曹广福实变函数第一章习题解答.docx

曹广福实变函数第一章习题解答第一章习题参考解答 第一章习题参考解答 3等式(A-B)ÈC=A-(B-C)成立的的充要条件是什么？ 解： 若(A-B)ÈC=A-(B-C)，则 CÌ(A-B)ÈC=A-(B-C)ÌA. 即，CÌA. 反过来, 假设CÌA, 因为B-CÌB. 所以, A-BÌA-(B-C). 故, (A-B)ÈCÌA-(B-C). 最后证，A-(B-C)Ì(A-B)ÈC 事实上，"xÎA-(B-C), 则xÎA且xÏB-C。若xÎC，则xÎ(A-B)ÈC；若xÏC，则xÏB，故xÎA-BÌ(A-B)ÈC. 从而, A-(B-C)Ì(A-B)ÈC. CÌ(A-B)ÈC=A-(B-C)ÌA-Æ=A. 即 CÌA. 反过来，若CÌA，则 因为B-CÌB所以A-BÌA-(B-C) 又因为CÌA，所以CÌA-(B-C)故 (A-B)ÈCÌA-(B-C) "xÎA-(B-C)ÞxÎA且xÏB-C，另一方面，如果xÎC则 xÎ(A-B)UC；如果xÏC,因为xÏB-C，所以xÏB故xÎA-B. 则 xÎ(A-B)ÈC. 从而A-(B-C)Ì(A-B)ÈC 于是，(A-B)ÈC=A-(B-C) 4对于集合A，定义A的特征函数为cA(x)=í一集列 ，证明： climinfA(x)=liminfcAn(x) nì1,xÎA， 假设A1,A2,L,AnL是î0,xÏAnnclimsupA(x)=limsupcAn(x) nnn证明："xÎliminfAn=È(ÇAn)，$n0ÎN，"m³n0时，xÎAm. nnÎNm³n所以cAm(x)=1，所以infcAm(x)=1故liminfcAn(x)=supinfcAm(x)=1 m³n0nbÎNm³n1 第一章习题参考解答 "xÏliminfAnÞ"nÎN，有xÏÇAnÞ$kn³n nm³nupnif有xÏAkmÞcAk=0ÞinfcAm(x)=0，故snm³nbÎNm³nficA(x)=0 ，cA(x)=0 ，即limnmnn从而climinfA(x)=liminfcAn(x) nnn5设An为集列，B1=A1，Bi=Ai-ÈAj(i>1) 证明 j=1i-1Bn互相正交 "nÎN,UAi=UBi i=1i=1nn证明："n,mÎN,n¹m；不妨设n>m，因为Bn=An-UAiÌAn-Am，又因i=1n-1为BmÌAm，所以BnÌAn-AmÌAn-Bm，故 BnIBm=Æ，从而 Bn¥n=1相互正交. 因为"i(1£i£n)，有BiÌAi，所以ÈBiÌÈAi，现在来证：ÈAiÌÈBi i=1i=1i=1i=1nnnn当n=1时，A1=B1； 当n³1时，有：UAi=UBi i=1i=1nn则UAi=(UAi)UAn+1=(UAi)U(An+1-UAi)=(UBi)U(Bn+1-UBi) i=1i=1i=1i=1i=1i=1n+1nn+1nnn事实上，"xÎÈAi，则$i(1£i£n)使得xÎAi，令i0=mini|xÎAi且1£i£ni=1i0-1i=1ni0-1i=1nnn 则 xÎAi0-UAi=Bi0ÌUBi，其中，当i0=1时，UAi=Æ，从而， UAi=UBi i=1i=1i=16设f(x)是定义于E上的实函数，a为常数，证明： Ex|f(x)>a=Uf(x)³a+ 1n=1n¥1(ii)Ex|f(x)³a=If(x)>a- n=1n¥证明："xÎEx|f(x)>aÞxÎE且f(x)>a 11>a且xÎEÞxÎEx|f(x)³a+ nn¥¥11ÞxÎUEx|f(x)³a+ÞEx|f(x)>aÌUEx|f(x)³a+ n=1n=1nn¥11反过来，"xÎUExx|f(x)³a+,$nÎN，使xÎEx|f(x)³a+ n=1nnÞ$nÎN,使得f(x)³a+2 第一章习题参考解答 1>a且xÎE 故xÎEx|f(x)>a n¥1所以 ÈEx|f(x)³a+ÌEx|f(x)>a 故 