极坐与参数方程题型及解题方法.docx

极坐与参数方程题型及解题方法一、复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x轴的正半轴。如果点P在直角坐标系下的坐标为(x,y)，在极坐标系下的坐标为(r,q)，则有下列关系成立：cosq=xr，sinq=yr， 3、 参数方程í2ìx=rcosq表示什么曲线？ îy=rsinq224、 圆(x-a)+(y-b)=r 的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O，称为极点，作一水平射线Ox，称为极轴，在Ox上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=rOP，又ÐxOP=q. r和q的值确定了，则P点的位置就确定了。r叫做P点的极半径，q叫做P点的极角，(r,q)叫做P点的极坐标。显然，每一对实数(r,q)决定平面上一个点的位置. 6、参数方程的意义是什么？ 二、题型与方法归纳 1、 题型与考点极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 1 (3) 利用参数方程求值域参数方程的几何意义2、解题方法及步骤 、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t).一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标 t-tìïx=2-2例1、方程í表示的曲线是 t-tïîy=2+2A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t与2-t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可t消去含t的项，x-y=(2-2)-(2+2)=-4，即有x+y=4，又注意到 22t-t2t-t2222t>0，2t+2-t³22t×2-t=2，即y³2，可见与以上参数方程等价的普通方程为y2-2=4(y³2)，显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B. 练习1、与普通方程x+y-1=0等价的参数方程是 2ìx=sintAí2îy=costìx=tantBí2îy=1-tant2ìx=1-tCíîy=tìx=costDí2îy=sint解析：所谓与方程x+y-1=0等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且x,y的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解. 对于A化为普通方程为x+y-1=0，xÎ-11，yÎ01； 21； 对于B化为普通方程为x+y-1=0，xÎR，yÎ(-¥，+¥)，yÎ(-¥，1; 对于C化为普通方程为x+y-1=0，xÎ0，对于D化为普通方程为x+y-1=0，xÎ-11，yÎ01. 2221，而已知方程为x+y-1=0，xÎR，yÎ(-¥，显然与之等价的为B. 练习2、设P是椭圆2x+3y=12上的一个动点，则x+2y的最大值是 ，最小值为 . 分析：注意到变量(x,y)的几何意义，故研究二元函数x+2y的最值时，可转化为几何问题.若设x+2y=t，则方程x+2y=t表示一组直线，显然(x,y)既满足2x+3y=12，又满足x+2y=t，故点(x,y)是方程组22222ì2x2+3y2=12的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一íîx+2y=t2 元二次方程的判别式D³0问题. 解析：令x+2y=t，对于(x,y)既满足2x+3y=12，又满足x+2y=t，故点(x,y)22ì2x2+3y2=12是方程组í的公共解，依题意得11y2-8t×y+(2t2-12)=0，由îx+2y=tD=64t2-4´11´(2t2-12)³0，解得：-22£t£22，所以x+2y的最大值为22，最小值为-22. 、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是极点与原点重合；极轴与x轴正方向重合；取相同的单位长度.设点P的直ìr2=x2+y2ìx=rcosqï角坐标为(x,y)，它的极坐标为(r,q)，则í或í；若把直角坐标yy=rsinqîïtanq=xî化为极坐标，求极角q时，应注意判断点P所在的象限，以便正确地求出角q. 例2、极坐标方程4r×sin2q2=5表示的曲线是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线 分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断. 1-cosq=2r-2rcosq=，化为直角坐标系方程为522252x2+y2-2x=5，化简得y2=5x+.