极限法则大全 .docx
极限法则大全 从而有 B - A = | B - f(x) + f(x) - A | <= | f(x) - B | + | f(x) - A | <2，B - A<2与假设A < B矛盾。 定理5.(局部保号性定理)若lim(x)=A且A>0(或A<0). 则存在那么一个时刻, 在此时刻以后, 就恒有(x) >0(或(x) <0).证明设A > 0取正数< A, 由lim(x)= A的定义,"e>0,必存在那么一个时刻, 在此时刻以后, 就恒有| (x) A |< 即A< (x) < A+由A >0知(x) >0.同理可证A<0的情形.推论1. 若lim(x) = A且A 0(或A 0). 则存在那么一个时刻, 在此时刻以后, 就恒有(x)0(或(x)0). 16证明定理5的推论1：因为Lim f(x) = A，所以由极限定义，对正数, 存在 1 > 0,适合不等式 0 < | x - x0 | < 1 的一切x所对应的 f(x), 恒有 | f(x) - A | <，所以有A-< f(x) <A+,若A0,那么A-0,所以f(x)0 推论2.若lim(x)= A存在, 则存在一个时刻, 在此时刻以后, 就恒有|(x)| >| A |/2.定理6.(局部保号性定理)若lim(x)= A且(x)0(或(x)0), 则A 0(或A0).其证明可用反证法(略).也可将(x)0中等号去掉, 定理结论同样成立.推论3.若lim(x)与limg(x)存在, 且(x)g(x),则lim(x)limg(x).上述几条性质对于特殊函数数列也适用.证明推论2，因为任意性，所以由极限定义，对正数,取=A/2, 一定存在 2 > 0,17适合不等式 0 < | x - x0 | < 2 的一切x所对应的 f(x), 恒有 | f(x) - A | <,又=A/2,带入不等式，去绝对值得A/2< f(x) <3A/2 (根据题目要求,可对极限定义中取需要的值,然后消掉得证新结论) 上边用极限定义证明过程，就是将极限转化为不等式表示方法，然后利用绝对值性质，得到新的绝对值不等式， 无穷小也是一种极限为零的函数，同样可以用极限定义来证明无穷小一些定理 一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设lima=0,limb=0,x®x0x®x0"e>0,$d1>0,当0<x-x0<d1时, 有a<e2$d2>0,当0<x-x0<d2时, 有b<e2取d=mind1,d2,则当0<x-x0<d时, 有ea+b£a+b<e+=e22因此x®x0lim(a+b)=0.目录上页下页返回结束这说明当x®x0时,a+b为无穷小量.机动(根据任意性，将极限定义中，变为/2 ) 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小. 说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，111ölimnæ+2+L+2ç2÷=1n®¥èn+pn+2pn+npø( P56 , 题4 (2) )解答见课件第二节例上题是求无限个无穷小的和极限,不能直接使用极限和的法则,因为极限和法则nn1111只使用有限个和,(举例lim=0,因为lim=lim(+×××+),因为n®¥,®0,如果n®¥nn®¥nn®¥nnnn111用极限加法法则,那么lim(+×××+)=0,为何不对,因为极限加法,乘法四则运算法则只n®¥nnn机动目录上页下页返回结束使用有限项和或积情形.) 求无限个无穷小的和极限先要用数学方法把无限项合并为有限项,然后用夹逼定理求极限 ,本题运用数学缩、放,把无限项分母统一,得到缩小的和,放大的和,缩、放后两个和都存在极限，而且缩、放后两个和极限等于1，则原来无限项之和极限等于1. 下面利用极限定义推出极限四则运算法则 一个函数极限存在,一个函数极限不存在,请问他们相加后和相乘后极限是否存在?举例说明 设(n趋于+，-，x0，的符号省略了),limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An·Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) 首先看一下极限的定义: 如果数列Xn和常数A有以下关系:对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足nN的一切Xn,不等式|Xn-A|都成立, 则称常数A是数列Xn的极限,记作limXn=A. 根据这个定义,首先容易证明: 引理1:limC=C. (即常数列的极限等于其本身) 因为|Xn-A|=|c-c|，所以常数列也是一种函数,它的极限等于其本身 法则1设limAn=A,limBn=B,则有lim(An+Bn)=A+B的证明: limAn=A, 对任意正数,存在正整数N,使nN时恒有|An-A|.