第三讲层次分析法建模课件.ppt

一、层次分析法概述,问题的提出:日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时,需要依据一定的标准选择某一种方案。例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重，给用数学方法解决问题带来不便。,一、层次分析法概述,T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了一种能有效处理上述这类问题的实用方法层次分析法（Analytic Hierarchy Process,简称AHP),层次分析法是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。,1.什么是层次分析法？2.层次分析法适用范围3.层次分析法的优点,层次分析法的基本思路：,与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。,选择钢笔,质量、颜色、价格、外形、实用,钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4,质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔,二、层次分析法建模的基本步骤,二、层次分析法建模的基本步骤,运用层次分析建模，大体上可按下面四个步骤进行：1.建立层次结构模型 分析系统中各因素间的关系，建立系统的递阶层 次结构；2.构造判断矩阵 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较，构造两两比较的判断矩阵；3.层次单排序与一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的 相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验；4.层次总排序及其一致性检验 计算各元素对于系统目标的总排序权重，并进行排序。,三、层次分析法各步骤的实现过程,（一）层次结构图（层次结构模型）概念 由目标层、准则层（指标层）、方案层等组成的多层次树状或网 状图，称为层次结构图。不论多指标决策是复杂或简单，都可以 画出层次结构图。分类 根据自上而下的支配关系的不同，层次结构图又分为树状图和网 状图。示例如图说明 1.对于一般的决策层次分析模型可分为三层：最高层（目标层）、中间层（准 则层）、最底层（方案层），各层可以根据问题的需要细分为若干子层。最 高层只有一个元素，用于分析预定目标或结果，中间层可由若干准则、子准 则层组成。最底层则由为实现目标而提供选择的各种措施与决策方案组成，也称方案层。2.每一层次中各元素所支配的元素一般不超过9个。,续层次结构图,特点 1.元素按从上到下的顺序进行支配，同一层次元素之间不存在支 配关系；2.目标层只有一个元素，每个元素所支配的元素不超过9个，否 则需要进一步分组。（图例说明）实例 1.择校问题 2.合理使用企业利润问题,（二）判断矩阵,判断矩阵的概念判断矩阵是指层次结构图上某一层面各个元素之间关于上一层次中某一准则的相互重要性给以量化判断所构成的方阵。构造判断矩阵是进行层次分析的关键。判断矩阵的框架结构(我们用图1所示的层次结构图分析说明)包括面向紧上层面的目标（准则），与之相关联元素组成的方阵，即A=（bij)nn。如图1，第二层面有三个元素，即B1、B2、B3，针对上一层面A目标的Bj之间重要性判断矩阵的框架结构如表一。第三层面有六个元素，针对第二层面Bj目标，可以写出Cj之间的重要性判断矩阵有三个，见表24。依此类推，可以写出第四面Sj之间的重要性判断矩阵六个。,续判断矩阵,判断矩阵元素量化标度根据心理学家的研究认为，人们区分信息等级的极限能力为72的大致幅度。因此Saaty提出判断矩阵标度应取19之间的数值，详见表五。显然判断矩阵A=（bij)nn是正互反阵，因为bii=1,bij=1/bji 另外，nn阶判断矩阵只需给出n(n-1)/2个判断数。,续判断矩阵,产生判断矩阵的判断数（bij)的方法判断矩阵的判断数不应该由个别人主观估计，而应该请有责任感且是内行的多位专家参与估计。一般来讲，方案（措施）层的判断矩阵估计关系到决策质量，因此人员结构与专家数目应特别慎重。专家估计判断矩阵元素的方法有静态法和动态法两种。