显然该方程表示抛物线，故选D. 4解析：由4r×sin2q=4r×练习1、已知直线的极坐标方程为rsin(q+p4)=2，则极点到该直线的距离是 2解析：极点的直角坐标为O(0,0)，对于方程rsin(q+p4)=22(rsinq+rcosq)=， 222 2可得rcosq+rsinq=1，化为直角坐标方程为x+y-1=0，因此点到直线的距离为 练习2、极坐标方程rcosq-r=0转化成直角坐标方程为 Ax+y=0或y=1 Bx=1 Cx+y=0或x=1 Dy=1 分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解. 解析：rcosq-r=0，Þr= 练习3、点M的直角坐标是(-1,222222x2+y2=0，或rcosq=x=0，因此选C. 3)，则点M的极坐标为 p2pppA(2,) B(2,-) C(2,) D(2,2kp+),(kÎZ) 33333 解析：(2,2kp+2p),(kÎZ)都是极坐标，因此选C. 3、参数方程与直角坐标方程互化 ìïx=-2+10cosq例3：已知曲线C1的参数方程为í，曲线C2的极坐标方程ïîy=10sinq为r=2cosq+6sinq 将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程； 曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由 ìïx=-2+10cosq22解：由í得(x+2)+y=10， ïîy=10sinq曲线C1的普通方程为(x+2)+y=10， r=2cosq+6sinq，r=2rcosq+6rsinq， r=x+y，x=rcosq，y=rsinq， x+y=2x+6y，即(x+2)+y=10， 曲线C2的直角坐标方程为(x+2)+y=10； 圆C1的圆心为(-2,0)，圆C2的圆心为(1,3)， 222222222222C1C2= (-2-1)2+(0-3)2=32<210 两圆相交，设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2 +(d22322)=(10)2，d=22，公共弦长为22 2 练习1、坐标系与参数方程. ìx=3+2cosq已知曲线C：í将曲线化为普通方程； 求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程 22解析：x+y-23x-2y=0 r=2 (3cosq+sinq 4 )利用参数方程求值域 例题4、在曲线C1：íìx=1+cosq(q为参数）上求一点，使它到直线C2：îy=sinq1ìx=-22+tïï2(t为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离. í1ïy=1-tïî2解：直线C2化成普通方程是x+y-22-1，设所求的点为P(1+cosq,sinq)， 则C到直线C2的距离d=|1+cosq+sinq+22-1|2=|sin(q+p4)+2|， 当q+ p4=223p5p,-). 时，即q=时，d取最小值1 ，此时，点P的坐标是(1-2242练习1、在平面直角坐标系xOy中，动圆x+y-8xcosq-6ysinq+7cosq+8=0 的圆心为P(x,y) ，求2x-y的取值范. 222解：由题设得íìx=4cosq， îy=3sinq73cos(q+j)，所以-73£2x-y£73. 于是2x-y=8cosq-3sinq= 3ìx=-tïï5 将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程； 设直线L与x轴的交点是M，N曲线C上一动点，求|MN|的最大值. 2解：曲线C的极坐标方程可化为： r=2rsinq 又x+y=r， x=rcosq，y=rsinq. 所以，曲线C的直角坐标方程为：x+y-2y=0. 222225 将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：y=- 令y=0 得x=2即M点的坐标为(2,0)， 4(x-2)， 3 又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r=1， 则|MC|=5，|MN|£|MC|+r=5+1. 直线参数方程中的参数的几何意义 例5、已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角a=写出直线l的参数方程; 设l与圆x+y=4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积. 22p6， ìpì3x=1+tcosx=1+tïïïï62 解 直线的参数方程为í，即í pïy=1+tsinïy=1+1tïï6îî2ì3x=1+tïï222 把直线í代入x+y=4， ïy=1+1tïî2得(1+321t)+(1+t)2=4,t2+(3+1)t-2=0，t1t2=-2， 22则点P到A,B两点的距离之积为2 4ìx=1+tïpï5练习1、求直线í被曲线r=2cos(q+)所截的弦长. 