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更高更妙的物理专题18 电容器专题18 电容器 这里，我们将会更多地了解导体的电荷及带电后的导体。 一个孤立的带电量为Q、半径为R的金属球；它具有电势U=kQ，这在我们已然熟R知。稍加注意不难发现，带电金属球的电势与所带电量具有这样的关系：Q和U的比值等于球半径R的k分之一，也就是说，比值Q是一个只与带电导体的大小形状有关而与其带Uq。孤立导体的电容一般很小，地球是我们U电多少无关的物理量。它表征了导体这样一种特性：使导体得到单位电势所必须给予的电量。这种特性被定义为导体的电容C，定义式C=可以接触到的最大导体，其半径约6400km，它的电容C=R地，也就710mF左k右，所以，孤立导体的电容没有实际意义。两个彼此靠近而又相互绝缘的导体组成的电容器在电工及电子设备中得到广泛应用。因为电容器可以具有很大的电容，即在一定的电势下带有更多的电量。电容器的电容C=q，q为一个导体上带电量，UAB为两导体UAB间电势差。电容器的电容是反映电容器储存电荷的能力的物理量，取决于电容器自身的构建。确定一个电容器电容的途径：一是从定义出发，一是通过等效变换。对电容器的研究，多涉及电容、电压、电容器两极间电场、电容器充、放电及电容器中电场的能量。 最简单的电容器是由靠得很近、互相平行的同样大小的两片金属板组成的平行板电容器。两板间距离为d，两板正对面积为S，每板带等量异种电荷+q与-q，由于板面很大而板间距离很小，故除边缘部分外，电荷均匀分布在两极板内表面，面密度s=±高斯定理。“无限大”带电平面两侧电场E=q，根据Sqs，故平行板电容器板间电场强度=e0×2S2e0由每板电荷引起的场强同向叠加：E=qs=，两板间电势差 e0Se0eSqsd，C=0。 UABde0球形电容器也是常规的电容器，由半径分别为RA、RB的两个同UAB=Ed=心导体球壳所组成，如图所示。设内球壳带电+q，外球壳带电-q，两球壳之间有球心对称的电场，方向沿径向向外，由高斯定理可知，在距球心为r处场强大小E=匀变化的。考虑在一小段Dr=q，电势梯度是非均2e0×4prRB-RA，将其上场强视作n不变，电势降落Ui=nq×Dr，则从A到B总的电势降落 2e0×4p(RA+i×Dr)UAB=nqqDr=limå×Dr=limå2n®¥4pe0n®¥i=1(RA+i×Dr)×(RA+i×Dr-Dr)i=1e0×4p(RA+i×Dr)q4pe0qlimån®¥i=1n11-(RA+i×Dr-Dr)(RA+i×Dr)é1111111ùlimê-+-+-×××+-ú4pe0n®¥ëRARA+DrRA+DrRA+2DrRA+2DrRA+DrRBûqRB-RA=×4pe0RARB再由电容定义式即得球形电容器的电容公式为 C=4pe0RARB， RB-RA说明球形电容器的电容也仅由其几何形状及结构决定。 由两个同轴金属圆柱面组成的圆柱形电容器也是常见电容器。一根同轴的电缆就形成一个圆柱形电容器，如图所示为同轴电缆剖视，它的铜芯线和外包铜线相当于圆柱形电容器的两个极板。电缆单位长度的电容是电缆的一个重要的特性参数，对圆柱形电容器电容的计算也是很有实际意义的，读者可试解本专题小试身手题4。 当将两个电容器如图所示串联时，等效于增大了板间距离，给A板充+q电量、B板充-q电量，C1右板及C2左板因静电感应而分别有-q电量及+q电量且与连接导线共成一等势体，设串联后等效电容为C，则C1C2qqq，C=。即=+CC1C2C1+C2电容器串联后的等效电容值取各相串电容的调和平均，等效电容变小。 当将两个电容器如图所示并联时，等效于增大了极板的正对面积，各电容器板间电压均为U，设并联后等效电容为C，那么CU=CU+C2U，即电容器并联后的等效电容值为各相1并联电容的和。