所谓动态法，就是给定一个nn阶方阵，按表五要求，估计出n(n-1)/2个判断数。此法简单扼要，应用较广。但要让专家直接在判断矩阵上标出19数值一般不太容易，所以常用一种称为静态法的方法，即不去比较同一层面各元素之间谁轻谁重，孰优孰劣，而是进行单个元素与上个层面的目标（准则）对比。示例见表六。显然专家填列此表不会感到困难。,续判断矩阵,静态判断值转化为动态判断值的方法 如何将专家静态法产生的判断数，转化为nn阶判断矩 阵元素bij，是静态法是否有使用价值的关键 1.静态法与动态法数值转化对应表（见表七）2.应用举例 试将表六中静态判断值转化为动态判断值（见表八十）,（三）层次单排序与一致性检验,层次单排序、判断矩阵一致性的概念,层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如 一块石头重量记为1，打碎分成 n个小块，各块的重量,分别记为：,则可得成对比较矩阵,可以看出,即,在正互反矩阵A中，若,则称A为一致阵。,（三）层次单排序与一致性检验,层次单排序 在构造判断矩阵之后，解出判断矩阵的最大特征值，再利用它对应的特征方程，解出对应的特征向量W，W经过标准化后，即为同一层次中相应元素对于上一层次中的某个因素相对重要性的排序权值，这一过程即求层次单排序。（相关理解见注解）最大特征值和特征向量的计算 由于判断矩阵中的元素 的给出是比较粗糙的，当n很大时，计算 和W很麻烦，因此，在计算判断矩阵的最大特征值和特征向量时可以采取近似计算。常用的方法有：方根法、和法、特征根法。由于MATLAB软件的广泛使用，因此现在一般用特征根法来解决此类问题。详见应用举例。,续层次单排序与一致性检验,为什么要进行一致性检验？在判断矩阵的构造中，由于客观事物的复杂性与人的认识的多样性，因此并不要求一致性定义中的等式aijajk=aik成立，但要求判断有大体上的一致是应该的，出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常识的，一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策失误，而且上述各种计算排序权重的方法当判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠性也就值得怀疑。因此，需要对判断矩阵的一致性进行检验。检验一致性的指标 检验判断矩阵是否有一致性，用两种指标进行检验：CI与CR（Saaty首先提出），步骤为：,续层次单排序与一致性检验,（1）CI称为判断矩阵偏离一致性指标：当 时，CI=0，表示判断矩阵具有完全的一致性。CI0时，需要用CR检验后才有结论。（2）CR称为判断矩阵随机一致性指标：式中RI为平均随机一致性指标，见下表表十一 平均随机一致性指标RI(19阶正互反阵取样1000得到的平均值）,续层次单排序与一致性检验,当CR=0时，判断矩阵有完全随机一致性；当CR0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的（满意），否则应对判断矩阵作适当调整。应用举例应用MATLAB计算判断矩阵排序权重向量、最大特征值，并进行一致性检验。此例前面我们已算得最大特征值，于是有：可见此判断矩阵具有较好的一致性。,（四）层次总排序与一致性检验,层次总排序的概念 层次单排序后，还需要进行层次总排序，即计算同一层次所有元素对于最高层（总目标）相对重要性的排序权值，称为层次总排序。这一过程是由最高层到最底层逐层进行的。层次总排序的计算 设准则层C包含m个元素C1、C2、Cm，它的层次总排序权值为a1、a2、am;方案层P包含n个元素P1、P2、Pn，它们对于Cj的层次单排序权值分别记为b1j、b2j、bnj(j=1,2,m)，则P层次总排序权值如表十二所示。层次总排序的一致性检验 检验是从最高层到最底层逐层进行的。设P层中的元素对Cj的单排序的一致性指标为（CI）j，随机一致性指标是(RI)j，则P层总排序随机一致性指标为：当CR0.1时，认为层次总排序具有满意的一致性。,（五）决策过程,构造AHP模型，主要是产生各项指标（准则）的总排序权值。有了总排序后，再输入方案（措施）层的有关信息，便可以进行决策了。AHP决策有两种方法：第一种决策方法是对方案层构造判断矩阵，最终产生方案层的总排序，选择权值最大的为最佳方案。