(极限定义) 同理对同一正数,存在正整数N,使nN时恒有|Bn-B|. 设N=maxN,N,由上可知当nN时两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)| =|An-A)+(Bn-B)| |An-A|+|Bn-B| 即:对任意正数2,存在正整数N,使nN时恒有|(An+Bn)-(A+B)|2. 由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B. 分析证明函数和的极限思路： 把已知limAn=A,limBn=B,，转化为两组条件不等式组 对任意正数,存在正整数N,使nN时恒有|An-A|.(极限定义) 对同一正数,存在正整数N,使nN时恒有|Bn-B| 再N=maxN,N假设下得当nN时两式全都成立条件不等式. 再根据绝对值不等式性质公式运算得 |(An+Bn)-(A+B)| =|An-A)+(Bn-B)| |An-A|+|Bn-B|+ =2. 因为是任意小,所以M也是任意小(M为常数),把limAn=A,用不等式表示时,可以根据证明需要表达成:对任意正数M,存在正整数N1,使nN1时恒有|An-A|M 小结:所有已知两个函数具体极限值，那么两个函数和的极限定义证明过程,都与上边系统。如果不要求用定义证明,可以直接运用加法法则求出函数和的极限.(注意加法法则适用范围:有限项函数和). 例如如果各函数x®x0极限存在limf(x)=a，limg(x)=b，limh(x)=c，那么和极限存x®x0x®x0x®x0在limf(x)+g(x)+h(x)=a+b+c x®x0例如如果limf(x)=a，limg(x)=b，limh(x)=c，那么和极限x®x1x®x2x®x3x®x0limf(x)+g(x)+h(x)不存在 (3)法则1逆命题:设有lim(An+Bn)=A+B则limAn=A,limBn=B,举例说明逆命题是否成立(4种情况) (4)一个函数极限存在,一个函数极限不存在,请问他们相加后极限是否存在?举例说明，它可以用法则2证明 为了证明法则2,先证明1个引理. 引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=CA.(C是常数) 证明:limAn=A, 对任意正数,存在正整数N,使nN时恒有|An-A|.(极限定义) 式两端同乘|C|(不等式两边不能乘c，因为c可正可负),得: |C·An-CA|C. 由于是任意正数,所以C也是任意正数. 即:对任意正数C,存在正整数N,使nN时恒有|C·An-CA|C. 由极限定义可知,lim(C·An)=CA. (若C=0的话更好证) 法则2的证明: lim(An-Bn) =limAn+lim(-Bn) (法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 例如(1)已知limf(x)+ax+b=c，的表达式），求limf(x)+ax是否有x®¥x®¥极限，limf(x)是否有极限 x®¥法则3的逆命题，如果函数积的极限lim(An·Bn)存在，那么因子的极限lim(An)、 limBn是否存在。 法则3的逆否命题，如果函数积的极限lim(An·Bn)不存在，那么因子的极限lim(An)、 limBn是否存在。 如果函数积的极限lim(An·Bn)存在，因子的极限lim(An)存在，那么 limBn是否存在。 法则4的证明: lim(An的k次方) =limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) .(往复k-1次) =(limAn)的k次方 =A的k次方. 法则5 定理5 .若limf(x)=A,limg(x)=B,且B0 , 则有limf(x)limf(x)A=g(x)limg(x)B证:因limf(x)=A,limg(x)=B,有f(x)=A+a,g(x)=B+b,其中a,b为无穷小f(x)AA+aA1-=-=(Ba-Ab)g(x)BB+bBB(B+b)无穷小有界f(x)A=+g因此g为无穷小,g(x)1Bo12limf(f(xÎUxx=<)A=x0)lim=由极限与无穷小关系定理, 得B+bg(x)BP44)limg(x)g(x)B(详见设g=法则5的逆命题，如果函数商的极限lim(An/Bn)存在，那么因子的极限lim(An)、 limBn是否存在。 法则5的逆否命题，如果函数商的极限lim(An·Bn)不存在，那么因子的极限lim(An)、 limBn是否存在。 如果函数商的极限lim(An·Bn)存在，因子的极限lim(An)存在，那么 limBn是否存在。 机动目录上页下页返回结束
