构造等差数列解三角题.docx

构造等差数列解三角题构造等差数列解三角题 祁福元 在三角函数问题中，根据题中的信息，利用等差中项a+c=2b的特征，构造相应的等差数列，可改变问题的原有结构，能沟通三角与代数的相互转化，往往会优化解题思路。 一、利用两个函数的和为定值构造数列 例1. 已知sinq+cosq=15q=æ，çpè2,pö÷ø，则cotq=_。 解：sinq+cosq=115=2´10 构造数列sinq,110,cosq 设sinq=110-d,cosq=110+d qÎæ 由çpö1è2,p÷ø知10+d<0 即d<-110 又由sin2q+cos2q=1 æ22 得ç1è10-dö÷æ1ø+çöè10+d÷ø=1 解得d=-710 所以sinq=86310，cosq=-10，cotq=-4 例2. 已知As2ix+nBc2ox=sC,asxi+bncxo=0s(a¹0,b¹0)2ab+(bA2-a2)B+(a2+b2)C=0。 证明：asinx+bcosx=2´0(a¹0,b¹0) 构造数列asinx,0,bcosx 设asinx=d,bcosx=-d，则 22sin2x+cos2x=ædöæ-dö çèa÷ø+çèb÷ø=1 a22 所以d2=ba2+b2 所以C=Asin2x+Bcos2x=2Asinxcosx+B(cos2x-sin2x)求证，-2Ad2Bd2(a2-b2)=+aba2b2B(a2-b2)-2Aab=a2+b2 2222 所以2abA+(b-a)B+(a+b)C=0 二、利用两角和为定值构造数列 例3. 在ABC中，a+c=2b， 解：A-C=p3，sinB=_。 A+(-C)=A-C=pp=2´36 p-C,A6 构造数列ppA=+d,-C=-d66 设，则 pC=d-,A+C=2d6 所以sinB=sinp-(A+C)=sin2d 因为a+c=2b 所以2RsinA+2RsinC=2×2RsinB 所以sinA+sinC=2sinB pöæpöæsinç+d÷+sinçd-÷=2sin2d6øøè 即è6 所以2sindcosp6 dcosd =2´2sin3cosd=4 所以 由 故sind>0 -C=p5ppp-d<0A=+d<p<d<6 66及知6313=164 所以 所以sinB=sin2d sind=1-=2×13339×=448 112A-C+=-coscosB，求2的值。 例4. 在ABC中，A+C=2B，且cosAcosC 解：因为A+C=2B 所以A+B+C=2B+B=180° 所以B=60° 所以A+C=120°=2×60° 构造数列60°+，60°，60°，则 11+cosAcosC11=+cos(60°+a)cos(60°-a) 2 化简，得4cosa+2cosa-3=0 =-2cos60°ì0°<60°+a<180°í 由î0°<60°-a<180° 得-60°<a<60° -2+2+4´4´32=2´42 所以(60°+a)-(60°-a)A-Ccos=cos22 所以 cosa=三、变量代换构造数列 =cosa=22 2sinA+2的最小值。 例5. 若A为三角形的一个内角，试求sinA2sinAt+=t=2´22 解：设sinA 因为A为三角形内角，所以0<sinA£1,t>0 2tsinA,2 构造数列sinA22tsinAt=+d,=-d22 设sinA2 tt1+d³2,0<-d£22 则2tt1d³2-,d³-222 即3d³4 两式相加，得ætö=sinA=2ç-d÷tè2ø+d 由2 t2-d2=1 得4 2255æ3öt=4d+4³4´ç÷+4=,t³42 è4ø 所以53t=d=2、4时 因为当222æ5sinA=2ç-è4 3ö÷=14ø sinAö5æ2p+=ç÷A=2ø最小2 2时，èsinA 当 例6. 求y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值。 解：设sinx+cosx=t=2´t2 pöæsinx+cosx=2sinçx+÷4ø è 因为 所以tÎ-2,2 tsinx,cosx2 构造数列 ttsinx=-d,cosx=+d22 设 1y=t2+t-d24 于是，tÎ-2,2 -b-1t顶点=-2<-212a2´4 因为 1f(t)=t2+t24 所以-2,2为的增区间，且f(t)最大、d最小时，y有最大值。 所以当t=2、d=0、 即sinx=cosx=22 x=2kp+p(kÎZ)4 2y最大(2)=4+2=1+22