（详见示例）第二种决策方法：请有关人员进行多人或全体人员的公投方式，产生方案Sk与指标（措施）Ci的评判数值（仍然用19打分制），再进行加权求平均值。（详见示例）,四、残缺判断处理,什么是残缺判断？应用AHP进行决策时，人们对于每个准则都要填写一个判断矩阵，每个判断矩阵需进行n(n-1)/2次两两比较。当层次很多，因素复杂时，总的判断量很大，很可能出现某个参与决策的专家对某些判断缺少把握、不感兴趣或不想发表意见的情形，这种情形应当允许，否则勉为其难反而可能掩盖事物本质，这时得到的是带有空缺的判断矩阵，称为残缺判断残缺判断的处理 显然，判断矩阵残缺程度越高，对排序的正确性影响越大，因此有必要研究什么样的残缺矩阵是“可接受的”。残缺判断可接受的条件 定义1 一个残缺判断矩阵称为是可接受的，如果它的任一残缺元素都可 通过已给出的元素间接获得，否则就是不可接受的。（注：残缺元素的间接获得，如元素aij可以通过aikakj获得，也可以通过aikakmamgaxj获得。如果这种间接渠道较多，那么就有可能对残缺元素作出比较正确的估计。）,续残缺判断处理,定理1 一个残缺判断矩阵A可接受的必要条件是除对角元素外，每行每列 至少有一个给定元素。为讨论残缺矩阵的可接受性，我们用“”表示残缺元素，若把看成0元素时，就有：定理2 一个残缺判断矩阵A可接受的充分必要条件是A是不可约矩阵。（注：方阵A若能用行列同时调换化为 形式，则A称为可约矩阵，否则A称为不可约矩阵。这里A1、A4都是方阵。如 是可约矩阵。）下面讨论可接受残缺矩阵排序向量的计算方法。,续残缺判断处理,残缺矩阵排序向量的计算方法 对残缺矩阵A构造辅助矩阵C，使得：而求C的特征值问题等价于矩阵 的特征值 问题。这里 的元素为 可以验证C与 具有相同特征值。称 为 A 的等价矩阵。直接求 的主特征值和相应的特征向量即可求得残缺判断矩阵的排序向量。例如：设 只需求 的主特征根 及主特征向量w.,当i=j,i=1,.,n,其中m i为A的第i行中残缺元素个数。,续残缺判断处理,一致性检验 的一致性可用下面公式计算：同样地当 时认为有满意的一致性。显然，当A残缺时，只有当其它非残缺元素有较协调的判断时，才能满足总体一致性要求。,五、层次分析法的数学模型、使用步骤及主要内容小结,层次分析法的数学模型 AHP模型包括：多指标（准则）与多方案的层次结构图；各层次的判断矩阵生成；各层次的单排序、总排序的算法与检验。层次分析法使用的步骤与主要内容表需要进一步了解的内容介绍 群组决策 AHP中的逆序现象、保序性问题 评分标度,六、建模实例,层次分析法在环境保护中的应用（见附件）练习题（见运筹学P455）,本讲结束,层次分析法概念,所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个分目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，由此得到按支配关系形成的多层次结构，对同一层的各元素进行两两比较，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数，即各层元素对上一层支配元素的相对重要性）和总排序（各元素对总目标的重要性），以此作为多目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。该法将专家知识用于定性指标的量化，使复杂的多目标决策更加生动和实用。,返回,层次分析法适用范围,人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法特别适合于这种具有复杂层次结构、定性的与定量的指标众多的系统评价与决策问题。,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和 评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结 构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,例1 国家实力分析,例2 工作选择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例4 科技成果的综合评价,返回,层次分析法的优点,1.能使千头万绪的复杂的大系统问题，通过绘出层次结构图，使问 题结构化、条理清晰、形象直观，便于讨论与修改（或扩充）；2.使多目标、多指标决策问题在考虑问题时尽可能地全面周到、统 筹兼顾；3.