等效电容变大。 下面我们来计算两个异形电容器的电容。 如图所示，两块长与宽均为a与b的导体平板在制成平行板电容器时稍有偏斜，使两板间距一端为d，另一端为，且hd，试求该空气电容器的电容。 这里涉及的电容器是板间距离有微小变化的平板电容器，自然想到用微元法；将该电容器看作是n个正对面积极小的电容器并联而成，每个元电容器极板间距视作恒定，用平行板电容器公式示出其电容Ci，总电容为 C=åCi。 iab，求这样一个调和级数ndi的和是很困难的，故我们将总电容C进行分割，每个元电容先取微元。由于微元量Ci=e0Cb，如图所示，设第i个小电容器极板间距离di、正对面积Si=a×(di+1-di)×，则nhdCe0ab(di+1-di)Ch，即=+1=i+1，此式说明各电容相同的小电容器其板间距离是nhdine0abdi呈等比数列地从d变为d+h的，即 Ci=d+hChCh=(+1)n=(+1)dne0abne0abCh利用极限lim(+1)n®¥neab0ne0abChne0abCh×Che0ab。 =e，得 Che于是 C=e0e0ab=d+h， dabhln(1+)。 hd111+-+×××） 234R，两个半径均为R的导k如图所示，两个半径均为R的导体球相互接触形成一孤立导体，试求此孤立导体的电容。引起的那部分电势，可以设想在两球心连线上适当位置放上适当电荷所谓像电荷来抵消，以便每球的电势依然保持为U。如图所示，为了消除O2qR处放置q2=-1。22qR同样，为了消除O1处+q1对O2处电势的影响，可在与O2距离处放置q2=-1；但q2在22消除对方q1对自身影响的同时，却又在对方引起新的电势，仿照前面做法。再引入对q3电处+q1对O1处电势的影响，可在与O1距离Rq2qR22R=1；=荷，其位置距球心，电量q3=-如此往复无穷直至系统电势为U，3R/233R/23此时系统总电荷 111URQ=2q1(1-+-+×××)=(2ln2)q1=(2ln2)， 234k则该双金属球系统的电容为8(ln2)pe0R。 至此，我们所讨论的电容器两极间均无其他物质，为真空绝缘。当改变两导体的绝缘物质时，电容器的电容也将发生变化。电介质的电学性质是几乎没有自由电子、由中性分子构成，每个分子带等量异种电荷。通常情况下，整个电介质物体不显电性。当把电介质物体放在电场中，带等量异种电荷的中性分子受电场力作用成为按电场方向顺序排列的电偶极子，如图所示，这就使电介质的两端呈局部带电现象：电场线进入的一端表面带负电，电场线穿出的一端表面带正电，这种现象叫做电介质极化，电介质两端面上的电荷称极化电荷。电介质与导体在电场中的表现是不同的：极化电荷不同于自由电荷，它不能自由移动；极化电荷建立的电场-E¢削弱了外电场E0，电介质里的电场为E=E0-E¢，真空中场强E0与处在该场里的电介质内部被极化电荷削弱后的场强E之比值E0=e定义为这种电介质E的介电常数，介电常数e大于1。空气的介电常数e=1.0006，一般的计算中将空气的介电常数取作1。 当平行板电容器两极板间均匀充满介电常数为e的电介质时，其电容将增加为原来的e倍，即计算电容的公式成为C=e0eSd。 如图所示，一平行板电容器，充以三种介电常数为分别e1、e2和e3的均匀介质，板的面积为S，板间距离为2d。试求电容器的电容。 这样一个电容器的电容可等效为由电容C2=后与电容C1=e0e2S2d与C3=e0e3S2d的电容串联e0e1S4d的电容器并联的电容值，这个等效电容为 C=C1+C2C3eSee+ee+2e2e3。 =0×1213C2+C32d2(e2+e3)5 离子型晶体的电介质如石英、电气石等，当受到拉伸或压缩而发生机械形变时，也能产生电极化现象，这被称为压电效应。例如石英晶体处在10Pa的压强下时，承受正压力的上下两个表面间出现正负电荷，产生约0.5V的电势差。