n=1n即f(x)³a+1Ex|f(x)>aUEx|f(x)³a+n=1n ¥7设fn(x)是E上的实函数列，具有极限f(x)，证明对任意常数a都有： ¥11Ex|f(x)£a=IliminfEx|fn(x)£a+=IliminfEx|fn(x)<a+k=1nk=1nkk ¥1，且xÎE k1因为limfn(x)=f(x)，$nÎN，使"m³n，有fn(x)£a+，故 n®¥k11xÎEx|fm(x)£a+("m³n)， 所以xÎIEx|fm(x)£a+ m³nkk11xÎUIEx|fm(x)£a+= liminfEx|fm(x)£a+，由k的任意性： nnÎNm³nkk¥¥11xÎIliminfEx|fn(x)£a+，反过来，对于"xÎIliminfEx|fn(x)£a+，k=1nk=1nkk11"kÎN，有 xÎliminfEx|fm(x)£a+= UIEx|fm(x)£a+，即nnÎNm³nkk11$nÎN，"m³n时，有：fm(x)£a+且xÎE，所以，limfm(x)£f(x)£a+且mkk证明："xÎEx|f(x)£a,"kÎN，即f(x)£a£a+xÎE.又令k®¥，故 f(x)£a且xÎE 从而xÎEx|f(x)£a 故 Ex|f(x)£a=IliminfEx|fn(x)£a+ k=1n¥1k8 设fn(x)是区间上的单调递增的序列，即 f1(x)£f2(x)£L£fn(x)£L 若fn(x)有极限函数f(x)，证明："aÎR，Ef(x)>a=ÈEfn(x)>a n=1¥证明： "xÎEf(x)>a，即：xÎE且f(x)>a，因为limfn(x)=f(x) n®¥所以$n0ÎN,"n³n0，恒有：fn(x)>a且xÎE，从而，xÎEfn0(x)>a ÌUEfn(x)>a n=1¥3 第一章习题参考解答 ¥反过来，"xÎUEfn(x)>a,$n0ÎN，使xÎEfn0(x)>a，故"n³n0，因此， n=1limfn(x)=f(x)³fn0(x)>a且xÎE,即，xÎEf(x)>a， n®¥从而，Ef(x)>a=UEfn(x)>a n=1¥10证明：R中坐标为有理数的点是不可数的。 证明： 设Q为有理数集，由定理6：Q是不可数的。 现在证：Q´Q´Q=(x,y,z)|x,y,z都是有理数可数"xÎQ，因为Q´Q 3=U(x´Q)是可数个有理数集的并，故可数， xÎQx´Q´QQ´Q，所以又因为Q´Q´Q=U(x´Q´Q)并且"xÎQ，xÎQx´Q´Q可数 故Q´Q´Q可数 14证明：可数集的有限子集的全体仍是可数 证明： 设Q为可数集，不妨记为：Q=r1,r2,r3,L,rn,L "nÎN,令An=a|aÌr1,r2,r3,L,rn则 An为有限集，则 A=UAn为正交可数集，即An£C0 nÎN又因为Qx|xÎQÌA，所以C0=Q£A ，故A=C0 A是Q上一切有限子集的全体。 15设是两两不相交的集所组成的集列，证明： limEn=limEn=Æ n®¥n®¥证明： 因为E1,E2,L两两不相交，所以，"nÎN,UEm=Æ，故 m=n¥limEn=ÎU(IEm)=UÆ=Æ n®¥n=1m=nn=1¥¥¥¥¥另一方面，若limEn=I(UEm)¹Æ，我们取x0ÎlimEn n®¥n=1m=nn®¥则"kÎN,$nk³k，使得xÎEnk.特别的，当 k=1ÎN时，$n1³1,有xÎEn，当k=n1+1时：$n2ÎN,n2³k=n1+1>n1，有xÎE2IEn是f(x)在a,b)上连续点的集合 n=1¥事实上，"x0ÎÇEn,"e>0，取n>n=1¥1(即<e) en1因x0ÎEn，故$d>0,"x¢,x¢¢Î(x0-d,x0+d)Ça,b)有|f(x)-f(x0)|<e 即，f(x)在x0点连续。 "nÎN,S-En，因lim+f(x¢)=f(x)有限，故$dx>0使得 x¢®x+0"x¢Î(x,x+dx)Ìa,b) ，|f(x¢)-f(x+0)|<|f(x¢)-f(x¢¢)|<1，故，"x¢,x¢¢Î(x,x+dx),有2n1，从而，(x,x+dx)ÌEn.