能将定性的问题通过专家咨询等模糊量化，使科学决策的空间更 广阔；4.将使计算机在多目标决策中充分发挥作用。,返回,AHP层次结构图示例,返回,为什么每一层次中各元素所支配的元素一般不超过9个？,这是因为人对72 个因素的成对比较是人们的心理承受极限，通常人们用5种判断级就能很好地表示同一事物之间的差异，如使用相同、稍强、强、很强、绝对强（或同等重要、稍重要、明显重要、重要得多、绝对重要）表示事物的差别程度。这5个差别程度之间分别再插入一个差异级别便成为9个级别，也是人的能力可承受的。再多就困难了，并将影响建立模型的质量。,返回,实例之一：择校问题,问题：有A、B、C三所中学，某人欲从中选出一所就读，考虑因素为：学习条件、朋友、生活环境、职业培训、文体训练等。该问题的递阶层次结构模型为：,返回,实例之二：合理使用企业利润问题,问题：某工厂有一笔企业留存利润，要由厂领导和职代会决定如何使用，可供选择的方案有：作为奖金发给职工；扩建集体福利设施；引进新技术、新设备等。为进一步促进企业发展，如何合理使用这笔利润。该问题所述各项方案其目的都是为了更好地调动职工生产积极性，提高企业技术水平和改善职工物质生活，最终目的都是为了促进企业更大发展，因此该问题的递阶层次结构模型如下图：,返回,判断矩阵框架结构,表一：判断矩阵ABj,表二：判断矩阵B1Cj,表三：判断矩阵B2Cj,表四：判断矩阵B3Cj,返回,表五 判断矩阵标度准则表,返回,表六 图1中Cj对Bj静态判断数值表,表七 静态法与动态法数值对应表,表八：判断矩阵B1Cj,表九：判断矩阵B2Cj,表十：判断矩阵B3Cj,返回,为什么最大特征值对应的特征向量经标准化后即为排序权值？,由线性代数的知识，我们有：引理 正互反矩阵的最大特征值是单根且是正实数，对应着正的特征向量.定理 n阶正互反矩阵A=（aij)nn是一致阵当且仅当.在上述定理充分性的证明过程中，我们有：若设最大特征值，相应的特征向量为W=（w1,w2,.,wn)T，则可推得：aij=，因此，将W规范化，即令 wi:此时，规范化后的向量仍记为W，称之为权向量，它表示同一层上元素对上一层影响的权重。注：以上是在A一致的情况下讨论的，当A不一致时，必须控制在一定范围内，否则W各分量反映的权重与实际权重的偏差可能会很大。,返回,用MATLAB计算判断矩阵的最大特征值与特征向量,应用MATLAB计算判断矩阵排序权重向量、最大特征值，并进行一致性检验.算法如下:第一步：在Medit窗口中编写以下内容，并存为M文件：AHPNO1.m,续用MATLAB计算判断矩阵的最大特征值与特征向量,第二步：在MATLAB命令窗口中输入AHPNO1，运行结果如下 ahpno1judementmatrix=1 2 5;1/2 1 7;1/5 1/7 1A=1.0000 2.0000 5.0000 0.5000 1.0000 7.0000 0.2000 0.1429 1.0000r=3.1190w=0.5415 0.3816 0.0768于是有：最大特征根为 排序权重向量为：W=（0.5415，0.3816，0.0768)T,第2次返回,续用MATLAB计算判断矩阵的最大特征值与特征向量,注：对任意给定方阵A，可通过v,d=eig(A)算出特征值矩阵d与特征向量 矩阵v。对判断矩阵，其中d的第一行第一列元素即为最大特征值，v 的第一列为与之对应的特征向量。如：输入：A=1 3 7 5；1/3 1 5 3；1/7 1/5 1 3；1/5 1/3 1/3 1；v,d=eig(A)回车结果为,续用MATLAB计算判断矩阵的最大特征值与特征向量,再看一例：设A=1 1/5 1/3;5 1 3;3 1/3 1输入：ahpno1 运行结果为judementmatrix=1 1/5 1/3;5 1 3;3 1/3 1A=1.0000 0.2000 0.3333 5.0000 1.0000 3.0000 3.0000 0.3333 1.0000r=3.0385w=0.1047 0.6370 0.2583,一致性检验结果为可见此判断矩阵具有满意的一致性,续用MATLAB计算判断矩阵的最大特征值与特征向量,再看一例：输入：ahpno1 运行结果为judementmatrix=1 1/6 1/6 1/4 1/3 1/9;6 1 3 5 3 1/7;6 1/3 1 6 4 1/6;4 1/5 1/6 1 3 1/9;3 1/3 1/4 1/3 1 1/9;9 7 6 9 9 1A=1.0000 