石英晶体的压电现象被用来变机械振动为电磁振荡，它是标准时间石英钟的运作原理。 多个电容器按不同方式连接后充电，各电容器极板上的电量及两板间的电压将由电容器的电容制约，例如当几个原来不带电的电容器串联后，加上电压U，U将按各电容器的电Q之故；当几个原C来不带电的电容器并联后，充电到总电量为Q，各电容器将按电容正比例地分配电量Q，因为U相同，qµC在下面较为复杂的背景下，电容对两板间的电压及极板上的电量的制容反比例分配在各电容器上，这是因为各串联电容器电量相同，而U=约还是解决问题的瓶颈。 四块同样的金属板，每板面积为S，各板带电量分别为q1、-q1、q2、-q2。各板彼此相距为d，平行放置如图所示，d比板的线尺寸小得多，当板1、板4的外面用导线连接，求板2与板3之间的电势差。 “d比板的线尺寸小得多”这个条件使我们可以忽略板的边 缘效应而将各板间电场均看作匀强电场。要求板2、3间电势差，关键须确定由板2、3构成的这个电容器的电量。当将板1、板4以导线相连，有两点；一是板1与板4成为等势体；二是板1与板4总电量守恒为q1-q2、板2与板3电量不变。我们可以假设各板左右两侧电荷分布如图所示，其中 ¢+q3¢=q1-q2 q1¢-q2¢=-q1，¢- 各板间电场线方向如图所示，即电势从板1到板2降落U1，从板2到板3回升U2，从板3到板4回升U3，因为板1与板4等势，所以SU1=U2+U3。同时每对金属板构成的电容器电容均为C0=e0，故有 d¢¢q2¢q3q1=+， C0C0C01¢=(q1+q2)，于是可求出2、3板间由、三式解得板2右侧与板3左侧带电量q23的电压 ¢d(q1+q2)q2。 =C03e0S如图所示，两块金属平板平行放置，相距D=1cm，一板上电荷面密度s1=3mC/m2，另一板上电荷面密度U32=在两板之间平行地放置一块厚d=5mm的石s2=6mC/m2，蜡板，石蜡的介电常数e=2。求两金属板之间的电压。 这个问题中，两块金属板均带正电荷，如果在每个金属板上附加面密度为-4.5mC/m2的电荷，电容器的带电就成为“标准状况”了。两板带等量异种电荷s=1.5mC/m2，而附加电荷在板间引起的电场互相抵消，并不影响原来的板间电场，也不2eS会改变电容器的电势。因为这个电容器等效于一个电容C=0的电容器与一个电容 D2eeSC¢=0的电容器串联，总电容为 DCC¢C0=， C+C¢在带电量为Q=sS的情况下，两板电势差 Q(C+C¢)sD(e+1)1.5´10-6´10-2´3U=»1272V。 CC¢2e0e4e0电荷间存在相互作用的电场力，而任何带电过程，都是电荷之间的相对移动过程，所以带电系统的形成过程或改变、削减过程，必定伴随着电场力做功、其他形式的能与带电系统电场能的转换。例如用电池对电容器充电时，消耗电池中的化学能，充了电的电容器获得静电能；电容器放电时，它所储存的电能，就会转化为热、光、声等其他形式的能。带电系统静电能的变化是用电场力的功来量度的，以平行板电容器为例，我们来研究当一个电容为C的电容器通过电压U充电，带上等量异种电量Q时具有的能量。这个充电过程，可等效为将电荷逐个地从原本电中性的两极板中的一个板移到另一个板从两板都不带电，电势为q，最后移过总电量Q，电压达CU到U，由于电容C恒定，电压的升高随电量的增加线性变化，故我们取平均电压，由功2能原理：电场力移动电荷Q做功等于电容器获得的电能，即 零开始，每移动一个电荷元+q，板间电压升高一个微量111Q22W=UQ=CU=。 222C 下面的问题涉及电容器充、放电过程中的电场、力与能。 如图所示的电路中，C1=4C0，C2=2C0，C3=C0，电池电动势为E，不计内阻，C0与E为已知量。先在断开S4的条件下，接通S1、S2、S3，令电池给三个电容器充电；然后断开S1、S2、S3，接通S4，使电容器放电，求：放电过程中，电阻R上总共产生的热量及放电过程达到放电总量一半时，R上的电流。 