现在证：A=(x,x+dx)|xÎS-En n是两两不相交的开区间集 "x1,x2ÎS-En，x1¹x2,不妨设 x1<x2，如果 (x1,x1+dx1)I(x2,x2+dx2)¹Æ，取x*Î(x1,x1+dx1)I(x2,x2+dx2) 则 x1<x2<x<x1+dx1即，x2Î(x1,x1+dx2)ÌEn，这与x2ÎS-En矛盾，故A两两不相交，从而S-En可数 故S-Ç=È(S-En)至多可数。 n=1n=1¥¥*即，a,b)中第一类间断点至多可数。 20证明R中孤立点集是至多可数集 证明：设F是点集E中一些孤立点所构成的集合 n"xÎF,$dx>0，有O(x,dx)IE=x 现在先证：O(x,dx2)|xÎF是两两不相交的 7 第一章习题参考解答 事实上，"x1,x2ÎF,x1¹x2，如果$yÎO(x1,dx12)ÇO(x2,dx22)，则 r(x1,x2)£r(x1,y)+r(y,x2)<dx21+dx22，故 £dx2x1ÎO(x2,dx2)ÇE=x2,这与x1=x2矛盾. 所以，O(x,dx2)|xÎF是两两不相交的. "xÎF,取有理点rxÎO(x,ndx2)，故Frx|xÎFÌQ，从而，F£Q=C0 22证明：R中直线上每个闭集必是可数个开集的交，每个开集必是可数个闭集的并. 证明：设F是R¢中的一个闭集，先证："d>0，O(F,d)=xÎR|r(x,F)<d是R中的开集，其中r(x,F)=infr(x,y)|yÎF "xÎO(F,d)，则r(x,F)<d，取e=d-r(x,F)<d，故O(F,d)ÌO(F,d) 事实上，"tÎO(x,e)，所以O(F,d)是开集 现在证：F=IO(F,)、 n=1¥11事实上，"nÎN，FÌO(F,)，所以FÌIO(F,). n=1nn¥11反过来，"xÎIO(F,)，有r(x,F)<.故r(x,F)=0. n=1nn¥1nxÏF,即xÎR-F.$d>0，使O(x,d)ÌR-F.所以O(x,d)IF=Æ.故，¥r(x,F)³d，这与r(x,F)=0矛盾.所以xÎF，从而F=IO(F,). n=11n再来证：每个开集必是可数个闭集的并. 事实上，若G是开集，则R-G是闭集.所以存在可数个开集OnnÎN，使得 ¥¥R-G=On，所以G=R-IOn=U(R-Qn).即G是可数个闭区间集 n=1n=1(R-Qn)¥n=1的并. 23.假设I¥ii=1是一列开区间，如果i=1IIi¹Æ，证明UIi是一个开区间 i=1¥¥8 第一章习题参考解答 证明："iÎN，记a=infai|iÎN，b=supbi|iÎN ，其中Ii=(ai,bi)，¥¥因为IIi¹Æ，所以可取x0ÎIIiÎIiÌ(a,b) n=1n=1现在我们证：(a,b)=UIi i=1¥因为"iÎN，Ii=(ai,bi)Ì(a,b)，故UIiÌ(a,b) i=1¥反过来，"xÎ(a,b)，即a<x<b，当x£x0时，因为a<x，所以$i1ÎN，有x<ai1<a<x£x0<bi1£b.所以xÎIi=(ai11,bi1)ÌUIi. 如果x0£x<b， i=1¥$i2ÎN，使xi2<x0£x<bi2，故xÎ(ai11,bi1)=Ii2ÌUIi，从而 i=1¥(a,b)=UIi i=1¥24.设EÌR¢，Bl|lÎA是E的一个开覆盖，证明：Bl|lÎA中必存在至多可数个Bli|iÎN，使得EÌUBl. iÎNi证明：不妨设Bl|lÎA中每一个元都是开区间."xÎE，存在lxÎA，有xÎBlx，故有：$R端点的开区间dx=(rx,R)，使得xÌdxÌBlx.即，EÌUdxi. xÎE又因为dx=(rx,Rx)|xÎE(rx,Rx)|xÎEÌQ´Q 所以dx|xÎE可数.不妨设dx|xÎE=dx|nÎN，又记Bln|xÎE= Bln|nÎN.