4ïy=-1-3tï5î4ìx=1+tïpï5解：将方程í，r=2cos(q+)分别化为普通方程： 4ïy=-1-3tï5î211， 3x+4y+1=0，x2+y2-x+y=0，圆心C(,-)，半径为222圆心到直线的距离d=117122-=. ，弦长l=2r-d=221005106 、参数方程与极坐标的简单应用 参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题. 例6、已知DABC的三个顶点的极坐标分别为A(5,p)，B(5,)，C(-43,)， 323pp判断DABC的形状，并计算其面积. 分析：判断DABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长. 解析：如图，对于ÐAOB=p3又|OA|=|OB|=5，|OC|=43，由余弦定理得： ，ÐBOC=5p5p，ÐAOC=， 66 B A O x C AC=OA+OC-2OA×OC×cosÐAOC5p=133， 6|AC|=133，同理|BC|=133，|AC|=|BC|， 所以DABC为等腰三角形，又|AB|=|OA|=|OB|=5， =52+43-2´5´43×cos222()2所以AB边上的高h=(AC(2æ1ö133-ç(AB(÷=， 2è2ø21133653SDABC=´´5=. 224练习1、如图，点A在直线x=5上移动，等腰DOPA的顶角ÐOPA为120，求点P的轨迹方程. 解析：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系， y 则直线x=5的极坐标方程为rcosq=5， P A 设A(r0,q0)，P(r,q)，因点A在直线rcosq=5上， r0cosq0=5<1> DOPA为等腰三角形， 0 O x 且ÐOPAA=120，而|OP|=r，|OA|=r0， 以及ÐPOA=30°， r0=3r，且q0=q-30°<2>，把<2>代入<1>， 得点P的轨迹的极坐标方程为：3rcos(q-30°)=5. 0三、趁热打铁 1把方程xy=1化为以t参数的参数方程是 1ììx=tantìx=sintìx=cost2x=tïïïïAí B C D1 11ííí1y=y=y=ïy=t-2ïïïtantsintcostîîîî解析：D ， xy=1，x取非零实数，而A，B，C中的x的范围有各自的限制. 7 2曲线íìx=-2+5t(t为参数)与坐标轴的交点是 îy=1-2t2512151259A(0,)、(8,0) D(0,)、(,0) B(0,)、(,0) C(0,-4)、(8,0) 解析：B，当x=0时，t=211，而y=1-2t，即y=，得与y轴的交点为(0,)； 555111当y=0时，t=，而x=-2+5t，即x=，得与x轴的交点为(,0). 2223直线íAìx=1+2t(t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长为 îy=2+t129129 B5 D10 5 C55552ìx=1+2t5，把直线í代入 1y=2+tî5ìx=1+5t´ïìx=1+2tï解析：B íÞíy=2+tîïy=1+5t´ïîx2+y2=9得(1+2t)2+(2+t)2=9,5t2+8t-4=0， 8161212t1-t2=(t1+t2)2-4t1t2=(-)2+=，弦长为5t1-t2=5 5555ìx=4t2(t为参数)上，则PF等于 4若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线íîy=4tA2 B3 C4 D5 解析：C 抛物线为y=4x，准线为x=-1，PF为P(3,m)到准线x=-1的距离，即为4. 2ìx=2pt2(t为参数,p为正常数)上的两点M,N对应的参数分别为t1和t2,，5已知曲线íîy=2pt且t1+t2=0，那么MN=_。 解析：4pt1， 显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。即x轴，MN=2pt1-t2=2p2t1 8 6圆的参数方程为íìx=3sinq+4cosq(q为参数)，则此圆的半径为_。 