0.1667 0.1667 0.2500 0.3333 0.1111 6.0000 1.0000 3.0000 5.0000 3.0000 0.1429 6.0000 0.3333 1.0000 6.0000 4.0000 0.1667 4.0000 0.2000 0.1667 1.0000 3.0000 0.1111 3.0000 0.3333 0.2500 0.3333 1.0000 0.1111 9.0000 7.0000 6.0000 9.0000 9.0000 1.0000r=6.8786 w=0.0245 0.1817 0.1401 0.0590 0.0425 0.5522,表十二 P层次的总排序权值,返回,表十三 层次分析法使用的步骤与主要内容表,返回,AHP决策方法一示例,给定方案S1、S2、S3针对C1、C2、C3、C4、C5、C6的重要性判断矩阵（见表14.1-6），试用方案层总排序法进行决策。,AHP决策方法一示例（续）,解：1.计算方案层的层次单排序Pik（见上表14.1-6）2.计算方案层的层次总排序(见表14.7，假定CJ层总排序已知）,表14.7 层次总排序k与决策表,3.决策。决策的原则是从方案总排序k（k=1,2,3）中取最大值，于是得：最 优方案为S1，其层次总排序数为1=0.4285;较次的方案为S2，2=0.2985;最次的是S3，3=0.273.,返回,AHP决策方法二示例,表15 方案SK量化与期望值计算表,决策的原则：从期望值（i=1,2,3）中取最大值 Sk=max|（i=1,2,3）=5.264=选择S1为最优方案，平均得分为5.264分；其次为方案S3，平均得分为5.11分。,返回,1层次分析法概述讲授要点,(1)什么是层次分析法？（2）层次分析法适用范围（3）层次分析法的优点,返回,2.层次分析法建模的基本步骤讲授要点,四个步骤的简单介绍:建立层次结构模型构造判断矩阵层次单排序与一致性检验层次总排序及其一致性检验,返回,3.层次分析法各步骤的实现过程讲授要点,（一）层次结构图（二）判断矩阵（三）层次单排序与一致性检验（四）层次总排序与一致性检验（五）决策过程,返回,4.残缺判断处理讲授要点,什么是残缺判断？残缺判断的处理残缺矩阵排序向量的计算方法一致性检验,返回,群组决策,问题的提出为使决策科学化、民主化，一个复杂系统总是有多个决策者（专家）或决策部门参与决策的，由于决策者的地位、立场、知识水平及个人偏好的差异，对同一个问题会有不同的判断，这些个体判断是否合理，如何把它们综合成一个较合理的判断，就是所谓的群组决策问题。对群组决策问题，首先应重视并做好专家咨询工作，其次要选择好群组决策综合方法。群组决策综合方法介绍分两类：一是将各专家的判断矩阵进行综合，然后求综合判断矩阵的排序向量；二是先求各个专家判断矩阵的排序向量，然后再综合成群组排序向量。从互反性、一致性、计算机模拟分析角度考虑，一般选用第二类方法，具体做法是：1.加权几何平均综合排序向量法；2.加权算术平均综合向量法。,AHP中的逆序现象、保序性问题,什么叫逆序？逆序是指由于新方案的引入引起原有方案总排序权重的改变进而引起的逆转现象。引起逆序的原因是多方面的，逆序是否合理，已成为当前AHP中最受关注的问题。保序性问题分配型AHP应采用通常的归一化方式排序,允许逆序现象存在，准则型AHP应以重要元素权重为1进行归一化，否则由此引起的逆序显然是不合理的。准则型AHP归一化M文件如下:,AHP中的逆序现象、保序性问题(续),%AHP.A=input(judementmatrix=)v,d=eig(A);a=v(:,1);n=length(a);s=0;for i=1:n s=s+a(i);endfor i=1:n w(i)=a(i)/s;endr=d(1,1)ww1=w/w(n),评分标度的应用,什么是评分标度?所谓评分标度法,就是在某一准则下每个元素的重要程度直接与某种确定的标准比较,然后直接赋于绝对“分”.由于此时元素的重要性是各自独立确定的,排序向量不必归一化,因而不会因新元素的导入而产生逆序.应用简述 1.以前介绍的标度准则称为相对标度法,此处介绍的为评分标度又称为绝 对标度.2.两种标度方法,可以同时在一个AHP模型中应用,要注意在同一准则下 应采用同一种标度法,否则排序权值将难以合成.3.一般情形下,评分标度应用于最下一层元素.,当CR0.1时，判断矩阵的调整方法,令 其中 对 计算特征向量，再求，再检验一般地讲，能达到满意的一致性。,