其中，dnÌBln("nÎN 故EÌUdx=UdnÌUBln xÎEnÎNnÎN1111-e1+e,2,Ln,L，,)，开区间列(1-e,1+e)，( 222221-e1+e1L,(n,n),L，覆盖了它，这里0<e<，从此覆盖中能否选出集E的有限子22225.已知：可数集E=1,答：不能，证明如下： 证明：如果$n1,n2,Lnk，kÎN，使得EÌU(i=1k覆盖. 1-e1+e,n)，不妨2n2设 111-e1-e1 n1<n2<L<nk，因为"i(1£i£k)，n³n>n2=n+1，则2nk+12i2k2k2k1-9 第一章习题参考解答 1-e1+e1ÏU(nk,nk).这与nk+1ÎE矛盾.所以不真. i=1222k26.设Fl|lÎA是一簇集合，如果"l1,l2,L,lnÎA，有IFli¹Æ，则称集i=1n合簇Fl|lÎA具有有限交性质. 证明：如果Fl|lÎA是具有有限交性质的非空有界闭集簇，那么IFl¹Æ. lÎA证明：取l0ÎA，令G=xÎRn|r(x,Fl0)<1，其中r(x,Fl0)= infr(x,y)|yÎFl0，r(x,y)=å(xi=1ni-yi)2，则G是Rn中开集.且Fl0ÌG，如果IFl=Æ，则Fl0ÌG=G-IFl=U(G-Fl). lÎAlÎAlÎAm由Borel有限覆盖定理，存在l1,l2,L,lm，使得Fl0Ì mmmi=1U(G-Fli)=G-IFli.从而，Fl0I(IFli)=IFli=Æ，这与Fl|lÎA具有i=1i=1i=0有限交性质矛盾. 27.试用Borel有限覆盖定理证明：Bolzano-Weiestyass定理. 证明：设E是R中的有界无穷点集，如果E¢=Æ，则"xÎE，$dx>0，使得 xÎEn则EÌUO(x,dx).由Borel有限覆盖定理，O(x,dx)IE=x，$x1,x2,L,xnÎE，有EÌUO(xi,dxi)，从而E=EIUO(xi,dxi)=UEIO(xi,dxi)=Uxi= i=1i=1i=1i=1mmmmx1,x2,L,xn，这与E为无穷集矛盾，从而E¢¹Æ. 29.可数个开集的交称为Gd型集，可数个闭集的并称为Fs型集.证明：有理数集不是Gd型集，但是Fs型集. 证明：设Q为R¢中全体有理数所构成的集合.如果Q是Gd型集，即Q=IGn， n=1¥其中Gn是开集，由开集的结构，"nÎN，Gn=U(ank,bnk)，其中(ank,bnk)k是k互不相交的开区间. 不是一般性，设an1<bn1£an1<bn1£L£ank£bn1£L这是，必有 an1=-¥ 10 第一章习题参考解答 故 事实上，如果an1¹-¥，即$r为有理数，r<an1.因为"kÎN，r<an1<ank，rÏU(ank,bnk)=GnÉIGn=Q，这与rÎQ矛盾. kn=1¥(2)"kÎN,*bn,k=an,k+1 如果$kÎN，bn,k*¹an,k*+1.则bn,k*<an,k*+1.因此，$rÎQ，有 *bn,k<r<an,k+1.这有：rÏU(an,bn)=GnÉQ这是一矛盾. kkk(3) bn=supbn,k=+¥. k事实上，若bn¹+¥，则bn为有限实数，$rÎQ，使得"k，bn,k£bn<r，故rÏU(ank,bnk)=GnÉQ，这也是一矛盾. kR¢-Gn=R¢-U(an,k,bn,k)=Uan,k=Uan,k|k kkkR¢-Q=R¢-IGn=UR¢-Gn=Uan,k|k=an,k|nÎN,k为可数集，n=1n=1n=1¥¥¥这与R¢-Q=C矛盾. 因为在R¢中单点集是闭集，所以"rÎQ，令Fr=r，则F为闭集，所以 rÎQQ=UFr，故Q为Fs型集. 30定义在0,1上的任何函数的连续点构成的集合是一个Gd型集. 29¢.证明：开区间(0,1)中有理点的全体不是一个Gd型集，但是一个Gd型集. 30.是否存在0,1上的的函数满足：在有理点处连续，而在无理点处都不连续？是证明你的结论. 回答：不存在.为此，只需证明如下命题 命题：开区间(0,1)中的任何函数的连续点构成的集合是一个Gd型集.