S4断开，S1、S2、S3接通的条件下，三个电容器并联在电源上，电路情况如图所示，容易确定，充电后每个电容器极板上的电量依次为 q1=4C0E、q2=2C0E、q3=C0E。 然后断开S1、S2、S3，接通S4，电容器通过电阻R放电，电容器有部分静电能转变为热量。设稳定后各电容器极板电量情况如图所示，由电荷守恒有 ¢+q3¢=q1-q3， q1¢+q2¢=q1-q2。 q1而由C1左板与C3，右板等势有 ¢¢¢q3q1q2。 =+4C02C0C0由此三式解得 ¢=q1于是可得 24183¢=C0E，q3¢=-C0E， C0E，q277722¢2¢2q2¢2q3-q3-q21q12-q1Q=DW=(+)， 24C02C0C022将各电容器放电前后带电量代入此式即得总共产生的热量Q=C0E。 7 再分析放电一半时，电阻两端电势差亦即电容器C1左板与电容器C3右板电势差从E减E为E/2，那么通过电阻R的电流是I=。 2R在光滑绝缘水平面上，平行板电容器的极板A固定，极板B用绝缘弹簧固定在侧壁上，如图所示，若将开关S闭合，极板B开始平行地向极板A移动，到达新的平衡位置时两极板间距离减少了d1=10%。如果开关S闭合极短时间后就立刻断开，求此后极板B到达新的平衡位置时两极板间距离减少的百分比d2。 设电源提供的电压为U。若开关S始终闭合，则B板移动过程中两板间电压保持不变为U，但由于两板间距减小，电容将增大，故电源将不断对电容器充电，致使两板上电量增加、板间场强增大，当B板上电荷受到A板电荷的静电力与弹簧对B板的拉力等大时，B板重新平衡。设AB板原间距为D，电容为C0，弹簧劲度系数为k。当两极板CU间距离减少10%时，电容为C=0，板间场强为E=，而A板上电荷引起的场强0.90.9DCUUA、B两板各带有Q=0的正、应为EA=。又，负电荷，则B板受到电场力为EAQ，1.8D0.9平衡的B板受力满足 UC0×U=k×(0.1D)。 1.8D0.9 如果开关闭合极短时间后就立刻断开，随着板B的移动，不变量是两极板上的电量sUQ0=C0U及板间场强E0=，变化的是电容及两板间电压。这种情况下B到达新的e0D平衡位置时，受力满足 U×C0U=k×(d2D)。 2D10.1比较、两式可得，d2=8.1%。 =20.9d2两块平行金属板面积都是ab，相距为d，其间充满介电常数为e的均匀介质，把两块板接到电压为U的电池两极上。现在把板间介质沿平行于b边慢慢抽出一段，如图所示，略去边缘效应及摩擦，求电场把介质拉回去的力。 把介质慢慢拉出过程，可视作外力克服电场力做功消耗电场能的过程，设将介质沿b拉出两板边缘x，外力大小为F，根据功能关系 1Fx=W1-W2=U2(C0-Cx)， 2eeab其中，介质充满板间时电容器的电容C0=0；介质抽出x时电容器的电容de0aU2e0aU2e0a(e-1)xCx=eb-x+e(b-x)=，故x+e(b-x)，那么Fx=d2d2dU2e0a(e-1)F=，而电场把介质拉回去的力大小亦为此矣。 2d1、如图所示，由五个电容器组成的电路，其中C1=4mF，C2=6mF，C3=10mF，求AB间的总电容。 2、在极板面积为S，相距为d的平行板电容器内充满三种不同的介质，如图所示。如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同，这种介质的介电常数应是多少？如果在e3和e1、e2之间插有极薄的导体薄片，问的结果应是多少？ 3、球形电容器由半径为r的导体球和与它同心的球壳构成，球壳内半径为R，其间一半充满介电常数为e的均匀介质，如图所示，求电容。 4、如图是一个无限的电容网络，每个电容均为C，求A、B两点间的总电容。 5、如图所示为共轴的两导体圆柱面组成的电容器。长l、半径分别为r和R。