，即为柯西不等式。因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。 平面三角不等式 a1+a2+L+an+b1+b2+L+bn³(a1+b1)2+(a2+b2)2+L+(an+bn)2222222 可以借助其二维形式a1+a2+b1+b2³2222根据(a1+b1)2+(a2+b2)2来理解，三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。 该不等式的一般形式 (a1+a2+L+an)+(b1+b2+L+bn)³(a1+b1)p+(a2+b2)p+L+(an+bn)p 称为闵可夫斯基不等式。它是由闵可夫斯基在对n维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点x=(x1,x2,L,xn),y=(y1,y2,L,yn)，定义其距离为 r(x,y)=(ppp1pppp1p1påxini-yi). p1p闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何，建立了一种类似于现代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础。这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。