îy=4sinq-3cosq解析： 由íìx=3sinq+4cosq22得x+y=25 故半径为5. îy=4sinq-3cosq1tìx=(e+e-t)cosqïï27分别在下列两种情况下，把参数方程í化为普通方程： ïy=1(et-e-t)sinqïî2q为参数，t为常数；t为参数，q为常数； 解：当t=0时，y=0,x=cosq，即x£1,且y=0； 当t¹0时，cosq=x1t-t(e+e)2,sinq=y1t-t(e-e)2+y2， 而sinq+cosq=1，即22x21t(e+e-t)241t-t2(e-e)4=1； 当q=kp,kÎZ时，y=0，x=±1t-t(e+e)，即x³1,且y=0； 2p1t-t当q=kp+,kÎZ时，x=0，y=±(e-e)，即x=0； 222x2x2yìtìt-te+e=2e=+ïïkpïïcosqcosqsinq当q¹，即í ,kÎZ时，得í2y2x2y2ïet-e-t=ï2e-t=-ïïsinqcosqsinqîîx2y22x2y2x2y-2=1. 得2e×2e=(+)(-)，即2cosqsinqcosqsinqcosqsinqt-t8过点P(10,0)作倾斜角为a的直线与曲线x2+12y2=1交于点M,N， 2求PM×PN的值及相应的a的值. ì10+tcosaïx=(t为参数)，代入曲线并整理得 解：设直线为í2ïy=tsinaî9 332， (1+sin2a)t2+(10cosa)t+=0，则PM×PN=t1t2=221+sinap3p2所以当sina=1时，即a=，PM×PN的最小值为，此时a=. 242ìx=cosq(sinq+cosq)9参数方程í(q为参数)表示什么曲线？ y=sinq(sinq+cosq)îy211y2,cosq=解：显然=tanq，则2+1=， y2xcos2qx+1x2 x=cosq+siqn21cqo=s2sqin+22qco=s´122taqn21+taqn+2 qcosyy+111y2yxx即x=´+=,x(1+)=+1， y2y2y22x2x1+21+21+2xxx2y2y=+1，即x2+y2-x-y=0. 得x+xx四、温故强化 1下列在曲线íìx=sin2q(q为参数)上的点是 îy=cosq+sinq3142A(,-2) B(-,) C(2,3) D(1,3) 解析：B 转化为普通方程：y=1+x，当x=-21231时，y=. 422ìïx=2+sinq(q为参数)化为普通方程为 2将参数方程í2ïîy=sinqAy=x-2 By=x+2 Cy=x-2(2£x£3) Dy=x+2(0£y£1) 解析：C 转化为普通方程：y=x-2，但是xÎ2,3,yÎ0,1. 3. 若A(3,p)，B(-3,)，则|AB|=_，SDAOB=_ 360p解析：在极坐标系中画出点A、B，易得ÐAOB=150， 10 在DAOB中，由余弦定理得：AB=OA+OB-2OA×OBcosÐAOB， 222|ABB|=32+32-2´3´3´cos1500=32+3= 所以SDOAB3(6+2)， 2119=OA×OB×sinÐAOB=´3´3´sin150°=. 2241ìx=2-tïï2(t为参数)224直线í被圆x+y=4截得的弦长为_ ïy=-1+1tïî2解析：14 直线为x+y-1=0，圆心到直线的距离d=12，弦长的一半为=2222-(2214，得弦长为14. )=22ìx=x0+t5. 直线í上任一点P到P0(x0，y0)的距离为_ y=y-3tî0解析：所求距离为2|t| x2y26. 若F1、F2是椭圆+=1的焦点，P为椭圆上不在x轴上的点，则DPF1F2的重心G 2516的轨迹方程为_。 解析：设G(x,y)，P(5cosq,4sinq)，而F1(-3,0)，F2(3,0)， 5cosq+(-3)+35cosqìx=ïï33 由重心坐标公式，得：í， 4sinq+0+04sinqïy=ï33î9x29y2 消参，得点G的轨迹方程为+=1. 25167. 若方程mrcosq+3rsinq-6cosq=0的曲线是椭圆，求实数m的取值范围. 解析：将方程两边同乘以r，化为：m(rcosq)+3(rsinq)-6rcosq=0， 2222(x-即mx+3y-6x=0，整理得2232)2m+y=1，若方程表示椭圆， 93mm211 ì9ïm2>0ïï33)U(3，+¥). 则m须满足：í>0，Þm>0且m¹3Þ，mÎ(0，ïm3ï9¹ïm2mîx2y2+=1上一点P与定点(1,0)之间距离的最小值. 8. 求椭圆94解析：，设P(3cosq,2sinq)，则P到定点(1,0)的距离为：d(q)=(3cosq-1)2+(2sinq-0)2=5cos2q-6cosq+5 316453=5(cosq-)2+，当cosq=时，d(q)取最小值. 5555x2y2+=1上找一点，使这一点到直线x-2y-12=0的距离的最小值. 9在椭圆16124cosq-43sinq-12ìïx=4cosq解析：设椭圆的参数方程为í，d=， 5ïîy=23sinq =4545qcosq-3sinq-3=2cos(q+)-3 553 当cos(q+ p3)=1时，dmin=45，此时所求点为(2,-3). 5ìïx=1+t(t为参数)和直线l2:x-y-23=0的交点P的坐标，10求直线l1:í及点P ïîy=-5+3t与Q(1,-5)的距离. ìïx=1+t解析：将í代入x-y-23=0得t=23， ïîy=-5+3t得P(1+23,1)，而Q(1,-5)，得PQ=(23)2+62=43. 12