这是因x¢¢®x为，如果存在0,1上的函数f，使得(0,1)IQ=xÎ(0,1)|limf(x¢)=f(x). 当命题成立时，必有(0,1)IQ为Gd型集，这与29¢题的结论矛盾. 命题的证明： 设f(x)是开区间(0,1)有定义的一实函数，记E=xÎ(0,1)|limf(x¢)=f(x)，x¢¢®x11 第一章习题参考解答 下证：E是一个Gd型集. "nÎN，令An=(a,b)|0<a<b<1且"x1,x2Î(a,b)Þ |f(x1)-f(x2)|<1.又记Gn=UAn.于是，我们只需证：E=IGn. nÎNnx¢¢®x事实上，"xÎE，因为limf(x¢)=f(x)，所以"nÎN，$dn>0，使得 "x¢Î(x-dn,x+dn)Ì(0,1)，恒有|f(x¢)-f(x)|<1，所以 2n"x1,x2Î(x-dn,x+dn)Ì(0,1)，恒有|f(x1)-f(x2)|£|f(x1)-f(x)|+ ¥¥1|f(x)-f(x2)|<，故(x-dn,x+dn)ÌGn，所以xÎI(x-dn,x+dn)ÌIGn n=1n=1n即，EÌIGn n=1¥反过来，"xÎIGn.(f:"e>0,$d>0,"x¢Î(x-dn,x+dn)Þ n=1¥|f(x¢)-f(x2)|<e) ¥1"e>0，取n0ÎN，使得<e.因为xÎIÎGnÌGn0=UAn0 n=1n0所以$a,bÎR：0<a<b<1，使得xÎ(a,b)，并且"x1,x2Î(a,b)有 |f(x1)-f(x2)|<1<e，取d=minx-a,b-x>0，故"x¢：|x¢-x|<d，即 n01<e.从而limf(x¢)= x¢¢®xn0x¢，xÎ(x-d,x+d)Ì(a,b)，所以|f(x¢)-f(x)|<f(x).故xÎE.因此，E=IGn真. n=1¥31.假设AÌR¢，且对任意xÎR¢，存在x的一个d-领域(x-d,x+d)，使得(x-d,x+d)IA最多只有可数个点，证明：A必有有限级或可列集. 证明：因为"xÎA，$dx>0使得(x-dx,x+dx)IA=Bx是一个至多可数集，xÎA而AÌU(x-dx,x+dx) 由24题，$xi|iÎNÌA使得：AÌU(xi-dxi,x+dxi) n=1¥12 第一章习题参考解答 ¥¥¥又A=AIU(xi-dxi,x+dxi)=U(AI(xi-dxi,x+dxi)=UBxi.即A至多n=1n=1n=1可数. 32.证明下列陈述相互等价. (i) A是无处稠密集 (ii) A不包含任何非空开区间 (iii) A是无处稠密集 A的余集CA是稠密集 nn 无处稠密集：EÌR，E称为是无处稠密的，如果，"d>0，"xÎR， O(x,d)ËE. 证明：Þ(ii).设A是无处稠密集，即"d>0，"xÎR¢有(x-d,x+d)ËA. 如果$a,bÎR¢(a<b)，有(a,b)ÌA.取x=a+b2，取d=b-a2>0，故 (x-d,x+d)=(a,b)ÌA.这与(x-d,x+d)ËA得假设矛盾.所以iÞ(ii)真. Þ(iii).如果A不是无处稠密的，即$x0ÎRn，$d>0，使得(x-d,x+d) =(a,b)ÌA.这与A不包含任何非区间矛盾. (iii)Þ(iv).设A无处稠密.现在我们证：R¢-A=R¢. "xÎR¢,如果xÏR¢-A，则xÎA，所以"d>0，有(x-d,x+d)ËA=A. 故(x-d,x+d)I(R¢-A)¹Æ.所以xÎR¢-A. (iv)Þ(i).设R¢-A=R¢，"xÎR¢，"d>0，(x-d,x+d)IR¢-A¹Æ. 所以(x-d,x+d)ËA.从而，A无处稠密. 33.证明：若集合E的聚点x0不属于E，则x0是E的边界点. 定义：x0称为E的边界点，如果"d>0，有O(x0,d)IE¹Æ且 O(x0,d)IE¹Æ. 证明：设x0ÎE¢-E，则"d>0，O(x0,d)-x0IE=O(x0,d)IE¹Æ.13 第一章习题参考解答 且x0ÎO(x0,d)I(Rn-E)¹Æ，即，x0是E的界点. 14