两圆筒间充满介电常数为e的电介质。求此电容器的电容。 6、半径分别为a和b的两个球形导体，分别带有电荷qa、qb，将其相距很远地放置，现用一金属导线连接，试求连接后每球上的电荷量及系统的电容。 7、平行板电容器的极板面积为S，板间距离为D。其间充满介质，介质的介电常数是变化的，在一个极板处为e1，在另一个极板处为e2，其他各处的介电常数与到介电常数为e1处的距离成线性关系，如图所示。试求此电容器的电容C。 8、电容为C的平行板电容器的一个极板上有电量+q，而另一个极板上有电量+4q，求电容器两极板间的电势差。 9、三个电容分别为C1、C2、C3的未带电的电容器，如图示方式相连，再接到点A、B、D上。这三点电势分别为UA、UB、UD。则公共点O的电势是多大？ 10、如图所示的两块无限大金属平板A、B均接地，现在两板之间放入一点电荷q，使它距A板为r，距B板R。求A、B两板上的感应电荷电量各如何？ 11、三块相同的平行金属板，面积为S，彼此分别相距d1和d2。起初板1上带有电量Q，而板2和板3不带电。然后将板3、2分别接在电池正、负极上，电池提供的电压为U。若板1、3用导线连接如图所示，求1、2、3各板所带电量。 12、极板相同的两个平行板空气电容器充以同样电量。第一个电容器两极板间的距离是第二个电容器的两倍。如果将第二个电容器插在第一个电容器的两极板间，并使所有极板都互相平行，问系统的静电能如何改变？ 13、静电天平的原理如图所示，一空气平行板电容器两极板的面积都是S，相距为x，下板固定，上板接到天平的一头，当电容器不带电时，天平正好平衡。然后把电压U加到电容器的两极上，则天平的另一头须加上质量为m的砝码，才能达到平衡。求所加的电压U。 14、三只电容均为C的电容器，互相串联后接到电源上，电源电动势为E。当电容器完全充电后跟电源断开，然后接入两只电阻均为R的电阻器，如图所示。试问每只电阻上释放的热量有多少？当中间一只电容器的电压减小到电源电动势E的1/10的瞬间，流过电阻R的电流i1和i2各为多大？ 15、如图所示，两个电容均为C的电容器C1和C2，一个双刀双掷开关S，一个可提供恒定电压U的蓄电池E。将它们适当连接并操作开关，以使这个电路的输出端得到比U高的电压，试求这个最高输出电压。 16、两块边长为15cm的正方形平板，相距为5cm，组成一个空气平行板电容器，试求该电容器的电容。电容器平板被竖直固定在绝缘支撑物上。e0=8.85´10-12F/m。涂有导电漆的球形木髓小球被长为10cm的一段丝线悬挂，丝线上端固定于A板上，如图所示，木髓小球开始时和A板接触。它的质量m=0.1g，半径r=0.3cm，求木髓小球的电容。 平板电容器的B板接地，A板与电势为60000V范德格喇夫起电机作瞬时接触，然后平板电容器再次绝缘。这时可观察到木髓小球离开A板运动到B板，然后再返回到A板，往复几次以后，木髓小球处于平衡位置，并且悬挂丝线与A板夹角为q。 解释木髓小球为什么会这样运动并求出它最后的平衡位置； 计算两平行板之间最终电势差； 试求木髓小球在静止前来回摆动的次数k； 作一草图，表示两板电势差与小球在两板间来回振动次数的函数关系UAB=f(k)。 17、有26块半径为R和26块半径为r的薄金属板，它们被平行地放置，如图所示。任何两块邻近的平板之间的距离均为d。用这种方式可形成一电容器，问应该如何把这些板连接成两组。使所得的电容量成为最大？求出这个电容器的最大电容量。 18、如图所示，恒温的矩形盒内装有理想气体，当一隔板将矩形盒等分为二时，两侧气体压强均为p0，当隔板平移时无摩擦、无漏气，两侧气体经历准静态过程。隔板是面积为A的金属板，带电量为Q，矩形盒上与它平行的两块板也是金属板，面积同样是A，相距为2L，固定并接地。隔板两侧电场均匀。盒的其余部分是绝缘板。现将隔板拉离原平衡位置一小位移，试确定隔板的运动状况。